2024年1月11日发(作者：)
CFD仿真验证及有效性指南
摘要
本文提出评估CFD建模和仿真可信性的指导方法。评估可信度的两个主要原则是：验证和有效。验证，即确定计算模拟是否准确表现概念模型的过程，但不要求仿真和现实世界相关联。有效，即确定计算模拟是否表现真实世界的过程。本文定义一些重要术语，讨论基本概念，并指定进行CFD仿真验证和有效的一般程序。本文目的在于提供验证和有效的重要问题和概念的基础，因为一些尚未解决的重要问题，本文不建议作为该领域的标准。希望该指南通过建立验证和有效的共同术语和方法，以助于CFD仿真的研究、发展和使用。这些术语和方法也可用于其他工程和科学学科。
前言
现在，使用计算机模拟流体的流动过程，用于设计，研究和工程系统的运行，并确定这些系统在不同工况下的性能。CFD模拟也用于提高对流体物理和化学性质的理解，如湍流和燃烧，有助于天气预报和海洋。虽然CFD模拟广泛用于工业、政府和学术界，但目前评估其可信度的方法还很少。这些指导原则基于以下概念，没有适用于所有CFD模拟的固定的可信度和精确度。模拟所需的精确度取决于模拟的目的。
建立可信度的两个主要原则是验证和有效（V&V）。这里定义，验证即确定模型能准确表现设计者概念模型的描述和模型解决方案的过程，有效即确定预期模型对现实世界表现的准确度的过程。该定义表明，V&V的定义还在变动，还没有一个明确的最终定义。通常完成或充分由实际问题决定，如预算限制和模型的预期用途。复合建模和计算模拟没有任何包括准确性的证明，如在数学分析方面的发展。V&V的定义也强调准确度的评价，一般在验证过程中，准确度以对简化模型问题的基准解决方法符合性确定；有效性时，准确度以对实验数据即现实的符合性确定。
通常，不确定性和误差可视为与建模和仿真准确度相关的正常损失。不确定性，即在任一建模过程中由于缺乏知识导致的潜在缺陷。知识缺乏通常是由对物理特性或参数的不完全了解造成的，如对涡轮叶片表面粗糙度分布的不充分描述。知识缺乏的另一个原因是物理过程的复杂性，如湍流燃烧。误差即在建模和
仿真的任一过程中可发现的缺陷，这不是由于缺乏知识导致的。错误误差可分为可知的和不可知的。一个可知误差的例子是，物理模型简化过程中，圆在数字模拟和物理近似时的误差。不可知误差有失误和错误，如程序错误。
在V&V的定义中，把“预测”一词的意义从一般用法限制为考虑CFD模型验证过程。预测的定义为使用CFD模型预测一个未经CFD模型证实的状态下的物理系统。该定义是预测的一般意义的缩小，因为它用实验数据消除了过去的比较。如果没有这个限制，那就只表明验证数据库中的实验数据与以前数据的符合。V&V的进行应视为历史表述，即可重复地证明模型在解决指定问题时能达到给定的精度。从这个角度看，显然V&V过程没有直接要求预测的准确性。
验证的基本策略是识别和量化计算方案的误差。在CFD模拟中，主要有四个误差来源，即空间离散化收敛不足，时间离散化收敛不足，迭代收敛的不足，计算机编程。验证测试中最重要的是系统地精细网格尺寸和时间步长，目的是估计数值解的离散化。当网格尺寸和时间步长接近零时，离散化误差渐近于零。渐近区域出现后，可用Richardson的外推法估计零网格间距和时间步长。大多数情况下，CFD方程是高度非线性的，绝大多数求解这些方程的方法都要求迭代。迭代通常发生在2种情况下：1）所有的边界值问题（即整个计算域）；2）在每个时间步长内的初始边界值问题。在验证测试中，求解对收敛标准大小的灵敏度应是变化的，应该建立一个与仿真目标相一致的值。在验证过程中，把计算方案和高精度方案相比较，是用来量化计算方案的误差的最准确、可靠的方法。但仅有相对较小的简化问题的高精度方案是已知的。高精度方案可以分为三种类型：解析解，常微分方程（ODEs）的基准数值解，偏微分方程(PDEs)的基准数值解。分别由解析计算、常微分方程计算和偏微分方程计算，显然更是基准解准确性的一个问题。
有效性的基本策略是识别和量化概念和计算模型的误差和不确定性。推荐的有效性方法是使用结构单元的方法。该方法将复杂的工程系统划分为三个逐步简单的阶段：子系统情况，基准情况，单元问题。该方法的策略是评估计算结果的准确度，（准确度）与在复杂状态多层次下的实验数据（量化的不确定性估计）相比得到。过程的每一步表示一个不同层次的流体物理耦合和几何复杂度。一个完整系统包括验证CFD工具所必需的实际硬件或系统。因此所有的几何和流体物
理效应同时发生；通常，完整系统包括多学科的物理现象。子系统情况下，代表实际硬件初步分解为简化或局部流动路径。与完整系统相比，这些情况的每一个通常代表有限的几何或流体特征。基准情况代表完整系统连续分解的另一等级。这些情况下，要组合单独的硬件以代表各子系统的重要特征。基准情况比子系统的几何结构更简单，因为通常在基准情况只有2个单独的流体物理和2个流动特征相耦合。单位问题代表完整系统的全部分解。制造和检验高精度、专用硬件。单位问题的特点是非常简单的几何形状，一个流动的物理特征，和一个主要的流动特性。该阶段的另一特点是以不同数量的实验信息为初始条件和边界条件来求解每个阶段的偏微分方程。此外，不同阶段对实验测量不确定度的评估有很大差别。
1.简介
1.1背景
