八、给定带权重的有向图 G=(V，E)G=(V，E)G=(V，E) ，其权重函数为 w:E→(0，1，2.…，W)w:E→(0，1，2.…，W)w:E→(0，1，2.…，W) ，这里WWW为某个非负整数。请修改 Diikstra 算法来计算从给定源结点 sss 到所有结点之间的最短路径。该算法时间应为 O(WV+E)O(WV+E)O(WV+E) 。如果要写代码，请用go语言。

文心一言：

Dijkstra 算法通常用于计算带非负权重的无向图或有向图中从单一源点到所有其他点的最短路径。标准的 Dijkstra 算法的时间复杂度是 O((V+E)log⁡V)O((V + E) \log V)O((V+E)logV)，因为它通常使用优先队列（如最小堆）来管理当前最短路径的节点。

然而，在你的特定情况下，权重函数 w:E→{ 0,1,2,…,W}w:E \rightarrow \{0, 1, 2, \ldots, W\}w:E→{ 0,1,2,…,W} 限制了边的权重只能是从 0 到 WWW 的整数。我们可以利用这个特性，用一个数组来代替优先队列，从而实现 O(WV+E)O(WV + E)O(WV+E) 的时间复杂度。

下面是使用 Go 语言实现的修改后的 Dijkstra 算法：

package main

import (
	"fmt"
	"math"
)

const INF = math.MaxInt32

// Edge represents a directed edge in the graph
type Edge struct {
   
   
	to     int
	weight int
}

// Graph represents a directed graph with weighted edges
type Graph struct {
   
   
	vertices int
	edges    map[int][]Edge
}

// NewGraph creates a new graph with a given number of vertices
func NewGraph(vertices int) *Graph {
   
   
	return &Graph{
   
   
		vertices: vertices,
		edges:    make(map[int][]Edge),
	}
}

// AddEdge adds a directed edge to the graph
func (g *Graph) AddEdge(from, to, weight int) {
   
   
	g.edges[from] = append(g.edges[from], Edge{
   
   to, weight})
}

// Dijkstra calculates the shortest paths from the source node to all other nodes
func (g *Graph) Dijkstra(source int) []int {
   
   
	dist := make([]int, g.vertices)
	for i := range dist {
   
   
		dist[i] = INF
	}
	dist[source] = 0

	// Use an array to simulate a priority queue for weights 0 to W
	bucket := make([][]int, g.vertices*g.vertices+1) // Assume W < V^2 for simplicity
	for i := range bucket {
   
   
		bucket[i] = make([]int, 0)
	}

	// Initialize the bucket with the source node having distance 0
	bucket[0] = append(bucket[0], source)

	for len(bucket[0]) > 0 {
   
   
		u := bucket[0][0]
		bucket[0] = bucket[0][1:]

		for _, edge := range g.edges[u] {
   
   
			v := edge.to
			alt := dist[u] + edge.weight
			if alt < dist[v] {
   
   
				dist[v] = alt
				// Add v to the bucket for its new distance
				bucket[alt] = append(bucket[alt], v)
			}
		}

		// Move all nodes from bucket[0] to the end of the processing queue
		// to ensure they are not revisited before nodes with larger distances
		for i := 1; i < len(bucket); i++ {
   
   
			if len(bucket[i]) > 0 {
   
   
				bucket[0] = append(bucket[0], bucket[i]...)
				bucket[i] = bucket[i][:0]
			}
		}
	}

	return dist
}

func main() {
   
   
	g := NewGraph(5)
	g.AddEdge(0, 1, 1)
	g.AddEdge(0, 4, 5)
	g.AddEdge(1, 2, 2)
	g.AddEdge(1, 4, 2)
	g.AddEdge(2, 3, 4)
	g.AddEdge(3, 2, 6)
	g.AddEdge(4, 1, 3)
	g.AddEdge(4, 2, 9)
	g.AddEdge(4, 3, 2)

	source := 0
	distances := g.Dijkstra(source)

	fmt.Printf("Shortest distances from node %d to all other nodes:\n", source)
	for i, dist := range distances {
   
   
		if dist == INF {
   
   
			fmt.Printf("Node %d: unreachable\n", i)
		} else {
   
   
			fmt.Printf("Node %d: %d\n", i, dist)
		}
	}
}

解释

  1. 数据结构：

    • 使用一个 Graph 结构体来表示图，其中 edges 是一个从节点到其邻居节点的映射。
    • Dijkstra 方法使用了一个 dist 数组来存储从源节点到每个节点的最短距离。

  2. 桶（Bucket）模拟优先队列：

    • 使用一个二维切片 bucket 来模拟优先队列，其中 bucket[i] 存储了所有距离为 i 的节点。
    • 初始化时，将源节点添加到 bucket[0] 中。

  3. 算法逻辑：

    • 不断从 bucket[0] 中取出节点 u，并更新其邻居节点 v 的最短路径。
    • 如果更新后的距离 alt 更小，则将 v 添加到对应的新距离 alt 的桶中。
    • 为了避免重复处理节点，将当前桶 bucket[0] 中的节点移到其他桶的末尾，确保不会重复处理。

  4. 时间复杂度：

    • 由于边的权重范围是 000 到 WWW，且 WWW 通常远小于 V2V^2V2，因此使用桶模拟优先队列的复杂度是 O(WV+E)O(WV + E)O(WV+E)。

希望这段代码和解释能帮助你理解