2023年12月23日发(作者：)

常微分方程与动力系统第二章习题参考答案

1.证明：因为(t)是线性齐次系统（LH）的一个基本解矩阵，由定理2.5知(t)在区间J上满足矩阵微分系统(LH)M,即(t)A(t)(t)，..A(t)(t)(t)1所以由A(t)确定的线性齐次系统（LH）必唯一。

.2.证明：因为(t)，(t)分别是xna1kkk1d(t)A(t)(t)dtnankkk1A(t)x和xAT(t)x的解，所以.，a11a21an1a12a22an2d(t)*A(t)(t)dta1na2nannn1ak1kk12nnaknkk112,nn因而na1kkk1d(,)dd(,)(,)dtdtdtnankkk1nnnmnk11nn12nn1nak1k,k1naknkk1ninjnnm1k1amkkm(akmkm)(t),(t)mkamkkmmk1akmmiaijjiaijji01i1j所以n(t)(t)kkk1.常数。

3.证明：设t)为系统x(t)TA(t)x的一个基本解矩阵，则由定理2.11知2.4知系统x.是系统xA1.T(t)x的基本解矩阵，由定理1A(t)x满足初始条件x(t0)知t)与(t)T1x0的特解为(t)t)t0)x0，t,t00,由题可在0,上有界，从而由定理2.24知k1k1(t0)0

和k2k2(t0)0使得.(t)k1,t0tT1(t)k2,t0t,利用常数变易法公式y(t0)y0（2.32），可知式y(t)(t)(t10yA(t)yB(t)y的初始条件为因T10的解满足为所)tt0(t)1(s)B(s)y(s)ds)t(t以1t1(y(t)12tt0k0kx(1Ck1k2ek1k2ek1k2，)利用式k格(朗k瓦尔)不B等,s有20t0tysy(t)1k2t0tB(s)ds记B(s)ds设0B(t)dtM则.tt0B(s)ds0B(t)dtM有Ck1k2M从而y(t)Cx0,tt0所以系统yA(t)yB(t)y的一切解都在0,上有界。

etcost4.解：设以矩阵(t)tesint.xa11(t)xa12(t)y.ya(t)xa(t)y2122etcostetsintcosta11a12etsintetcostsintaa2122sint为基本解矩阵的线性齐次系统为costa11a12(t)a21a22.t则(t)即ecosttesintsintcost得etcostetsinta11etcosta12etsintcosta11sinta12costttttesintecosta21ecosta22esintsintasintacost2122整理得tcostsinta11costa1sin2tcosta11sinta1cos2sintcosta21costsintsintasintacost2122解得

a12a11a21a22costsint1.2costxxcost(costsint1)y所以齐次系统.1sintcosty(1sintcost)xysin2t2sint2即为所求。

5.（1）解：由xxcost，分离变量得.dxxcostdt解得xC1esitn由

.yxesintC1esintesint得.yC1，解得yC1tC2故原方程组得通解为xC1esintyC1tC2（C1，C2为不为零的常数）

dxxdtt（2）解：由第一个分离变量得解得ytC1tC2解得xC1t。由y1得y1Ct.x.1xC1ttxC2故原方程组得通解为ytxC2

ydxdtt6. (1)解：原方程组化为dyxtdtC1xy分法得txyCt22xy以txy2t1d(xy)(xy)t可化简为dt由初等积d(xy)1(xy)dttx(1)2y(1)0 （Ⅰ）又知初值代入（Ⅰ）得C12C22，所1xtt解得

x1ttd(xy)dtxt（2）解：①+②得则13dxdtutdudtxydudt解得x2u1yC1et（C1为常数）③令udu1tdt代入①得ut，即3u11两边积分得eC0ln3u1ltnCC0为常数），整理得(3u1)30（C2t（C2）代回11C23x(1)(11)1C23x313原变量得(1) ④。将初值代入③，④得tt11Ce1y(1)11333得txC103得解C20yt3

7．证明：令1(t)t)s)C（C为常值向量）2(t)ts)C，那么d1(t)dtdt)dts)C，d2(t)dt的解，所以由以d2(t)dtAts)CA2(t)dts)d(ts)dXt)因为t)是.C。X(t)dtdtdtd1(t)上两式得(t)s)C1(t)，dt。又因为X(0)I,所以有1(0)sC)，，2(0)s)C。所以根据解的惟一性定理可知，ts)Ct)s)。令stt)s)C因而有(t)s)，代入上式得(0)t)t)E,因而1t)t)。