计算流体力学（CFD）是一种新兴的技术。它是随着现代数值计算的产生，理论和实验科学的经典分支的合并。在过去40年中，计算流体力学取得非凡进展。这一进展大部分是由数字运算速度惊人的增长所推动的。自1955 年以来，计算的成本降低了约五个数量级[1]。数字计算的力量已经改变了流体力学的研究和工程，正如它用于几乎所有人类致力于的领域。
流体流动过程的计算机模拟，现在用于设计，研究和工程系统运行，并确定各种条件下的性能。使用的系统可以是现有的或也可以是在设计状态、非设计状态、故障模式状态，或事故状态下的推荐系统。CFD模拟也用于提高对流体的物理和化学的理解，如湍流和燃烧，并有助于天气预报和海洋。此外，这种模拟也用于制定公共政策、准备安全程序、确定法律责任。CFD模拟的研究人员、开发人员和用户，以及那些受仿真结果影响的人，都充分关注结果的可信度。
虽然CFD模拟已广泛用于工业，政府和学术界，但目前还缺少一致的可靠性评估程序。评估可靠度的主要原则是验证和有效（V&V）。这里定义，验证即确定模型能准确表现设计者概念模型的描述和模型解决方案的过程，但不要求模拟与真实世界的关系。有效即确定计算模型是否反映现实世界的过程。验证要确定
问题是否得到了正确的解决，而有效则要确定正确的问题是否已经解决了。V&V需要一个一致的合理的框架，以获得CFD建模和仿真的最大优势。
1.2范围
V&V的基本策略是评估计算仿真中的误差和不确定度。所需的方法是一个复杂的过程，因为它必须评估CFD的三个根本的误差和不确定性，即理论、实验和计算。鉴于这些不同的观点，在V&V的术语中不一致和冲突是常见的。此外，由于流体力学由非线性现象主导，多个非线性强烈耦合是常见的。这也给带现象的建模和求解由此产生的非线性偏微分方程来了显着的困难。
本文主要基于由计算机模拟社团和美国国防部国防建模与模拟办公室[2-4]制定的术语。但是，关于V&V的方法，计算科学还没有提出一般和全面程序的出版物。要求现任政府设立V&V方法是合理的。本文的目的是推动V&V基本术语和方法的建立，以用于CFD模拟。
重要强调的是，本文件提出了CFD模拟的V&V规范，而不是标准。AIAA标准程序分为三个层次：指南、推荐做法、标准。本文为第一级，指南。AIAA计算流体力学标准委员会一致认为，CFD现状还没发展到可以写标准。委员会定期修订本文件，采取编制本文件时相同的方法。那是，其他AIAA技术委员会和任何对CFD发展感兴趣的个人将广泛参与修订。
一些档案期刊已发展了关于流体模拟的数值精度控制的编辑政策[5-8]。数值精度是V&V的一个方面，但也有更多的方面，如这些指南讨论的。虽然它是希望这些指南可以提高期刊的论文质量，出版物的相关问题并没有具体讨论本文件涉及的范围。还应明确指出的是，这些指南所述的程序不是任何AIAA期刊或在AIAA主办的任何会议手稿的必要条件。
本指南断定，还没有适用于所有CFD模拟的同一可信度或准确性。模拟的准确度取决于模拟的使用目的。在效果上，不需要所有的模拟都表现出较高的准确度。例如，绝对或高精度模拟通常不是工程活动需要的，其模拟只需可用，不要求完美。所需的准确度，必须由每个模拟的使用确定。影响准确度的典型现实是成本、进度、和模拟的安全性影响。
1.3概述
第2节定义了一些基本术语，例如模型、误差、不确定和预测。还讨论了选
择定义的原因和定义的影响。第3节介绍了验证的方法，这是适用于流体力学偏微分方程的离散解。推荐的程序适用于有限差分法，有限元法，有限体积法，谱方法，边界元法。提出分析求解的使用和基准数值解的验证，以及相关的空间和时间步长收敛和迭代收敛的问题。第4节讨论了有效的方法。CFD模拟的有效是许多与实验数据相比的等级组成的公理。该方法中，有效的层次元素是单位问题，基准情况，子系统情况，和完整系统。有效方法不仅强调复杂工程系统的实用方法，还指出了有效和校准之间的相似和区别，并讨论了有效实验的设计和进行的要求。
2.概念和术语
建模和计算模拟基本概念和术语的建立，有一个长期的努力。数十年前运筹学（OR）社区就开始了基本原理的认同和辨识，早在CFD社区[ 2,9-14]关注以前。在编写本指南的过程中，下述组织研究了定义和概念：国防部(DoD)[ 3,4 ]，电气和电子工程师学会[15,16]，美国核学会[17 ]和国际标准组织[ 19,18 ]。下面的小节定义和讨论在CFD建模与仿真中的重要术语。
建模与仿真
模型，建模和模拟的术语，在很多学科中广泛使用。因此，这些术语在具体的上下文和某一学科有不同的定义[ 16,20 ]。本指南中使用的术语定义如下：
模型：表示一个物理系统或过程，以提高我们的理解、预测、或控制其行为的能力。
建模：构建或修改模型的的过程。
模拟：模型的运动或使用。（也就是说，一个模型在模拟中使用。）
运筹学社区已定义了建模和仿真的基本阶段已经确定的或社。图1显示了计算机模拟社团(SCS)采用的基本阶段和过程[2]。请注意，本文所提供的所有术语的定义与图1所示的SCS结构一致。目前的指南在许多方面都超越了图1，但我们的扩展与SCS的一般观点一致。
图1列出了两种类型的模型:一个概念模型和一个计算机模型. 概念模型是由所有的信息，数学建模数据，和数学方程描述的物理系统或兴趣的过程组成。概念模型是通过分析和观察的物理系统。在CFD中，概念模型是以偏微分方程（PDE）为主的质量，动量和能量守恒方程。计算机化模型是一种操作计算机程
序，该程序是用来实现概念模型。将与计算机模型相关的现代术语作为计算机模型或代码。图1清楚地描述了V和V的含义，并且描述了他们与另一个Q之间的相互关系。
