2024年1月12日发(作者：)

第四节 定积分的分部积分公式

一、定积分的分部积分公式

baudvuvbbvdu

aa例7．4．1 用分部积分公式求下列定积分：

（1）20（2）(5x1)edx；（3）xcosxdx；021x1212xarcsinx1x22（4）lnxdx.

dx；34解

（1）20x2cosxdx

2x2dsinx

02xsinx222xsinxdx

002422xdcosx

022xcosx222cosxdx

040242sinx2

0242；

（2）110(5x1)exdx

(5x1)dex

0(5x1)ex10exd(5x1)

01

6e15exdx

016e15ex10

e4；

（3）1212xarcsinx1x2dx

12121212arcsinx21x2d1x2

arcsinxd1x2

1xarcsinx2121212121x2darcsinx

131211x2dx

261x23x61（4）1212

3；

6243ln2xdx

xlnxxdxln2x

33414ln243ln232xlnxdx

3x444ln243ln232lnxdx

3444ln243ln232xlnxx

34ln243ln238ln46ln32.

例7．4．2 试求定积分解

20sinnxdx（其中n为非负整数）.

令20sinnxdxIn

则I02sin0xdx2dxsinxdxcosx21 ，I120020而In20sinnxdx

20sinn1xsinxdx

20sinn1xdcosx

sinn1xcosx22cosxdsinn1x

000n12sinn20xcos2xdx

n120sinn2xsin2x1dx

n1sinxdx2nn12sinn200xdx

n1Inn1In2

即Inn1Inn1In2

整理，得递推公式In1nnIn2

那么I02，

I11

I112I22

I2220，33I131

I34I3144242422，

I55I3531

总之I3nn1nn3n24122（n为偶数时），

In1n34nnn25231 （n为奇数时）.

0

例7．4．3 求定积分解

套上面公式，得

20sin5xdx.

20428sin5xdxI51.

5315二、分段函数的定积分

当定积分的被积函数为分段函数时，需利用积分的区间分割性质

babf(x)dxcaf(x)dxcf(x)dx

从分段函数的分段点处分为若干个定积分进行计算.

1x1,x1,0fxdx. ， 求21x1,x0,1例7．4．4 设函数fx解

由积分的区间分割性质得fxdxfxdxfxdx

1101101显然fx在x1,0与x0,1均连续，通过N-L公式均可计算出其积分

即110fxdxfxdxfxdx

1100x1dxx21dx

101011x2xx3x

213011.

6但当被积函数在积分区间上不连续呢？比如出现第一类间断点，这时如何积分？

x212,x1例7．4．5 求gxdx， 其中gxx1（如图7．4．1）.

01,x1解 可见gx在0,1连续，不满足N-L公式要求在0,1上连续的条件，

这时可在0,1内取一点，gx在0,上连续

则gxdx00x22x21dxx1dxx

0x1202由lim10123gxdxlim

122235，同理可得

gxdx

122得0gxdx20那么

gxdx4

图7．4．1.

可见，一个第一类间断点不影响定积分的存在性.

sinx,x,2例7．4．6 设函数fx，求fxdx.

x,x,2解 由积分的区间分割性质，有

fxdx2fxdx2fxdx

2sinxdxxdx

21cosx2x2

22321.

8若被积函数带有绝对值符号，要先把绝对值符号去掉即化为分段函数再求积分.

例7．4．7 求下列定积分：

(1)解

502xdx； (2)x2xdx.

21(1)

52x,x,2

2xx2,x2,25022xdx(2x)dx(x2)dx

02151(2xx2)(x22x)

022229

213；

223x,x,0(2)

xx3

x,x0,x2xdxx3dxx3dx

22010101411x4x

424041

417.

4思考题7.4

5505001．例7．4．32053．72cosxdx的结果一样，即2sinxdx2cosxdx

sinxdx与例7．这是巧合吗？换句话说20cosnxdx也可套用上面公式吗？

2．一个第一类间断点不影响定积分的存在性，两个呢？三个呢？无数多个呢？

练习题7.4

1．求下列定积分：

（1）31x2xlnxdx；（2）xarctanxdx；（3）3；（4）ecosxdx．

dx2004sinx111x2,x,022．求fxdx，其中fx .

1,x0,111x,x1,e

练习题7.4答案

x2x1．求下列定积分：（1）lnxdx；（2）xarctanxdx；（3）3；（4）

ecosxdx．dx20104sinx31解

（1）31lnxdx

33xlnxxdlnx

1113ln3xdx

1x333ln3x

13ln32；

（2）10xarctanxdx

11arctanxdx2

20111x212xarctanxdx

20021x211x211dx

20821x11(xarctanx)

082

142；

（3）x3sin2xdx

43xdcotx

4xcotx3cotxdx

434394lnsinx3

4

31492ln6ln2；

（4）20excosxdx

20cosxdex

excosx22exsinxdx00

1exsinx2020excosxdx

1e220excosxdx

移项，得22x0ecosxdx1e2

则20excosxdx12(e21)．

11x2,x,02．求21fxdx，其中fx1,x0,11ex,x1, .

解

fxdx

12fxdxfxdxfxdx

1010121211dx1dx01exdx

11x20arctanx21ex

1104111.

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