8.证明：此方程的满足初始条件x(0)X(t)x0x0的初值问题可等价于积分方程tt0A(s)x(s)ds对上述方程，应用毕卡逐次逼近法，只需考虑，t0X(x0)x0EX2(t)E,

tt0X0(t)EA(s)dsX1(t)Ett0tt0A(s)X0(s)dsEt0tt0A(s)ds12t，2tt0A(s)X1(s)dsEtt0A(t)(A(s)ds)dEA(s)ds(t0tA(s)ds)d(A(s)d)Et0tt0A(s)ds(A(s)ds)t0

X3(t)Ett0A(s)X2(s)dsEtt0A(s)dstt0A()(A(s)ds)dt021tt0A()(A(s)ds)dEt02tt0A(s)ds12(A(s)ds)t0213(A(s)ds)t03由归纳法易知X(t)tXn(t)Ett0A(s)ds12(A(s)ds)t0t21n(A(s)ds)t0tn显然，其limXnt()ext0tpA(s，可得原方程的通解为d(s))exp(A(s)ds)ct0t中c为任意的常值列向量。

9. (1)解：矩阵A的特征值为3，-2，对应于1=3的特征向量X00x1足代数方程组(1EA)005x21，所以x是1=300y1x1满x2的一个特征向10P01量。同理A22对应的特征向量为，故e301e30ePP

220e0e

（2）A的特征方程为EA对应于110，解之，得特征根为i。1i的特征向量x1Xx2满足代数方程组i1x11所以(1EA)0Xi1ix2是1i对应的一个特征向量。同样A的特征值的特征向量1212i2，所以i2可得21由i对应的一个特征向量为Y。i1组成的矩阵Pi11，其逆矩阵Pi*P1i1P2ii1111e0Aeiii0ei1212ieiei2iiiieie21212i1ii(ee)22i1ii(ieie)22ii(ieie)cos1sin12

1iisin1cos1(ee)2SIA（3）解：有：S2011从而(SIA)S21*(SIA)S2(SIA)02(S2)1S21于是eA122ee1(SIA)20e

S2*S2(SIA)(SIA)142SS22S（4）解：有(SIA)S214从而(SIA)1，S2于是eA11(SIA)114

31110.（1）解：A002131000102133B1,矩阵A经过初等变换变为矩阵B，则矩阵A与矩阵B有相同的特征值。矩阵B为分

块矩阵，设B2D13110CD,则可知1为B的一个特征值。下面求征2的特31值。其特征方程为A，det(DE)21则可得121。对于矩阵50。PePJ1存在一个非奇异的矩阵P，使得P1APJ,所以eAdetePeAJ。故P1eJ123e11e2.

e11. (2)解：先求对应的齐次方程组1.xy.y2xy的通解。特征方程为det(AE)21(2)(1)0，特征值为12,21。对应于12u121u112的特征向量U满足代数方程组021u2u2，所以U是12对应的一个特征向量。同理可得对应于2e1xU。所以得齐次方程组的通解为C12e2t1y2t1的特征向量为etC2et。用常数变易法，令e2txC1(t)2e2tyetC2(t)et将其代入原方程组，得2ttC1(t)eC2(t)e5cost..2C(t)e2tC(t)et012..解之得.52tC(t)tecos13，.C(t)10costet23积分得122t2tC(t)sintecoste133C(t)5sintet5costet233得原方程组的一个特解x*e2t122t2t(sintecoste)y*2e2t33et55tt(sintecoste)et332sintcostsint3cost

因此原方程组的通解为2ttxC1eC2e2sintcost2tty2C1eC2esint3costexC12e2ty2tetC2et2sintcostsint3cost即

（3）解：先求对应的齐次方程组1.xy.yx的通解。特征方程为det(AE)112。特征值为01i,2i。对应于1i的特1是1ii征向量Uu1i1u1满足代数方程组01iu2u2。所以U对应的一个特征向量。此时可得方程组的一个复值解1costisinttYeisinticost.xy，其实部和虚部就是方程组.yx的两个实值解。且显然它们线性无关。所以得齐次方程组的通解为xcostC1C2ysintsint，其中C1，C2cost是不为零的常数。用常数变易法，令xcostsintC(t)C(t)12ysintcost，将其代入原方程组，得.C1(t)cost.C(t)sinttan2t2..2C1(t)costC2(t)sinttant1..C(t)sintC(t)costtant12解之得：，积分得C1(t)sint1C(t)cost2costx*sy*得原方程组得一个特解为ts1t(cosctostcinttan，因此原方程组得通解为)os2otsctinstinxcostC1C2ysintxC1costC2sinttantsinttant，即cost2yC1sintC2cost2。

