AMC8数学竞赛中有这样一套题目：

大意是一个正整数，用7除余数为2。请问，这个数如果乘以9再用7除，余数是多少？

什么是模运算？

关于模运算，GPT的解释是：

Alright, let's dive into the magical world of modular arithmetic! Imagine you're trapped in a never-ending loop of a clock. It's always 12 hours, no matter how many times you spin around. That's essentially what modular arithmetic is like—numbers keep looping back after hitting a certain value called the modulus.

大意是取模运算就像一个不断循环的时钟，随着时间增长，小时数也不断从0、1、到11，但是到了12点以后就清零，继续循环时又从1、2等开始。

首先看GPT对上述问题的求解：

上面是GPT的求解，很简洁。如果n模7的余数是2，两边同时乘以9，则9n模7的余数是18，或者说是4。

模运算的加减乘除法则

下面看一下模运算的法则。先看一下GPT的解释：

模运算支持加、减、乘操作，但是对于除法，有些不一样。除以一个数相当于乘以这个数的逆。在模运算中，一个数的模逆被定义为该数模逆乘以该数的乘积模运算为1。公式为：

其中三横的符号为模余或者称为同余式。一个例子是8/3模11等于多少？我们要找到3模11的模逆，也就是4，因为3✖️4=12，其模11为1。8/3模11相当于8✖️4模11，也就是32模11，结果是10。

模逆的运用：

知道模逆的概念很重要，比如下面的例子：

例题：

如果12k模19等于1，请问k模19等于多少？

求解：

对于模19的操作：我们知道：

12✖️1余-7或者12

12✖️2余5

12✖️3余17

12✖️4余10

12✖️5余3

12✖️6余15

12✖️7余8

12✖️8余1

也就是如果

两边乘以12的模逆，也就是8，则等式变为：

如果12k模19余1，则k模19余8。

最后看一道应用题，领会模逆的概念运用。

题目：A number, when divided by 9 , leaves a remainder of 6 , and when divided by 5 , leaves a remainder of 3 . Find the product of all digits in the smallest three-digit number that satisfies these conditions.

题干：

已知：一个最小3位数，模9余6，模5余3

求解：最小3位数的每位的乘积

解：假设这个三位数为k，模9余6，所以：k=9m+6

模5余3，所以：

两边乘以9模5的模逆，也就是4，因为9✖️4=36, 36(mod5)余1。

如果m=3, 则 k=9m+6 = 33; 不满足3位整数条件，舍去； 

如果m=8, 则 k=9m+6 = 78；不满足3位整数条件，舍去；

如果m = 13,则k=9m+6 = 123; 满足3位整数，而且最小。因此 k=123;

整数k每位数的乘积=1✖️2✖️3 = 6

完毕。