2.2认证与验证
认证的定义来自于DOD模型，并稍作修改；然而验证的定义完全来自于DOD{3,4}：
认证：确定模型实现的过程，这个过程准确地表示开发人员的模型概念描述和模型的解决方案。
验证：确定模型的随机性和偏差度的过程是一个精确的测量方法，它能从结果中表达真实世界。这些观点的预期用途的模型。
如图1所示，验证解决了对概念模型计算（或计算机化）模型的保真度问题。我们改变了DOD模型认证的定义，来澄清概念模型的解决方案在准确度测定范围之内。验证解决计算模型的保真度问题，或其结果，i.e.，模拟，到真实世界（或其结果从模拟到真实的问题）。图1中的“模型资格”指的是概念模型的真实性问题。一个更符合目前工作的术语是“概念模型有效性”[ 12 ]。
在V和V的定义里有一些重要的含义和细微的差别，第一个关键特征是两者都是“确定的过程。” 也就是说，他们正在进行的活动，没有一个明确定义的完成点[ 4 ]。完成或充分性通常取决于实际问题，如预算约束和预期用途的模型。该定义包括正在进行的过程中的物性，因为一个不可避免的，但令人痛心的事实：除了一般的的模型之外，计算流体力学模型（CFD）的准确性、正确性和准确性不能证明所有可能的条件和应用。所有包括正确性的证明，如数学分析，它不存在复杂的建模与仿真。事实上，不平凡的计算机代码不能被证明是没有错误的-少量的物理模型。只有具体的正确性或准确性的演示才可以构建在V和V的活动中。
它们第二个共同特征是强调“准确性”，它假定一个正确的程度是可以确定。在认证活动中，测量精度是一般简化模型问题的基准解决方案。通过基准解决方案，我们的意思是分析的解决方案或高精度的数值解。在验证活动中，测量实验数据的精度，i.e.，现实。然而，基准解决方案和实验数据也有缺点。例如，在流量物理和几何形状的复杂性中，基准的解决方案是非常有限的；所有的实验数
据和偏置误差，它们都可能会导致不准确的计算流体力学（CFD）结果。这些问题在本文档的章节中做了更详细地讨论。
在本质上，验证提供的证据表明，该模型得以正确地解决。验证不解决模型是否与现实世界有任何关系。验证活动仅对计算流体力学模型（CFD），数学和计算机在计算流体力学系统中的代码表示的问题进行评估，来判断是否得到精确解。
另一方面，验证提供的证据表明，正确的模型得以解决。这个观点意味着该模型得以正确的解决，或验证。然而，多个错误或不准确，可以取消另一个并给出一个有效的解决方案的雏形。认证是验证过程的第一步，然而并不简单，它比许多综合性验证要复杂一些。相对于真实世界的具体条件来说，验证解决了模型的保真度的问题。“证据”和“忠诚”两个词都隐含着“宽容的估计”的概念，而不是简单的“是”或“不”的答案。
在模拟复杂的流动物理或多学科的工程系统时，严格的验证程序通常变得不切实际。例如，当所有重要的物理模型参数不知道的推理时，一些参数被认为是可调的。或当网格解决方案是不可能实现的时，由于模拟需要计算机资源，必须作出调整，以提高带有实验数据协议。当这些类型的活动发生时，术语校准比验证更适合描述这类过程。在4.2节中给出了校准的定义，在其中也讨论了它的验证关系。
2.3不确定性和误差
在建模和仿真中，不确定性和误差可以被认为广泛的类别是与损失的的损失通常。大量的技术学科的研究已经解决了各种各样的不确定性和错误估计的识别和手段。一些错误，如计算机的全面关闭和迭代处理的不确定性：敏感性分析和收敛错误是很好理解的。另一方面，一些错误，如在奇异的或不连续的偏微分方程（PDE）的离散解的数值误差，不能很好的理解。建模和仿真中的其他不足之处与不确定性之间的联系，而不是错误。例子是不确定性的表面粗糙度的模拟流在涡轮机叶片和湍流模型的有效性的不确定性。
在CFD学科中，不确定性误差通常被互换使用[ 21-24 ]。然而，它被认为，这些条款之间的区别是失败的，是对建模和仿真中可靠性的量化不利的。这种理
念通过现代信息理论得以加强，已在划定的根本原因和不确定性的意义取得重大进展 [ 25，26 ]。在现代信息理论中，关于不确定性的量化一些概念得以更新，这些新概念已由不同的研究人员在分析工程系统风险和失败中加以运用[ 27-32 ]。在这一文献的基础上，在建模和仿真领域，有一个最近的尝试更仔细区分不确定性和错误[ 33 ]。以下是在最近的工作的基础上对不确定性的定义：
不确定性：由于缺乏相应的知识，在任何阶段或活动的建模过程中有一个潜在缺陷。
在定义中强调的第一个特征是潜在的，这意味着这个缺陷可能发生或可能不会发生。例如，即使缺乏相应的知识，由于在一些事件的预测中需要该计算资源，有可能没有不足之处。一些概率分布的类型一般是用来表示缺陷的发生或不发生。不确定性的二个特点是其根本原因是知识的缺乏。知识的缺乏通常是由于不完整的物理特性的知识或参数引起的，如在涡轮机叶片上的表面粗糙度的分布不充分的特点。知识的缺乏也可能是由一个复杂的物理过程引起的，如湍流燃烧，或在一个物理过程的数学模型，在简化模型的湍流的细节上使用的细节的限制。
有两种相关的方法处理不确定性：敏感性分析和不确定性分析。[22, 32,
34-36]敏感分析是由多种模拟代码构成的，以确定该模型的某些组成部分的变化对一定输出量造成的影响，比如一个输入参数或者是建模假设。
