2023年12月22日发(作者：)
5.1.1 任意角
学 习 目 标
1.理解任意角的概念．
2．掌握终边相同角的含义及其表示．(重点、难点)
3．掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法．(难点、易混点)
【自主预习】
1．角的概念
角可以看成平面内 绕着端点从一个位置 到另一个位置所形成的图形．
2．角的表示
如图，(1)始边：射线的 位置OA，
(2)终边：射线的 位置OB，
(3)顶点：射线的 O.
这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
2．借助任意角的终边位置的确定，提升逻辑推理素养.
1.通过终边相同角的计算，培养数学运算素养．
核 心 素 养
3．任意角的分类
(1)按旋转方向分
(2)按角的终边位置分
①前提：角的顶点与 重合，角的始边与 重合．
②分类：
4．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
思考：终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
【基础自测】
1．下列说法正确的是( )
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B．第四象限的角一定是负角
C．60°角与600°角是终边相同的角
D．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60°
2．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是________．
3．已知0°≤α＜360°，且α与600°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角．
【合作探究】
类型一 角的有关概念的判断
【例1】 (1)给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．
其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．
(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
①420°.②855°.③－510°.
【规律方法】
1．理解角的概念的关键与技巧：
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
2．象限角的判定方法：
(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．
(2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；
第二步，判断β的终边所在的象限；
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
【跟踪训练】
1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )
A．A＝B＝C
C．A∩C＝B
B．A⊆C
D．B∪C⊆C
2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )
A．1个
C．3个
B．2个
D．4个
类型二 终边相同的角的表示及应用
【例2】 (1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．
(2)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
[思路点拨] (1)根据－885°与k·360°，k∈Z的关系确定k.
(2)先写出与α终边相同的角k·360°＋α，k∈Z，再由已知不等式确定k的可能取值．
【规律方法】
1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．
2．运用终边相同的角的注意点
所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：
(1)k是整数，这个条件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
提醒：表示终边相同的角，k∈Z这一条件不能少．
【跟踪训练】
3．下面与－850°12′终边相同的角是( )
A．230°12′
C．129°48′
B．229°48′
D．130°12′
4．在－360°～360°之间找出所有与下列各角终边相同的角，并判断各角所在的象限．
①790°；②－20°.
类型三 任意角终边位置的确定和表示
[探究问题]
1．若射线OA的位置是k·360°＋10°，k∈Z，射线OA绕点O逆时针旋转90°经过的区域为
D，则终边落在区域D(包括边界)的角的集合应如何表示？
2．若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？
α【例3】 (1)若α是第一象限角，则－是( )
2A．第一象限角
C．第二象限角
(2)已知，如图所示．
B．第一、四象限角
D．第二、四象限角
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
α由α的范围写确定是第2[思路点拨] (1)α→
出的范围2几象限角α→根据角终边的对称性确定－是第几象限角
2(2)①观察图形→确定终边落在OA，OB位置上的角
由小到大分别标出起始加上360°的整数→
和终止边界对应的角倍，得所求集合②
[母题探究]
1．若将本例(2)改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
2．若将本例(2)改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
【规律方法】
1．表示区间角的三个步骤：
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． α2．nα或所在象限的判断方法： nα(1)用不等式表示出角nα或的范围； nα(2)用旋转的观点确定角nα或所在象限． n α例如：k·120°＜＜k·120°＋30°，k∈Z. 3αα由0°＜＜30°，每次逆时针旋转120°可得终边的位置． 33提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异． 【课堂小结】 1．角的旋转定义给出后，就将原来0°～360°间的角扩展为任意的正角、负角和零角，从而为角和实数之间建立对应关系奠定了基础． 2．明确象限角的概念，是判断一个角是第几象限角或轴线角的保证． 3．理解终边相同角的含义，做到会用集合表示终边相同的角，会求符合某种条件的角． 【当堂达标】 1．思考辨析 (1)第二象限角大于第一象限角．( ) (2)第二象限角是钝角．( ) (3)终边相同的角一定相等．( ) (4)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．( ) 2．下列各个角中与2 019°终边相同的是( ) A．－149° B．679° C．319° D．219° 3．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________． 4．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角： (1)－120°；(2)640°. 【参考答案】 【自主预习】 1．角的概念 一条射线 2．角的表示 (1)起始 (2)终止 (3)端点 旋转 3．任意角的分类 (1)按旋转方向分 逆时针 (2) ①原点 ②象限角 顺时针 没有做任何 x轴的非负半轴 坐标轴 4．终边相同的角 思考： 提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同． 【基础自测】 1．D [A错误，90°角既不是第一象限角也不是第二象限角； B错误，280°角是第四象限角，但它不是负角； C错误，600°－60°＝540°不是360°的倍数； D正确，分针转一周为60分钟，转过的角度为－360°，将分针拨慢是逆时针旋转，拨慢101分钟转过的角为360°×＝60°.] 62．－670° [由题意知，所得角是50°－2×360°＝－670°.] 3．240° 三 [因为600°＝360°＋240°，所以240°角与600°角终边相同，且0°≤240°＜360°，故α＝240°，它是第三象限角．] 【合作探究】 类型一 角的有关概念的判断 【例1】 (1)① [①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确； ②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误； ③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误； ④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．] (2)[解] 作出各角的终边，如图所示： 由图可知： ①420°是第一象限角． ②855°是第二象限角． ③－510°是第三象限角． 【跟踪训练】 1．D [由已知得BC，所以B∪C＝C，故D正确．] 2．D [－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°， 360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°. 所以这四个命题都是正确的．] 类型二 终边相同的角的表示及应用 【例2】 (1)(－3)×360°＋195° [－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.] (2)[解] 与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)， 1111∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4,5,6. 3636k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°； k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°； k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°. 【跟踪训练】 3．B [与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)， 当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.] 4．[解] ①∵790°＝2×360°＋70°＝3×360°－290°， ∴在－360°～360°之间与它终边相同的角是70°和－290°，它们都是第一象限的角． ②∵－20°＝－360°＋340°， ∴在－360°～360°之间与它终边相同的角是－20°和340°，它们都是第四象限的角． 类型三 任意角终边位置的确定和表示 [探究问题] 1．提示：终边落在区域D包括边界的角的集合可表示为{α|k·360°＋10°≤α≤k·360°＋100°，k∈Z}． 2．提示：(1)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z. (2)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z. (3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z. (4)关于直线y＝x对称：若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝ －α＋90°＋k·360°，k∈Z. 【例3】 (1)D [因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z， αα所以k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z，所以是第一、三象限角， 22ααα又因为－与的终边关于x轴对称，所以－是第二、四象限角．] 222(2)[解] ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}； 终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}． ②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}． [母题探究] 1．[解] 在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β＜105°与240°≤β＜285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}． 故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}． 2．[解] 在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°，则所有满足条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}． 【当堂达标】 1．[提示] (1)错误．如第二象限角100°小于第一象限角361°. (2)错误．如第二象限角－181°不是钝角． (3)错误．终边相同的角可表示为α＝β＋k·360°，k∈Z，即α与β不一定相等． (4)都正确． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．D [因为2 019°＝360°×5＋219°，所以与2 019°终边相同的角是219°.] 3．{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z} [观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．] 4．[解] (1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}． 当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°， ∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角． (2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}． 当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°， ∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角．
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