2023年12月23日发(作者：)

自动控制原理大作业班级：XXXXXXXX学号：XXXXXXX姓名：倪马

液位自动控制系统分析解答

题目：如图所示的液位自动控制系统，简述：（1）系统的基本工作原理，说明各元、部件的功能，控制器、被控对象、希望值、测量值、干扰量和被控量；绘制系统原理框图。（2）假设：系统输入/输出流量与入/出水阀开度成正比，减速器加速比为i，H0与电位计中点（零电位点）对应，电动机输入电压与输出转角的对应关系参见第二章第二节相应内容。试列写该系统以H0为输入，以实际液位高度H为输出的系统数学模型。（3）根据（2）的求解过程，绘制控制系统结构图，并求出系统闭环传递函数。（4）利用劳斯判据，给出满足系统闭环稳定性要求的元、部件参数取值范围。（5）取系统元、部件参数为：电动机电枢电阻Ra1.35，电枢电感La0.00034H，电机轴转动惯量J8.5106Kgm2，电动机反电动势系数CE0.03V/(rad/s)，电动机电磁力矩系数CM0.028Nm/A；减速器原级齿轮转动惯量J10.0555Kgm2，减速器次级转动惯量J20.015Kgm2，减速比i2；入水阀门转动惯量J30.01Kgm2，阀门流量系数Kin0.1m3/s/rad；KH1V/m反馈电位计比例系数Kf1。入水阀与减速器次级同轴，不计摩擦损耗。试求：

①绘制系统关于功率放大器放大系数K1的根轨迹；②根据控制系统稳、快、准的原则，在根轨迹上适当选取系统闭环极点，试求出系统对ur(t)1(t)的响应函数的解析表达式，并分析各元、部件参数对系统输出特性的影响。（6）绘制系统对数频率特性曲线，并对系统频率响应特性给出详细讨论。解答分析：一、系统工作原理（1）基本工作原理设定希望水位在高度H0时，该系统处于平衡状态，即出水量与进水量一致。此时，浮子与电位器连接的杆处于水平位置，电位器的滑头也位于中间位置。假设系统初始处于平衡状态（且阀门L1，L2关闭），当打开阀门L2（或其他因素），使水槽内水位下降（出水量大于入水量），浮子随水位下降而下沉，并通过连杆带动电位器滑头向上移动。此时，相当于给电位器输入一正电压，并使电动机正转，通过减速器开大阀门L1，进而使进水量增大（一直增大到入水量大于出水量），液面开始增高，当液面高度为H0时，电位器滑头又处于中间位置，无电压输出，电动机亦不会转动，系统处于平衡状态。（2）各元、部件的功能电位器：将浮子及连杆传来的高度值转化为电压值，其检测作用。电动机：将电位器传递过来的电势能转化为机械能，然后传给减速器。减速器：通过减速器内的齿轮比控制电动机传过来的速度。阀门：控制流入流出水量的大小。（3）控制器:点位器、电动机、减速器被控对象：水槽被控量：液面水位实际高度H希望值：水位高度H0测量值：HH0H干扰量：出水口的出水量θ2（4）系统原理框图（照片）

二、系统数学模型根据上面的系统原理框图，列出各元、部件的方程：设出水管处的液阻为R（m/(m3S-1)），水槽低截面积为C（m2）。比较元件：HH0H

连杆：H1KfH

电位器：uKHH1

放大器：uK1u

电动机：Tm减速器：id11(t)Kmu

dt（2-1）（2-2）（2-3）（2-4）（2-5）

（2-6）（2-7）（2-8）1

22动能守恒：J22J332

阀门L1流量：1Kin3dt

Cdh(12)dt

在微小的时间间隔dt内，水槽内液体增量等于输入量减去输出量，即（2-9）（2-10）（2-11）液阻与h，2的关系为：2联立上两式得：RCh

RdhhR1

dt联立从式（2-2）到式（2-11），得d3HTmd2H1dHTmCQ3(C)Q2QKH

dtRdtRdt（2-12）

其中KKmKHKfK1，Q进行拉氏变换得：iKinJ3J2H(s)KR

32H0(s)RTmCQs(TmRC)QsQsKR（2-13）三、系统结构图及传递函数对上题各元、部件方程作拉氏变换，作出系统结构框图：得出其开环传递函数为G(s)KR