有时，敏感性分析被称为假设或扰动分析，然而敏感性分析通常不用来分析各种不确定因素的相互作用或者是变动的相关置信水平。分析燃烧化学模型对火箭发动机推力的影响便是一个关于假设敏感分析的例子。和敏感分析一样，不确定分析也是由多种模拟代码组成的。但是，不确定分析往往与连续变化的模型参数有关，而这恰恰以概率分布的形式表现的。蒙特卡罗模拟法确定制造铝皮厚度的变化对气动弹性模式频率的影响就是一个不确定分析的例子。
对于误差， 我们给出以下定义：
误差：在任何阶段的可识别的不足或者是非由知识性缺少而造成的建模与仿真活动失误。
这个定义强调的是可通过实验检查出的不足或缺点。因此，有一个公认的更精确的方法，并且这个方法具有实际操作性。如果对于这个正确或精确的方法存在分歧，那么我们要么纠正这个分歧，要么就让它存在。这意味着误差类型具有
分离性：可确定的误差或不可确定的误差。可确定的误差包括数字电脑的舍入误差，为了简化建模的物理过程而设的物理近似值，数值化方案中制定的迭代收敛性。如果分析者在建模或模拟过程中使用了这些可确定的误差，那么我们就能估计出误差的大小。不确定性误差包括一般人为的错误和误解。例如：分析员在建模和仿真时本打算做一件事时却因为人为错误而做了另外一件事情，如程序错误。没有明确的方法估计或避免不确定性误差。程序法是最常见识别不确定性误差的方法，如对于输入数据的单独检查可查出所犯错误。
这些区别不确定性和误差的定义对于那些熟悉实验性测量的人来说似乎很奇怪甚至不合适。在实验测量中，误差被定义为“测量值和真值的区别”。实验科学家将不确定定义为“误差估计”然而这些定义对于建模和仿真是不当的。有两个原因，第一，科学实验家对误差的定义是基于两个因素的，即测量值和真值。除了标准定义的特殊情况，测量值是确定的而真值却是未知的。所以在大多数情况下真值和误差都是不可知的，它们只能通过主观来估计。这里给出的误差和不确定性的定义用学科分离了这两个术语的意义。例如：什么是“已知的”（或是可确定的）；什么是“不可知的”。可以看到的是结果是，给定的误差定义并不与常见的误差定义矛盾，只不过少了些要求。第二，通过将不确定性定义为误差估计，科学实验家认为，从信息论的角度不确定性和误差是一个相同的实体。例如，如果不确定性是零，那么误差也会是零，否则不确定性就可能是错误的。
2.4.预报和可信度水平
这部分阐述了验证，确认和预报之间的关系。在验证和确认的语境中，“prediction”这个词的意思不能用作CFD模型历史的验证活动。我们这样定义prediction
Prediction:使用CFD模型预报其在未通过验证的情况下的物理系统状况。
预报是指一种特殊情形的计算模拟，它与已经通过验证的情况不一样。这种prediction的定义是预告一般意义的一个子集，因为它排出了过去实验数据的对比，如，它是预告而不是事后说明。如果没有做这种限制，那么我们就只能用验证库中的实验数据展示之前的协定。强调预告意义的原因是建模和仿真能够以完全不同的方式进行。
目前为止，最常见的仿真使用情况是有大量实验数据及相关验证数据，另一
个是几乎没有经验和相关数据，这两种极端情况之间存在不同程度的经验和实验数据。
V＆V的过程的结果应被视为历史的陈述，i.e.，可重复的证据表明，在一个指定的问题的解决方法中，模型达到了给定的精度水平。从这个角度看，很显然，V＆V的过程不直接给出预测的准确性 [ 4 ]。这个解释似乎与这些过程的直观认识相矛盾；有些人可能会质疑，一个计算模型认证和验证的价值。对这些疑虑的反应会有两方面。首先，由于一个计算模型不唯一性，该计算模型预测的准确性不是由V＆V过程保证。这些过程不解决未来使用的代码，如：输入参数的正确性，新的兴趣几何的精度，代码用户的技能，建模假设的合适性，以及生成网格的质量。为了更好地理解计算流体力学模型（CFD）的非唯一性，考虑该计算模型作为一个非常复杂的工具。通过实现该计算模型有数以千计的形式，每一个可调整到特定的情况下，它变得迅速明显，在有效性方面，如何使用该工具是一个主要因素。也就是说，该工具表现如此的复杂，以至于在将来的某个情况下正确使用显然不是独特的，或在任何一般意义上的“保证”。 其次，考虑一个计算模型完成了一些V＆V过程。现在该模型被用来计算一个新的流场，如湍流反应流，在V＆V测试用例中，使用的流量不同。一个人可以问的基本问题：“给了V＆V的数据库，如何估计新的解决方案的准确性？“或类似地，”如何将V＆V的过程的可靠性保证量化为一个新的解决方案？“这些问题的答案是超越当前的建模和仿真的艺术状态。
另一个影响预测可靠性的重要因素是所涉及的复杂程度，在建模和仿真中，有三个复杂的方面应得以解决：1）物理过程的复杂性，2）所要表现的物理模型的复杂性，3）模拟输出量的预测难度的水平[ 39，38 ]。关于物理过程的复杂性，流体动力学提供了一个非常广泛的复杂性。以下几类提供了一种查看物理过程的复杂性的方法：
空间维度
时间性质
几何学
流动物理
因为它是一个处理这些不同方面的模拟，所以预测的可信度对它有直接影响。如果模拟被限制到具体的某一类问题上，其中这类问题的计算流体力学模型（CFD）已得以认证和验证，那么在解决方案准确性方面的信心会明显增强。
复杂性问题的第二个方面涉及建模复杂度。不同层次的物理模型可以给相同的模拟精度，因为增加建模复杂度不一定要增加精度水平。由于物理模型的复杂性水平增加，在不确定性和错误的来源、所需的信息量和所需的计算机资源方面有相应的增加。在计算流体力学有很强的趋势，特别是商业计算流体力学的代码，使代码的全面性得以扩大。然而，模型的预测能力取决于它的能力，即正确识别占主导地位的控制因素及其影响，而不是其完整性。模型是有限的，但据已知的，适用性与一个完整的模型相比，一般更有用，使用起来更便宜的。
