2023年12月6日发(作者：)

专题03

数列与数学文化

纵观近几年高考，数列以数学文化为背景的问题，层出不穷，让人耳目一新。同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，使思路无法打开。本专题通过对典型高考问题的剖析、数学文化的介绍、及精选模拟题的求解，让考生提升审题能力，增加对数学文化的认识，进而加深对数学文理解，发展数学核心素养。

【例1】 (2018北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这

个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（

）

A．32f

【答案】D

【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，第一个单音的频

率为f，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f，公比为122的等比数列，记为

B．322f C．1225f D．1227f

{an}，则第八个单音频率为a8f(122)811227f，故选D．

【试题赏析】本题以《律学新说》中的“十二平均律”为背景，考查等比数列的应用，既考查了等比数列的相关知识，又展示了我国古代在音乐、数学、天文等方面的成就．

【例2】（2017新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍

加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一

层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）

A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏

【答案】B

【解析】设塔顶共有灯a1盏，根据题意各层等数构成以a1为首项，2为公比的等比数列，

a1(127)(271)a1381，解得a13．选B． ∴S712【试题赏析】《算法统宗》是由明代数学家程大位写的数学巨著，它是一部应用数学书， 反映了中华文明源远流长，中国古代为世界数学做出了杰出的贡献。

【例3】（2017新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学

的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知

数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，

21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前

N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）

A．440 B．330 C．220 D．110

【答案】A

【解析】对数列进行分组如图

2020，2120，21，2220，21，22，2k∙∙∙，123k

则该数列前k组的项数和为123k由题意可知N100，即k(k1)

2k(k1)100，解得k≥14，nN*

2即N出现在第13组之后．

12k2k1，前k组的和为 又第k组的和为121(12)(122k)(211)(221)(2k1)

(21222k)k2k1k2，

*设满足条件的的N在第k1(kN,k≥13)组，且第N项为第k1的第m(mN)个数，第k1组的*前m项和为12222m12m1，

要使该数列的前N项和为2的整数幂，

mm即21与k2互为相反数，即212k，所以k23，

m由k≥14，所以2m3≥14，则m≥5，此时k25329

对应满足的最小条件为N29(291)5440，故选A．

2【试题赏析】本题以富有时代气息的大学生创业为背景，通过阅读分析，综合运用等差等比数列知识，进行解决。

【例4】（2016上海高考）小明用数列{an}记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：

当第k天下过雨时，记ak1，当第k天没下过雨时，记ak1(1k31)，他用数列{bn}记录该地区该月每

天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记bn1，当预报第k天没有雨时，记bn1记录

完毕后，小明计算出a1b1a2b2a3b3a31b3125，那么该月气象台预报准确的总天数为 ．

【解析】由题意，气象台预报准确时akbk1，不准确时akbk1，

a1b1a2b2a3b3a31b3125283，

该月气象台预报准确的总天数为28．

【试题赏析】本题考查数列知识的运用，考查利用数学知识解决实际问题的能力．

1．《九章算术》

《九章算术》大约成书于公元一世纪，是中国古代第一部数学著作，是“算经十书”中最重要的一种．《九章算术》共收有246个与生产实践有联系的应用题，包括问、答和求三部分，并配有插图，分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股等九章．《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作，其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则．

2．《算法统宗》

《算法统宗》是由明代数学家程大位(公元1533—公元1606年)经过数十年的努力，于公元1592年60岁时写成的数学巨著．《算法统宗》是一部应用数学书，以珠算为主要的计算工具，共17卷，有595个应用题．

1. (2019合肥模拟)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言．”题意是：把996斤绵分给8个儿子做盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ）

A．174斤 B．184斤 C．191斤 D．201斤

【答案】B

【解析】读懂题意，将古代实际问题转化为现代数学问题，本题相当于等差数列{an}中，前n项和S8＝996，公差d＝17，求a8.

设8个儿子从大至小分得的绵构成的数列是{an}，

设大儿子分到的绵是x斤，依题意知8个儿子分到的绵构成以a1＝x为首项，d＝17为公差的等差数列，记其前n项和为Sn，

8×7则有Sn＝8x＋×17＝996，即8x＋476＝996，解得x＝65.

2故第8个儿子分到的绵a8＝65＋7×17＝65＋119＝184(斤)．

2．（2019十堰模拟）如图是谢宾斯基(Sierpinsiki)三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，则{an}的通项公式可以是（ ）

A．an＝3n1

C．an＝3n

【答案】A

【解析】着色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，分别为a1＝1，a2＝3，a3＝3×3＝32，a4＝32×3，

因此{an}的通项公式可以是an＝3n1.

3．（2019大连二模）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜。据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”。在某种玩法中，*用an表示解下n(n9,nN)个圆环所需的移动最少次数，an满足a11，且－－B．an＝2n－1

D．an＝2n1

－2an11,n为偶数an，则解下4个环所需的最少移动次数为（

）

2a2,n为奇数n1

A．7

【答案】A

B．10 C．12 D．22

【解析】依题意a42a3122a221222a11217.故选A.

4．（2019石景山区模拟）我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c键到下一个c1键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为122的等比数列的原理，也即高音c的频率正好是中音c的2倍．已知标准音a1的频率为440Hz，那么频率为2202Hz的音名是（ ）

A．d

【答案】D

【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比2．故从g起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为q2由2202440(2112n1112B．f C．e D．#d

112

)，解得n7，频率为2202Hz的音名是(#d)，

5.（2019九江模拟）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根5尺长的金杖，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”根据上面的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为（ ）

A．6斤 B．9斤 C．9.5斤 D．12斤

【答案】B

【解析】依题意，金杖由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，记为{an}，

则a1＝4，a5＝2，

由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝2a3＝6，所以a3＝3，

所以中间3尺的重量为a2＋a3＋a4＝3a3＝9(斤)．故选B.

