2023年11月30日发(作者：)
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理科数学 2021年高三2021年全国乙卷理科数学
理科数学
考试时间：____分钟
题型 填空题 简答题 总分
得分
单项选择
题
单项选择题 〔本大题共12小题，每题____分，共____分。〕
1.集合={|<1},={|},那么〔 〕
AxxBx
A.
B.
C.
D.
2.如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色局部和白色
ABCD
局部关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，那么此点取自黑色局部的概率
是〔 〕
A.
B.
C.
D.
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3.设有下面四个命题
假设复数满足，那么；
假设复数满足，那么；
假设复数满足，那么；
假设复数，那么.
其中的真命题为〔 〕
A.
B.
C.
D.
的前项和．假设，，那么的公差4.记为等差数列
为〔 〕
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
5.函数在单调递减，且为奇函数．假设，那么满足
的的取值范围是〔 〕
A.
B.
C.
D.
6.展开式中的系数为〔 〕
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A. 15
B. 20
C. 30
D. 35
7.某多面体的三视图如下图，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正
方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有假设干个是梯形，这
些梯形的面积之和为〔 〕
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
8.右面程序框图是为了求出满足3-2>1000的最小偶数，那么在和两个空
n
白框中，可以分别填入〔 〕
nn
A. >1000和=+1
Ann
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B. >1000和=+2
Ann
C. 1000和=+1
Ann
D. 1000和=+2
Ann
)，那么下面结果正确的选项是〔 〕 9.曲线：=cos ，：=sin (2+
CyxCyx
12
A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个
C
1
单位长度，得到曲线
C
2
B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个
C
1
单位长度，得到曲线
C
2
C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个
C
1
单位长度，得到曲线
C
2
D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个
C
1
单位长度，得到曲线
C
2
10.为抛物线：=4的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与C交于、
FCyxFlllAB
两点，直线与交于、两点，那么||+||的最小值为〔 〕
lCDEABDE
2
121
2
A. 16
B. 14
C. 12
D. 10
11.设为正数，且，那么〔 〕
xyz
A. 2<3<5
xyz
B. 5<2<3
zxy
C. 3<5<2
yzx
D. 3<2<5
yxz
12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，
他们退出了“解数学题获取软件激活码〞的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项为哪一项2，
0
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接下来的两项是2，2，再接下来的三项是2，2，2，依此类推.求满足如下条件的最小整
数：>100且该数列的前项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是〔 〕
NNN
01012
A. 440
B. 330
C. 220
D. 110
填空题 〔本大题共4小题，每题____分，共____分。〕
13.向量，的夹角为60°，||=2， | |=1，那么| +2 |= ____ 。
aba b a b
14.设，满足约束条件，那么的最小值为 ____ 。
xy
15.双曲线：〔>0，>0〕的右顶点为，以为圆心，为半径做圆，圆
CabAAbAA
与双曲线的一条渐近线交于、两点。假设∠=60°，那么的离心率为________。
CMNMANC
16.如图，圆形纸片的圆心为，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形的中心为。、
OABCOD
EFODBCECAFABBCCAAB
、为圆上的点，△，△，△分别是以，，为底边的等腰三角形。沿
虚线剪开后，分别以，，为折痕折起△，△，△，使得、、重合，
BCCAABDBCECAFABDEF
得到三棱锥。当△的边长变化时，所得三棱锥体积〔单位：cm〕的最大值为_______。
ABC
3
简答题〔综合题〕 〔本大题共7小题，每题____分，共____分。〕
17.〔12分〕
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△的内角，，的对边分别为，，，△的面积为
ABCABCabcABC
〔1〕求sinsin;
BC
〔2〕假设6coscos=1,=3,求△的周长
BCaABC
18.〔12分〕如图，在四棱锥中，，且
P-ABCDAB//CD
(1)证明：平面⊥平面；
PABPAD
(2)假设===,,求二面角--的余弦值.
PAPDABDCAPBC
19.〔12分〕为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机
抽取16个零件，并测量其尺寸〔单位：cm〕．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正
常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布(,)．
Nμσ
2
〔1〕假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(–3,+3)
Xμσμσ
之外的零件数，求(≥1)及的数学期望；
PXX
〔2〕一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(–3,+3)之外的零件，就认为这条生
μσμσ
产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
〔ⅰ〕试说明上述监控生产过程方法的合理性；
〔ⅱ〕下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
经计算得，，其
i
中为抽取的第个零件的尺寸，=1,2,…,16．
xii
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断
μsσ
是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估
计和〔精确到0.01〕．
μσ
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附：假设随机变量服从正态分布(,)，那么(–3<<+3)=0.997 4，
ZNμσPμσZμσ
0.997 4≈0.959 2，．
2
16
20.〔12分〕
椭圆：〔>>0〕，四点〔1,1〕，〔0,1〕，〔–1， 〕，〔1，
CabPPPP
1234
〕中恰有三点在椭圆上.
C
〔1〕求的方程；
C
〔2〕设直线不经过点且与C相交于，两点.假设直线与直线的斜率的和为
lPABPAPB
–1，证明：过定点.
l
222
21.〔12分〕
函数=ae+〔a﹣2〕e﹣x.
〔1〕讨论的单调性；
〔2〕假设有两个零点，求a的取值范围.
2xx
22. 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的
第一题计分。
[选修4-4，坐标系与参数方程]〔10分〕
〔为参数〕，直线l的参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
θ
为.
〔1〕假设a=-1，求C与l的交点坐标；
〔2〕假设C上的点到l的距离的最大值为，求a.
23. 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的
第一题计分。
[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕
函数〔〕=–++4，()=│+1│+│–1│.
fxxaxgxxx
2
〔1〕当=1时，求不等式〔〕≥〔〕的解集；
afxgx
〔2〕假设不等式〔〕≥〔〕的解集包含[–1，1]，求的取值范围.
fxgxa
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答案
单项选择题
1. A 2. B 3. B 4. C 5. D 6. C 7. B 8. D 9. D 10. A 11. D
12. A
填空题
13.
14.
-5
15.
16.
简答题
17.
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18.
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19.
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20.
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21.
22.
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23.
解析
外教一对一 :// yangjiajiao /
单项选择题
略 略 略 略 略 略 略 略 略 略 略 略
填空题
略 略 略 略
简答题
略 略 略 略 略 略 略
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