复杂性的第三个方面是从模拟的物理量的物理量的预测难度的水平。例如，验证的总体正常力的超音速车辆并不意味着来自仿真的表面热通量已得以验证，从而得到相同精确度。保真度需要预测的这两个量是非常不同的。在许多模拟的预测难度，可以识别一些渐进的顺序。然而，这种顺序变得更加强大，甚至是不可能的，复杂的多学科工程系统。
3. 验证评估
验证是一个确定模型实现的过程，这个模型必须准确地代表开发人员的概念描述和解决方案。验证的基本策略是错误的识别和量化计算模型及其解决方案。如图2所示，这个过程主要依赖于比较正确答案的计算解，我们称之为“高度准确解。”
高度准确解
解析解
普通基准
微分方程解
解析解
局部基准
图2 验证过程
微分方程解
CFD模拟有四个误差的主要来源：空间离散化收敛不足，时间离散化收敛不
计算模型
概念模型
足，缺乏迭代收敛和计算机编程。第三节包含可能有各种来源的程序识别和错误估计，也包含关于高度精确解的讨论，可用于测量计算解的准确性。估计空间(即网格)和时序收敛的程序相似，并且被绑在一起。估计迭代收敛的过程包括一致性检查的技术解。编程错误不会处理成深灰色，涉及有关高度精确解的讨论。一个广泛的验证方法的描述和程序可以参考[40]。
验证活动主要是在开发周期的早期进行的CFD代码。然而，代码后续有修改或增强时，这些活动需要被确认。虽然在验证活动中所需的数值解精度取决于问题和预期使用的代码，通常需要精度要求更严格的验证活动。本节中给出的指南适用于有限差分、有限体积和有限元程序。其他数值解的程序，如涡方法，格子气方法和蒙特卡罗方法并不适用。此外，这些指导方针强调验证程序设定为稳定流动，而非不稳定流动，因为一般来说稳定流动更容易理解。
3.1 网格和时间步长收敛
验证测试中最重要的活动是系统地细化网格大小和时间步长。这个活动的目的是估算数值解的离散误差。随着网格大小和时间步长趋向于零，排除计算机舍入错误，离散化误差渐近接近零。这种关系产生的原因是：渐近区域的定义特征使离散方程的精确度得到解决，精确度伴随网格是恒定的，且时间步长减少。渐近区域既已被证明，理查森的外推法可用于估计网格间距和时间步长(22,23,41-44)。在这一点上，数值方案可以认为空间网格和时间步长都同时收敛。因为这个收敛的定义通常需要大量的计算机资源，通常是应用于简化或模型问题。更常见但不严谨，收敛的意义是在网格和时间步长细化的期间可以观察到一些重要的因变量的细微变化。还应该指出的是，网格和时间步长细化经常公开边界条件离散化错误和编程错误。
一般来说，二阶精度差分格式至少应在任何计算过程。Neumann-type相同的精确度的边界条件应当是离散的，像区域的内部点一样。给定解的二阶特性是这样的：当网格大小减半时，离散化误差减少四倍。对于复杂的流场，通常发现前两个解的网格分辨率不足，比如理查森的外推法中高阶术语不可以忽略不计。直到使用相同的网格聚类，配合已知(或先前证明)代码的精确度，计算两个个别解网格收敛速度，理查森的外推法不能用于估计误差(42,45)。如果理查森的外推法是合理地使用三种不同的网格分辨率，然后可以估计网格划分的变量。类似
的解释应用于减少时间步长。网格收敛率可以依赖于其他因素，如当地的流动特性和网格聚类。例如，某些变量更难收敛于变量区域中的一个精确解，比如速度和温度迅速通过边界层或自由剪切层。网格收敛率也可以依靠与流动相关的无量纲参数，如雷诺数和马赫数，也可考虑使用湍流模型等。
理查森的外推法不仅要在所有网格点上计算因变量，还要求解的泛函。泛函数量集成和分化，分别就像身体上升的和表面热通量。着重强调的是不同的因变量和泛函的收敛速度不同。例如，显示二阶收敛所需的网格和时间步长通常比当地表面热通量在身体上的总升力更加精细。，基于理查森的外推法，网格收敛指数(GCI)被开发了用于帮助评估网格收敛误差(23,46)。GCI将来源于任何网格细化比率的误差估计转换成一个等效倍网格估计。
奇点和间断点给验证带来一个特别困难的任务。根据定义，离散化是无效的，因为高阶派生物中被忽略的泰勒级数展开并不小。在可能的情况下，造成的奇点几何坐标应该进行适当的数学变换。概念模型中的固有奇点应该被合适的物理信息替换，排除掉离散模型。存在奇点不能被移除、并且间断流动的问题，当地网格和时间步长细化可能不会形成一个充分的网格解决方案，这是可以预料到的。对于这样的问题，当地的网格和时间步长细化的结果应该可以出来了，并且网格和时间步长细化的奇异性和不连续的的影响程度应该被记录下来。
3.2迭代收敛性和一致性测试
在大多数情况下计算流体动力学方程是高度非线性的，绝大多数解决这些方程的方法需要迭代。迭代通常发生在两种情况：1) 全局范围内边界值问题，即在整个域；2)在每个时间步长内的初始边值问题。通常，迭代收敛公差是指定的，计算网格中的每一点上连续的迭代步骤的解决方案之间的差异。如果差异的大小小于指定的公差，然后数值方案可以认为迭代收敛。然而，绝对值公差试验是不被推荐的，因为公差值与被测试的值不成比例。所有迭代公差收敛性判别准则应当参考测试值的大小以成比例，或规范化；也就是说，应该使用相对误差准则。然而，当规范值是机床零点时不应该成比例，因为计算机舍入对精度没有意义。在验证测试中，相对于收敛性判别准则的大小，解的灵敏度的应该多样化，应该建立一个标准与模拟的目标一致。应该意识到，例如收敛性判别准则、绝对和相对误差取决于迭代的收敛速度。