6．（2019长春模拟）《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七， 借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1( ）

A．23

【答案】C

【解析】由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为3，

则9a198(3)207，解得a135，故选：C．

2B．32 C．35 D．38

7．（2019武威二模）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第n行的所有数字之和为2n1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前56项和为（

）

A．2060

【答案】C

B．2038 C．4084 D．4108

【解析】n次二项式系数对应杨辉三角形的第n1行，

例如(x1)x2x1，系数分别为1,2,1，对应杨辉三角形的第3行，

令x1，就可以求出该行的系数之和，

第1行为20，第2行为21，第3行为23，以此类推，

即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列.

2212n则杨辉三角形的前n项和为Sn2n1,

12若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1,2,3,4,…,可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差 数列，则Tnn(n1)，可得当n12，去除两端“1”可得782355，则此数列前55项和为21S12232121234072，所以第56项为第13行去除1的第一个数C1212,所以该数列前56项和为4072124084，故选C.

8.（2019银川质检）中国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）

A．192里 B．96里 C．48里 D．24里

【答案】C

1【解析】依题意，每天走的路程构成等比数列{an}，且n＝6，公比q＝，S6＝378，

2设等比数列{an}的首项为a1，

a1依题意有11－621＝378，解得a1＝192.所以a2＝192×＝96.即第二天走了96里．

121－2S1S2Aa1,a2,,anSnn9．（2019南充二模）有限数列，为前n项和，定义如有99项的数列A．991

【答案】A

【解析】设凯森和由Tn来表示，由题意知A的T99＝Sn为A的“凯森和”；a1,a2,,a99的“凯森和”为1000，1,a1,a2,,a99的“凯森和”为则有100项的数列（ ）

B．1001 C．999 D．990

S1S2S99=1000，

99'''s1s2…+s1001001S1S2设新的凯森和为Tx，则Tx=100100S99100991000991

10010．（2019哈尔滨调研）在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（ ）

A．33% B．49% C．62%

【答案】B

【解析】由题意可得：每日的织布量形成等差数列{an}，且a1＝5，a30＝1，

D．88%

4设公差为d，则1＝5＋29d，解得d＝－.

2930×5＋110×941 270∴S10＝5×10＋×(－)＝. S30＝＝90.

2292921 2701∴该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的×≈0.49＝49%.

299011．（2019莆田联考）《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（ ）

A．15.5尺

【答案】A

【解析】设此等差数列{an}的公差为d，则a1a4a73a19d37.5，a111d4.5，

解得：d1，a115.5．故选：A．

12．（2019邵阳二模）《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（ ）

（结果精确到0.1．参考数据：lg20.3010，lg30.4771．)

A．2.2天

【答案】C

【解析】设蒲的长度组成等比数列{an}，其a13，公比为莞的长度组成等比数列{bn}，其b11，公比为2，

1，其前n项和为An．

2B．12.5尺 C．10.5尺 D．9.5尺

B．2.4天 C．2.6天 D．2.8天

1)n2n12其前n项和为Bn．则An，Bn，

121123(11)n2n162由题意可得：，化为：2nn7，

1212123(1解得2n6，2n1（舍去）．nlg6lg312.6．估计2.6日蒲、莞长度相等，故选：C．

lg2lg213.（2019石家庄二模）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨 大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个整数中能被5除余2且被7除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，那么此数列的项数为（ ）

A．58

【答案】A

【解析】：由数能被5除余2且被7除余2的数就是能被35整除余2的数，

故an2(n1)3535n33，由an35n332019

得n5822，nN，故此数列的项数为：58．

35B．59 C．60 D．61

14.（2019青岛质检）朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问

中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人．”其大意为

“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人

在该问题中的1864人全部派遣到位需要的天数为（ ）

A．9

【答案】B

【解析】根据题意设每天派出的人数组成数列{an}，

分析可得数列{an}是首项a164，公差d7的等差数列，

设1864人全部派遣到位需要的天数为n，则64nn(n1)71864，

2B．16 C．18 D．20

即n215n4960，由n为正整数，解得n16．故选：B．

15. （2019漳州二模）2018年9月24日，英国数学家M．F阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”

黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和，记S1则（ ）

A．1S4

3111，

2232n2B．43S

32C．3S2

2D．S2

【答案】C

【解析】由于n2时，可得Sn121111，

n2n(n1)n1n11111111

112232n2223n1n1，n时，S2，可得S2，排除D；

n1141111113，排除；由1，排除B，

A223232232425262722由1 16．（2019武清区质检）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的万元，则n的值为（ ）

99．若这堆货物总价是100200()n1010

A．7

【答案】D

9【解析】：由题意可得第n层的货物的价格为ann()n1，

109999设这堆货物总价是Sn1()02()13()2n()n1，①，

10101010B．8 C．9 D．10

由①999999可得Sn1()12()23()3n()n，②，

11()n19999910n(9)n10(10n)(9)n， 由①②可得Sn1()1()2()3()n1n()n910101109Sn10010(10n)()n，

109这堆货物总价是100200()n万元，n10，

1017．（2019宁夏中卫市二模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为

【答案】6里

【解析】记每天走的路程里数为{