线性代数玩转：列空间、行空间、零空间与左零空间，带你解锁新世界

课程简介

18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课，课程视频以及相关资料请见 。

课程笔记

此部分讨论了矩阵四个基本子空间的定义、性质以及求解方法。

1. 定义

关于column space和null space的定义请参考 ，简单的说column space是矩阵 $A$ 所有列向量的线性组合，即span；而null space是所有满足 $Ax=0$ 的 $x$ 的集合。

由此推出row space和null space的定义也十分简单：row space就是 $C(A^T)$ ，而left null space则为 $N(A^T)$ 。row space的实际意义即为所有行向量的线性组合；而left null space则为所有满足 $x^TA=0^T$ 的 $x$ 的集合。

2. 性质

首先四个子空间都是大空间的subspace，第一个性质就是讨论各自所在的大空间，完全由集合内部元素的维度限制。设 $A$ 是 $n\times m$ 的矩阵，则有 $C(A)\in R^n, N(A)\in R^m, C(A^T)\in R^m, N(A^T)\in R^n$ 。可以发现column space 和left null space位于同一大空间内，而row space和null space 位于同一大空间内。通常对矩阵 $A$ 的四大子空间作图时采用如下形式：

然后讨论四个空间的维度，由之前的内容可知 $\text{Dim}(C(A))=r(A)$ , $\text{Dim}(N(A))=m-r(A)$ 。对于row space，结论是类似的 Dim ( R ( A ) ) = Dim ( C ( A T