对于边界值问题，确定迭代收敛的一个更可靠的技术是基于标准的剩余残差差分方程[47]。计算每个迭代的剩余残差，差分方程的左右两边分歧的大小。为了测量整个领域的剩余残差，需要计算一个适当的矩阵范数。然后在迭代的开始，比较这个值与残差的大小。当误差范数随之减少，例如，五个数量级，就可以更确信迭代收敛。由任何或所有系统中偏微分方程的因变量，误差范数可以被计算出来。这种计算剩余残差的技术适用于各种迭代方法，及其可靠性不依赖于数值计算的收敛速度。
对于非定常流问题，每个时间步长的解，在时间上通常是通过集成和在空间上考虑全局。在每个时间步长迭代过程是类似的，然而，由于时间步长误差累积，迭代误差逐渐积累和解的完整性也遭到破坏。对于不稳定流动问题，每一步收敛性判别准则的相对值应当至少稳定流动问题的全局收敛性判别准则比小一个数量级。
其他各种检查，称为一致性检查，也可以用于验证测试。可以进行适当数量的全局维护检查[48]，以及关于影响的解边界条件的检查。一组边界条件测试评估是否在解中存在某些对称性特征。例如，如果流场中已知一个对称面，然后在这个平面上恰当变量的法向梯度可以设置为零，并且获得一个解。如果不设置这个平面的对称条件也应该获得同样的解，整个流场也解决了。然而，在不稳定流动或存在非唯一解的流动中应用此测试必须小心。在外部流场，计算域的边界在概念上认为是在无穷远处，离目标的空间区域很远。一般来说，用户定义的参数指定这些边界是如何“远”。如果边界太近，应用渐近条件有可能不准确。确定计算域大小通常的方法是系统地增加域的大小，直到解不再是依赖域的大小且与计算的目标一致。重要的是要注意，这个练习必须在网格和时间步长收敛内选择合适的网格和时间步长下进行。
3.3 高度准确解
比较计算解和高度精确解是定量测量计算解中的误差最准确和可靠的方法。然而，众所周知，高度准确解只有相对较少的简化问题。这些高度准确解可以分为三类，之前确定过，见图2：分析解，常微分方程的基准数值解，和偏微分方程的基准数值解。
解析解参考代表概念模型的偏微分方程特殊情况下的封闭解。这些封闭解通
常由无穷级数，积分，渐近扩张得出[49-57]。因此，数值方法通常用于目标计算解。然而，这些解的准确性相对概念模型的数值解可以更严格的量化。实际最显著的分析解的缺点是，它们只存在于非常简化的物理和几何图形。为了验证，技术生成更多种类的分析解也需要关注[58,59]。然而，这些解析解是非常类似于流体动力学方程的偏微分方程的解，但也增加了源项。
当需要对比计算解与高度准确解，应该沿着目标边界检查或计算整个解域的误差范数。应该确定每一个因变量的准确性或目标泛函。如前所述，所需数值解的精确度随着解变量的类型变化很大。
对于通用CFD模型的特殊情况，常微分方程的基准解是非常准确的数值解。这些常微分方程通常由假设而简化，如简单的几何图形和导致形成相似性变量的假定。例如平板层流的布拉修斯解，非粘尖锥流的泰麦二氏解，二维和三维滞止区域流动[51- 53,56]。
不管偏微分方程还是边界条件的特殊情况，偏微分方程的基准解都是准确的数值解。各种偏微分方程的基准解的例子有：在半无限平板不可压层流 [60-62]，抛物型板不可压层流 [63-65]，由一个移动的隔板驱动的一个方形空腔不可压流[66-73]，方形空腔自然对流的层流[74，75]，流经一个无限长的圆柱体不可压层流[76-79]，和流经后面的步骤中考虑传热和不考虑传热的不可压层流[80-84]。(注意，我们没有试图列出所有这些流场的高质量解，但仅代表解决方案。)
随着常微分方程的解到偏微分方程的解，基准解的准确性显然成为更大的问题。的确，文献中流场计算的例子被作者认为是高精度的，但后来发现精度不足。本指南建议直到它已经由独立研究人员仔细计算，没有发布的解被认为是一个基准解，最好是使用不同的数值方法。4 验证评估
从模型预期用途的视角，验证是一个确定程度的过程，反应了一个模型是不是对真实世界准确的体现。验证的基本策略是识别和量化误差，以及概念和计算模型的不确定性。由于CFD在工程的主要作用是作为高精度设计和分析的工具，有必要开发一个系统的、理性的、可用的代码验证程序，并且适用于各种各样的工程应用。本指南中推荐过程被描述在图3中。测量准确性的方法是通过系统地把实验数据与CFD模拟进行比较。这并不意味着所有实验数据具有较高的精度。
所有的实验数据都含有系统误差和随机误差。这些错误的大小估计(实验的不确定度)必须包括在与计算模拟的比较中。
计算模型
概念模型
试验数据
单元问题
基准案例
子系统
完全系统
现实世界
图 3
解析解
在验证评估活动中，应考虑有几个实际问题：
1. 验证测试用例的数量和每个测试用例所需的精度水平都是高度依赖于应用程序的。不可能为所有应用程序定义一套标准。
2. 在需要时，工程计算精度很高是不重要的，因为大多数设计都会在基准线上更改增量。只要在设计内借助工具预测趋势是一致的，并且确定了估计误差和不确定性，近似完美的模拟精度通常是可以接受的。
3. 验证过程必须在一个实际可行的工程环境，验证完成前，应用代码和产生的结果上可能存在重大压力。工程环境需要在一系列物理和数值参数下计算鲁棒性。