.x3x2y（4）解：先求对应的齐次方程组的通解。易知特征方程为.y2xydet(AE)3221(1)0特征值为121。因此，齐次方程2rr12txt11组有形如e将其代入非齐次方程组并消去et的解。yr21r22tr11r12r123(r11r12)t2(r21r22t)r21r22r222(r11r12t)(r21r22t)2r11r12r210,rr212后得比较t的同次幂的系数可得21202,2r2rr1102,r2r0，即r12r22,r122r112r21。令r111，r211，则r12r220，那么相应的特解为1xtey1，令r110，r211则r12r222，那么相应的特解为1tCe212t。2t12txxtteCe。因此，齐次方程组的通解为1y2t1y用常数变易法，令xtC1(t)ey1tC2(t)e12t，将其代入原方程组得2t1..ttC1(t)e2C2(t)te0...C(t)et2C(t)tetC(t)et15et122解之得t.)C1(t.C(t)1323t0积分得15t52)1t2C1(t。32)1t0C2(t得非齐次方程组的一个特解为xy**58t212tt2t2t12te10tee3512t110t28t253于是，原方程组的通解为512t8t2xtttC1eC2ee35y12t110t28t25t2x(C12C2t8t)e。即53t22y(C12C2tC28t10t)e

.xxcost12.解：对于方程组.yxesint，由xxcost，分离变量得..dxxcostdt解得xCe由ysintC1esintesint得yC，解得yC1tC2故原方程组得1xC1esint通解为yC1tC2（C1，C2为不为零的常数），则得系统的一个通解，则它的基本解矩阵0I1为esintx(t)C1t0C21esitn(t)t01，又e0(0)00110，故C1120。C1的特征方程det(CE)12i01(1)0。故其特征值为121。有ieTi得1e2，故2i0(mod)i，则得该系统的特征乘数121，特征指数120(modi)。

13.证明：设t)是系统（LHP）的一个基本解矩阵，由定理2.19可知，存在一个可微的周期为T的非奇异矩阵函数P0t),以及一个常值矩阵R，使得t)Pt).e，设J是矩阵R的约当标准型，则存在非tR0奇t)异1常tR值e0矩1阵P)tSS.tJ0S1使得tS1RJS,所J以P)t.e。根据定理)P.t2.8.，且因为SeSt)是系P0t).统（LHP）的一个基本解矩阵，所以t)的一个基本解矩阵。记P(t)P0t).S也是系统（LHP）。所以t)P(t).etJ。由该系统有一个特征指数是，则该系统就有形如P(t).et的解，由et是一个常数，故证明了该系统有一个特征指数是的充分必要条件是该系统有形如et.P(t)的解。

14.证明：系数1矩32阵的特征方程为321cost2det(EA)13costsint2120。则可得特征32221sint2costsint值为(1(13232211,7i24。C()exp(A(s)ds)0。又，，0coss)ds23230coss240cosssins)ds40sinsdcoss4cosC()ee4sinsincos求sinC2的特征方程为det(EC)ee4cose444sine442ecose20，故得Ccos的特征值为12e。故此系统的特征乘数为e4。

15.证明：1）设(t)是系统（LNP）的以T为周期的周期解，则显然必须有(0)(T)。反之，设(t)是(LNP)的解，且(0)(T).下证(t)是以T为周期的函数。由A(tT)d(tT)dtA(tT)(tT)f(tT)A(t)(tT)f(t)以及并且

A(t)t0

f(tT)f(t)可得d(tT)dt(tT)|(t)，(0)(T)由初值问题（1）的解得存在惟一性知(t)(tT)。

2）设t)是以数变易1(1)(t)，(2)(t)，(n)(t)为列向量的n阶方阵，则用常一解为即法可t0求1得(LNP)的任(t)(t)(0)(0)(t)()f()d(t)(t)(0)(t)()f()d0t1由1）知(t)是以T为周期的解得充要

条件是(0)(T)，因此(0)(T)(0)下述方程确定(En(T))(0)0T1T0(T)()f()d1亦即(0)由(T)()f()d其中En是n阶单位矩0阵。此式子能惟一确定(0)的充要条件是En(T)等于1的特征根。

