2024年6月3日发(作者：)

6.4.2第2课时 正弦定理

π

1.[2022·山东泰安高一期中]在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若A＝ ，

4

π

B＝ ，a＝2 ，则b的值为( )

3

A．1 B．2

C．3 D．2

2．[2022·福建龙岩高一期末]在△ABC中，已知A＝60°，a＝23 ，b＝22 ，则B＝( )

A．30° B．45°

C．60° D．75°

sin A

3．[2022·山东临沭高一期中]在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若

a

cos B

＝

，则B＝( )

b

3ππ

A． B．

43

ππ

C． D．

46

4．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝10，A＝45°，C＝30°，

求a，b和B的值．

5.(多选)[2022·河北唐山高一期中]△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．根据

以下条件解三角形，恰有一解的是( )

ππ

A．a＝4，b＝3，A＝ B．a＝3，b＝4，A＝

36

2ππ

C．a＝3，b＝2，A＝ D．a＝1，b＝2，A＝

34

6．[2022·江苏泰州高一期末]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2

a＝3 b sin A，则sin B＝( )

63

A． B．

33

21

C． D．

33

7．[2022·湖北武汉高一期末]在△ABC中，已知(a－c cos B)cos A＝a cos B cos C，那么

△ABC一定是( )

A．等腰或直角三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．等边三角形

8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a

2

－b

2

＝2 ac－c

2

.

(1)求B；

2

(2)若b＝5，cos C＝ ，求c.

10

9.[2022·湖南长沙高一期末]在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且3 a

＝2c sin A.

(1)求角C的大小；

(2)若c＝7 ，且ab＝6，求△ABC的周长．

10．已知方程x

2

－b cos Ax＋a cos B＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的

两边，A，B为a，b的对角，试判断△ABC的形状．

π

11.[2022·江苏南通高一期末]已知△ABC为锐角三角形，AC＝2，A＝ ，则BC的取值

6

范围为( )

A．(1，＋∞) B．(1，2)

2323

C．(1， ) D．( ，2)

33

π

12．在△ABC中，a＝3 ，A＝ ，试求△ABC的周长的取值范围．

3

答案：

ππ

1．解析：因为A＝ ，B＝ ，a＝2 ，

43

aba sin B

由正弦定理得

＝ ，即b＝ ＝

sin Asin Bsin A

答案：C

2×

2

2

3

2

＝3 .故选C.

ab23222

2．解析：由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，解得sin B＝ ，又b

sin Asin Bsin B2

3

2

可得B

答案：B

sin Asin Bcos B

3．解析：由正弦定理可得 ＝ ＝ ，则sin B＝cos B，tan B＝1，又B∈(0，

abb

π

π)，则B＝ .故选C.

4

答案：C

ac

4．解析：∵ ＝ ，

sin Asin C

c sin A10sin 45°

∴a＝

＝ ＝102 .

sin Csin 30°

B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°，

bc

又∵

＝ ，

sin Bsin C

c sin B10sin 105°

∴b＝

＝ ＝20sin 75°

sin Csin 30°

6＋2

＝20×

＝5(6 ＋2 ).

4

ab43333

5．解析：对于A，由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，解得sin B＝ < ，

sin Asin Bπsin B82

sin

3

又B

ab3421

对于B，由正弦定理得

＝ ，即 ＝ ，解得sin B＝ > ，又B>A，

sin Asin Bπsin B32

sin

6

有两解，错误；

ab3233

对于C，由正弦定理得

＝ ，即 ＝ ，解得sin B＝ < ，又

sin Asin B2πsin B32

sin

3

B

ab12

对于D，由正弦定理得

＝ ，即 ＝ ，解得sin B＝2 >1，无解，错

sin Asin Bπsin B

sin

4

误．故选AC.

答案：AC

6．解析：由题意，2 a＝3 b sin A ，∴2 sin A＝3 sin B sin A ，

26

∵sin A≠0，∴sin B＝

＝ .故选A.

3

3

答案：A

7．解析：(a－c cos B)cos A＝a cos B cos C，由正弦定理可得：(sin A－sin C cos B)cos A

＝sin A cos B cos C，

sin A cos A＝cos B(sin C cos A＋sin A cos C)＝cos B sin B，

所以sin 2A＝sin 2B，

所以2A＝2B或2A＋2B＝π，

π

即A＝B或A＋B＝

.

2

所以△ABC是等腰或直角三角形．

答案：A

8．解析：(1)a

2

－b

2

＝2 ac－c

2

变形为a

2

＋c

2

－b

2

＝2 ac，

a

2

＋c

2

－b

2

2

所以cos B＝

＝ ，

2ac2

π

因为B∈(0，π)，所以B＝

，

4

2

(2)因为cos C＝ ，且C∈(0，π)，

10

72

所以sin C＝1－cos

2

C ＝ ，

10

bc5c

由正弦定理得：

＝ ，即 ＝ ，

sinBsin Cπ

72

sin

4

10

解得c＝7.

a2sin Asin A

9．解析：(1)由3 a＝2c sin A及正弦定理得 ＝ ＝ ，

csin C

3

因为sin A>0，故sin C＝

3

.

2

π

又∵△ABC 为锐角三角形，所以C＝

.

3

π

(2)由余弦定理a

2

＋b

2

－2ab cos

＝7，

3

22

∵ab＝6，得a＋b＝13，

a＝2

a＝3



解得

或

，



b＝3b＝2



∴△ABC 的周长为a＋b＋c＝5＋7 .

10．解析：设方程的两根为x

1

，x

2

，由根与系数关系得x

1

＋x

2

＝b cos A，x

1

x

2

＝a cos B，

由题意得b cos A＝a cos B.

由正弦定理得2R sin B cos A＝2R sin A cos B，

∴sin A cos B－cos A sin B＝0，即sin (A－B)＝0.

在△ABC中，0

∴A－B＝0，即A＝B，∴△ABC为等腰三角形．

π

A＝

6

π

11．解析：因为△ABC为锐角三角形，所以

0

2

，

5ππ

0<

－B<

62

ππ

解得

32

3

所以

2

π

2×sin

6

ACBCAC·sin A1

在△ABC中，由正弦定理，得

＝ ，即BC＝ ＝ ＝ ，

sin Bsin Asin Bsin Bsin B

312323

由

2sin B33

23

所以BC的取值范围为(1，

).故选C.

3

答案：C

abc

12．解析：由正弦定理，得 ＝ ＝ ，

sin Asin Bsin C

bc3

＝ ＝ ＝2，

sin Bsin C

3

2

∴b＝2sin B，c＝2sin C，

∴△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝3 ＋2sin B＋2sin C

2π

＝3 ＋2sin B＋2sin

3

－B

＝3 ＋3sin B＋3 cos B

π

B＋

，

＝3 ＋23 sin

6

2π

0，

，

又B∈

3



π5π

π

∴B＋

∈

6

，

6

，

6

π1

B＋

∈

，1

， ∴sin

6



2

∴L∈(23 ，33 ].

即△ABC的周长的取值范围为(23 ，33 ].

即