因此，验证过程必须是灵活的，必须允许不同程度的准确性，必须按照时间和资金允许做渐进式改进。
4.1 有效阶段
人们已经提出了几种有效性验证方法，但大部分都是初步的并没有深入发展。推荐的方法是一种使用积木式的方法[85-89]，如图4所示，这种方法将复杂的工程系统向下分解为三个逐渐简单的过程：子系统阶段、基准案例和单元问题。这种方法的策略是评估计算结果在不同复杂度层面上与实验数据（量化不确定性估计）的符合程度。
完整系统
子系统情况
基准情况
单元问题
图4
有效性验证阶段
完整系统
真实系统硬件
完整流动物理现象
所有相关流动特性
有限的实验数据
最多未知的初始和边界条件
子系统情况
子系统或者组件硬件
中等复杂流动物理现象
很多相关流动特性
大量的实验不确定性
一些测量的初始和边界条件
基准情况
指定组合硬件
两单元的复杂流动物理现象
两个相关流动特性
中等实验不确定性
最多测量的初始和边界条件
单元情况
简单的几何组合硬件
一个单元的复杂流动物理现象
一个相关流动特性
低的实验不确定性
所有测量的初始和边界条件
图5
这个过程的每一阶段代表一个不同的流动物理耦合和几何复杂性水平（如图5），一个完整系统由包含有效CFD工具的真实的硬件或者系统组成，因此，根据定义，所有的集合和流动物理效应同时发生，一个完整的系统通常包括多学科的物理现象。数据是在真实工作环境下测量的，但是这些测量是有限的，准确的测量条件如初始条件、边界条件是很难量化的，并且数据有很高的不确定性。
子系统情况代表真实硬件向简单或局部流场的第一次分解，与完整系统相比，每一个子系统情况通常表现出受限的几何和流动特性。完整系统的物理流动可能会被子系统合理代表，但是流动现象之间的耦合水平会减弱，子系统测试数据的质量和数量通常比完整系统好得多。
基准情况代表完整系统连续性分解的另一水平，对于这些情况，单独的硬件被组装一代表每个子系统的关键特性。与子系统相比，基准情况几何更简单，并且只有流动物理的两个单独特性，并且在基准情况下这两个特性通常是耦合的。耦合流动特性的例子有由激波引起的边界层分离、空穴流与分离流动区域的交互作用，由激波引起的可燃混合物的点燃。这一情况下的实验数据通常有证明文件且有较宽的范围。大多数与测量值有关的不确定性被量化，但是会遗失一些重要
的测量值，例如初始和边界条件。
单位问题代表完整系统的全分解。高精度、有特殊目的的硬件被组装和检查。单元问题的特点是：非常简单的几何、一个流动物理特性和一个区域的流动特性，包含高仪表化的、高精度的实验数据。此外，准备了实验数据的广泛地不确定性分析。通常，单元问题的实验在单独的设备上进行，以确保能够识别实验数据中的偏见、误差，对单元问题，所有重要的初始条件和边界条件被精确测量。
有效性验证过程的每一阶段都强调对CFD模型的某一特性进行评估。对单元问题这一阶段，所有数值方面的代码都应执行准确性验证、功能性和迭代收敛特性，此外，应进行系统网格敏感性研究以评估网格收敛误差和为更复杂流动情况设定网格精度提供指导。在基准情况阶段，重点转移到评估有限物理耦合准则（code）下的物理模型，同样需要进行网格敏感性评估以评估关键物理效应的必要细化水平。单元问题的经验可用来指导基准情况的活动。对子系统，采取对包含与完整系统相似的多重几何和流动特性的流场情况的完整代码练习的策略。同时评估网格拓扑结构和当地网格密度的影响及强耦合下的物理模型要求。由于计算机资源和实验信息的限制，有效性验证时计算相当少的算例。对完整系统，使用最合适的物理模型、最好的网格拓扑结构和网格密度来模拟真实的硬件测试情况。通过测试数据（考虑了测试误差）得到的符合性水平根据设计精度要求进行评估已建立所用策略的代码有效性水平。
以上描述的有效性验证过程应创建一个广泛地有效性数据库，这个数据库应能被用来指导未来的硬件设计而不用重复验证。作为一个对给定应用拥有更高信任水平的CFD代码，一个知识数据库应被发展并逐渐扩大。因此对一个相关应用扩大现有的有效性验证工作是相对直接的，因为相对较少的情况下可能需要验证。这种方法的一个例子如图6，在这里一个分析涡轮泵叶轮扩散器交互问题的代码被验证，上到子系统层对涡轮叶片破裂问题进行分析。
4.2校准
工程上建模仿真最常见的应用是预测增量的量化，这一保守方法提供了在复杂系统和过程中的增量变化因此在没有不可接受风险时，建模仿真的很多缺点都能忍受。例如，一个流体动力系统如飞机或者涡轮泵的设计期望和实际性能之间的差别就是仿真中固有错误和不确定性的测试，一旦这个不确定性或者错误被估计，相同的设计仿真工具同样地可被用于在可比的环境中预测评估相似系统的工作性能。不管是通过在增加仿真性能值的已知不确定性和错误还是通过调节仿真的不同单元以使计算结果和实验结果相符都经常用到。调节行为在复杂CFD
模拟中经常用到，并且与与有效过程相关的行为在概念上是不同的。事实上，调整行为包含一个不同的过程，可参考术语校准。
校准：为提高计算结果与实验数据符合性而调节计算模型中数值或物理模型参数的过程。
校准不是决定模型代表真实世界精确度的过程，不是确定结果的精确度，而是为提高计算结果与已有实验数据符合性提供指导的。因为财政预算和计算机资源的限制或者因为物理模型数据的不完整性，因而与有效性验证相比，校准是一个适应的过程。在很多情况下，校准和有效性验证之间的差别不容易识别，但是当校准执行时应努力识别，因为这直接影响到CFD模型预测结果的可信性。换句话说，校准影响的是计算结果与实验结果之间的差距有多远，并且对预测值的信任保持一个可接受的水平。校准不会产生和有效性相同可信性水平。