Qs(RCs1)(Tms1)（3-1）整理可得

T1TmCQs3(mC)Qs2QsRR 根据结构框图求出其闭环传递函数为G(s)K（3-2）

(s)H(s)RK

H0(s)Qs(RCs1)(Tms1)RK（3-3）或如式（2-13）: (s)H(s)KR 32H0(s)RTmCQs(TmRC)QsQsKR四、系统稳定性判定由式（2-13）可知，该系统的闭环特征方程为

RTmCQs3(TmRC)Qs2QsKR0系统稳定的必要条件ai0及劳斯表中第一列系数都大于零。劳斯表下：S3RTmCQQS2TmRCQKRS1Q(TmRC)QKRRTmCQ(TmRC)QS0KR所以，RT，TQ(TmRC)QKRRTmCQmCQ>0mRCQ>0，(T>0，mRC)Q因为R0,C0得出：KKmKHKfK10

TmQ0R3C2TKmQRC五、系统分析（1）根轨迹在电动机的传递方程Td1mdt1(t)Kmu中，TRaJmCC （5-1）EMK1mC （5-2）E将题目所给的数据代入之前的方程函数中，得得系统开环传递函数：G(s)33.3RK116.33s(RCs1)(0.01366s1)其函数中有3个极点，为KR>0。

p10;1;RC1p373.20.01366p2当RC>0.01366时，p2>P3，假设RC=1（R=1(m/(m3/s))，C=1m2），则p2=-1。此时，实轴上的根轨迹：负实轴的[0～-1]，[-73.2～-∞）区段为根轨迹段。根轨迹的起点：n=3，故有3个起点，分别起于开环极点（0,0），（-1,0）和（-73.2,0）。根轨迹的终点：因为m=0，故n-m=3,有3个终点在无穷远处，即有3条渐近线。aapzii1j1nmjnm0173.224.73(2k1)60;180;60nmn因为系统无零点，所以[i11]0，则dpi1110dd1d73.2解得：d10.5，

d248.97（不在根轨迹上，舍弃）所以d10.5为分离点。分离角为90。根轨迹与虚轴交点：在系统闭环特征方程中，用sj代入[16.33s(s1)(0.01366s1)K*]得sj00.223316.33016.552K*0解得

8.56K*1211.9（K1=K*/33.3=36.4）根轨迹图（照片）

（2）假如有一三阶系统的闭环传递函数为：n2C(s)

22R(s)(s2nsn)(s)则这个系统的单位阶跃响应为（5-1）ent[2(2)1]et222h(t)12sin(1nt)2(2)cos(1nt)2(2)11(2)1 （5-2）（5-3）

n

假设RC=1（R=1(m/(m3/s))，C=1m2），K1=1。则原闭环传递函数表示式可变为：H(s)33.3H0(s)16.33s(s1)(0.01366s1)33.3解特征方程16.33s(s1)(0.01366s1)33.30得三个解：x1s73.25;x2s(0.49j1.34);x3s(0.49j1.34)x2x3s20.98s2.04其中，73.25n22.04n1.432n0.980.34将上述三个参量代入式（5-2）及（5-3）中得响应函数的解析表达式为：e0.49te73.26tH(t)12659.47cos1.34t962.3sin1.34t2660.472660.47六、系统频率特性曲线依上题，假设RC=1（R=1(m/(m3/s))，C=1m2），K1=1。则该系统的开环传递函数为

G(s)33.316.33s(s1)(0.01366s1)可见，系统开环传递函数由以下三种典型环节串联而成：放大环节：

G1(s)33.3积分环节：G2(s)惯性环节：G3(s)116.33s11和G4(s)(s1)(0.01366s1)分别作出各典型环节的对数幅频、相频特性曲线，再分别将各典型环节的对数幅频、相频特性曲线相加，即得系统开环对数幅频、相频特性曲线。如图（照片）

讨论：根据上图系统开环对数幅频、相频特性曲线，简单作出该系统的幅相频率特征图：

因为系统的开环传递函数为

G(s)33.3中无右极点，即16.33s(s1)(0.01366s1)P=0，由幅相频率特征图可见，幅相频率特征曲线不包围（-1，j0）点，即N=0，故N=P/2，所以，闭环系统是稳定的。由上面俩图同样可以看出，相角裕量γ大于零而幅值裕量h大于1（h的分贝值大于零），表明该系统稳定。七、说明：参考文献：[1] 周雪琴. 控制工程导论. 西安：西北工业大学出版社，1987.[2] 李育锡. 机械设计基础. 高等教育出版社，2006.[3] 同济数学系. 高等数学. 高等教育出版社，2006.