16. 解: 作变换，令edx2xyd变为dy2xydt即矩阵(T)没有，则tdxdtdxd，tdydtdyd，那么，原方程组11，其特征方程为det(AE)22(1)0，特征值为10,21。

相应于10的特征向量则u2u12应满足u221u101u2即2u1u2，令u11，x12，那么相应于10的特解为。

y2u11相应于21的特征向量应满足2u21u10即u1u22u2，令u21，则u11，那么相应于21x1的特解为ey1。

所以方程组得通解为为x11cct12y21x1c1c2ey211代回原变量得方程组得通解即xc1c2ty2c1c2t，（c1,c2为非零常数）

它们的朗斯基行列式为W(t)c12c1c2c2tc1c2tCt,C0。W(t)在t0时等于0，但当t0时W(t)0，这不与定理2.7矛盾，因为在计算过程中

t0，所以W(t)在tJ是都不等于零。

17.证明： 充分性：由式（2.88）成立，则可知零解是一直稳定的。不失一般性，令x(t)t)t0)x0t)t0)11x01.x0M.e，则对(tt0)tt0,t0有，于是零解是全局指数稳定的。

必要性：设系统（LH）的零解x0对t0定义1.12知道，有x00是全局指数稳定的。则由，存在M()0,使得当1(tt0)，使得对任何0时，对于一切tt0I有t)t0)1x(t)t)t0)x0M().x0e于是有M().x0e(tt0.)1x0M()ett(0Me)tt(0即)证式（2.88）成立。

18.证明：系统x(t)(t)1.xAx(xR)n的满足初始条件x(t0)x0的特解为(t0)x0，由于它的零解是渐进稳定的，由定义1.4可知，对tt00，存在1(t0,)使0x0时对一切t有。x(t)(t)(t0)x0，同时(t0)0使得当x0(t0)时limx(t)0xAC(t)x.利用常数变易法可得系统x(t)(t)1的解为x0.(t0)x0tt0(t)1(s)C(s)x(s)ds。对于上述，当时，对一切tt0，x(t)tt0C(s)dsr(tt0)从而可知系统xAC(t)x的一切在(,)上有界，即它的零解对t0(t0)0x(t)(t)1是稳定的。对于上述时而当(t0)x0x0(t0)1tt0(t)(t0)x0C(s)ds(t)1(t0)x01r(tt0)

tlim(t).1(t0)x0mx1r(tt0)由迫敛性知tlit()0所以系统。xAC(t)x的零解对t0.是渐近稳定的。

x0的特解为x(t)(t)b119.证明：系统xAx满足初始条件x(t0)(t0)x0。由于该系统的零解是稳定的，由定义1.4知，任取正数数）存在(,t0)0使得当x0（b为常时x(t)(t).1(t0)x0，tt0利用的解为常数变易法可得系统x(t)(t)tt01xAC(t)xx(t)(t0)x0tt0(t)1(s)C(s)x(s)dst，因此tt0C(s)d，s。因为.C(s)ds所以记C(s)dsMt0即x(t)(M1)由此可见系统xAC(t)x的一切解在,上有界。

..xy20.证明：对于系统xx0(xR)，令xy，则原系统可化为.yx，此系统对应的特征方程为det(AE)11102，其特征值为1i,2i，故可得到该系统的零解是稳定的，又由对于线性自治系统来说，稳定与一致稳定是等价的，故系统xx0(xR)的零解是一致稳定的。

对于系统.xy.2yxytx2t1.xx0,t0,xR。令.xy，则原系统可化为特征方程为，此系统对应的det(AE)12t122t10，其对应的特征值为

111tt2,211tt2，这两个特征值的实部均大于0，所以这个扰动系统的零解是不稳定的。

23.证明：对于线性系统x.A(t)xg(t)，设xx(t)是一个未受扰解，令.y(t)x(t)x(t).则得扰动系统为线性齐次系统yA(t)y，系统是xA(t)x(g的未受扰解)txx(t)对应扰动系统的零解y0。设(t)系统y.则该系统满足初始条件y(t0)y0的特A(t)y的一个基本解矩阵，1解为y(t)(t0)y0。因为(t)为不变的量，故y.与初始值成比例，比例系数为(t)，则可得系统y无关，又由系统x.A(t)y解的稳定性结果与初始值的大小.A(t)xg(t).的稳定性与yA(t)y零解的稳定性一致，故得对于线性系统x稳定性是等价的。

A(t)xg(t)的任何解xx(t)，局部稳定性与全局