当复杂物理过程模型存在不确定性及实验中的测量不完整或者不精确时，更需要进行校准。在湍流燃烧流动、多相流及与其他物理过程如声学、结构动力学和辐射能传递有强耦合流动中，经常需要在计算中调节模型参数，例如，在用有限速率化学反应计算湍流反应流中考虑雷诺平均N-S方程时。因此应经常练习调节化学反应率以提高与实验数据的符合性。又例如在比较计算和实验数据时调节未知的或缺乏的特征参数（如边界条件）。不完整或不精确的数据经常被视为在计算代码中调节参数的机会。这种调节物理参数的行为与其他学科中用的高度发展的参数识别技术相似。例如，在结构动力学中，作为模型参数的机械接头刚度、接头阻尼能够清楚地被识别，在仿真结果与试验测量值中模型参数被最佳地估计。正式的参数识别程序能清楚识别分析的校准特性。
CFD校准行为如何影响预测可信性（如未来计算结果的精确性）是很难确定的，并且已经超出了现有技术。同样地，想要在校准计算中通过减少网格和时间步长收敛来评估预测精确性是很复杂的。对完整系统或子系统应用CFD模拟结果是常见的工程实践，而其可获得的网格解决方案远未解决。事实上，包含复杂物理的基准情况，尤其是三维模拟，可能没有网格解决方案。当基于网格方案确定的物理模型参数，而这网格已明确解决（under-resolved），那么这个就能被认为是校准的一部分。如果这个物理模型参数是基于更精细网格方案调整得到的，那么这种校准性质就能够被认可。当得到的重要数据与实验测得的符合性较好
时，网格不再细化，那这种校准行为也应该被认可，换句话说，进一步细化网格可能会减小实验数据符合性。
如同前文题到的，为了更深的理解每个过程，与有效性相比，校准的一些特性（subtleties）应该被强调。而且，增强对校准和有效性的理解对提高以后在预测复杂系统时的定量评估可信性有很大帮助。
4.3 实验数据要求
近来，已经开始向提高量化试验测量值的不确定性方法方向努力了。这些努力能够为有效性过程各个阶段获得适合的数据提供指导，从完整系统和子系统测试中获得的数据总是与特定硬件有关的，并且主要是通过大规模测试程序获得的。这些阶段提供的数据量通常受设计感兴趣的工程参数和系统性能测量的限制。这些数据通常有很大的不确定性，或者没有尝试进行评估不确定性。这些测试程序都需要昂贵的地面测试设备，或者全尺寸飞行测试项目。并且这些测试通常要在严格财政预算和日程限制的不利环境条件下进行。因此，对评估有效性所需要的物理模型参数、边界条件、初始条件的完整设置无法获得。事实上，用当前技术获得所有需要的信息经常是不切实际的或者是不可能的。
基准情况和单元问题应该提供精确代码验证的定性和定量数据。这两个阶段应该被认为是准确的CFD模型有效性实验，因为所有的重要行为都是以有效性为目的进行的且很少考虑系统或子系统性能、可靠性及产品竞争问题。有效性实验方法论的指导方针总结如下：
1 有效性实验应该被实验者和CFD代码开发者或者在整个项目中密切合作的用户联合设计，从开始到文件制定并且关于每种方法的优缺点都应完整说明。
2 有效性实验应能够扑捉到必要的流动物理特性，包括所有相关的物理模型数据及计算代码所需对的初始和实验条件。
3 有效性实验应该努力强调计算和实验方法之间的固有的协同作用。
4 虽然实验设计应该合作进行，但应保持实验和计算结果获得的独立。
5 实验测量应该有难度和特异性逐渐增加的层级，例如从全局综合数量到当地流动测量。
6 应包含不确定性分析程序，以通过分类描述和量化系统和随机误差源。
通常，基准情况和单元问题的有效性数据不是公司控股（company-proprietary）或者安全限制的。这些数据应该在公共数据库进行编译，例如AGARD流体动力学面板数据库和欧洲超音速数据库等。适合CFD有效性验证的高质量数据的需求不应被过分强调。
5总结和结论
仿真的可信性水平将是影响CFD作为一个研究和工程工具在未来的增长率的一个主要因素。CFD标准委员会认为建立这种可信性的关键是可接受的并且实用的双V验证术语和方法论的发展。本文中定义的验证是确定给定计算方案精确度的过程，也就是说，问题是否被正确解决？验证的基本策略是计算结果误差的量化和认定。而有效性验证是评估仿真计算代表真实情况的程度的过程，也就是说，是否解决了正确的问题？有效性验证的基本策略是物理计算方案的数学模型的误差和不确定性的量化和认定。其他的基本术语包括不确定性、误差、预测和校准。本文试图为模型验证和有效性验证的主要术语和问题提供基础。
这些预测指导方针没有适用于所有CFD仿真的固定的精确性要求，仿真所需要的精确性水平与仿真被使用的目的有关。并不是所有的仿真都需要论证高精确性而只要能估算仿真的误差或者不确定性。在复杂工程系统的CFD仿真中，精确性水平会受到花费、日程和系统失败风险的影响。
需要被强调的是本文中提到的方法论是指导方针而不是性能要求。CFD标准委员会认为CFD艺术的状态还没有发展到要求一致的程度。需要进行更多提高双V程序和详细方法论的研究。此外，需要更多关于基于双V的预测可信性定量评估的数学方法的研究。
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