不定积分表

2024年1月12日发(作者：)

.2013.09

卷终 公式表注解四

基本不定积分表

序言：

微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。

本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。

本表收录公式16组，151式。

公式一 基本初等函数的不定积分18式：

11xC,1;幂函数(1).xdx

1ln|x|C,1.指数函数(2).axdx1xaC

lna(3).exdxexC对数函数(4).logaxdxxlogaxxlogaeC(5).lnxdxxlnxxC

三角函数

反三角函数

常数函数(18).RdxRxC

上述公式均为基本初等函数之不定积分，其中部分公式均可以由分部积分公式给出，特别的，对于正切函数，余切函数，正割函数与余割函数的不定积分，使用了诸多三角变换完成。

公式二 含axb的积分（要指出a非零）10式：

对于其中的第二式，是利用换元积分完成的。

对于第一者，可以利用凑的方式，我们考虑分式x1b，则得其积分是显的：1axbaaxbx11bb1。而第二式依然采取类似的方式，可借由带余多项式dxxd(ax)xln|axb|aCaxbaaaxbaa2除法算得：x12axbax1，然后利用第一个积分式即可得到结论。

2(axb)2abbaxbaxb对于分母是二次多项式或者更高者，常常分成多个低次多项式之和，这两个积分便是沿用了此结论所得到的。我们注意第一式中有111111b，积分即得。对于第二式依然可用分离拆项x(axb)ax(xb/a)axxb/aa1的方式：

1(axb)ax1a，然后积分即可，而一般对于拆项，常用待定系数的方法完成。

22bx(axb)bxbx(axb)公式三 含axb的积分9式

第一式的证明用凑微分的方式即可完成。而有了第一式的结论，第二式可用分部积分完成计算。我们有：

其中，对上式右侧的2(axb)3dx再次使用凑微分的方法，即可得解：

3a同理利用分部积分可以将第三式拆开，并以第二式证明之。

dx1d(axb)2利用凑微分的方式，我们显然有不定积分axbaaxbaaxbC，本组公式可以考虑用此公式，并使用分部积分即可证明一式：

二式同理使用分部积分，并利用一式的结论即可证明。

该公式是重要的不定积分之一，它可以解决一类带有axb的不定积分等式。但是该积分是不好计算的，首先分部积分就不容易得出结果，而另一方面我们也无法进行一个显然的凑微分，因此对于这一类带有根号式的积分，往往是先强行换掉根号，再作观察。因此令t2b2taxbtx,dxdt，于是aadxa2t1dt2xaxb(t2b)tat2bdt，显然看到的是这个不定积分的结果需要讨论b的正负来决定之后使用的不定积分公式：如果b是负的，那么显然会使用反三角，如果b是正的，则可能使用三角换元：

然后将axbt带入上式得原积分211dtlnt2bbaxbbC,b0。另外对于负的b，有：

axbb即原积分2arctanaxbC,b0。该不定积分公式对于负数的b计算是很容易的。

bbadx，故上面公式均可以分部积分公式指出。

2axb公式四 含有x2a2的积分3式

注意到微分公式daxb1容易得出。第二式是利用分部积分公式给出的递推式1x2的形式：通过这个递推关系逐步下降分母的幂直到一式的情形，然后带入一式即可得解。三式是有理分式的不定积分，通常是将之拆分为两个容易计算的分式，则不难得出结果：

一式用凑微分的方式以及微分公式d(arctanx)公式五 含有ax2b(a0)的积分7式

ax3除开显然的(axb)dx其余均与ax2b有关，不过在下面公式bxC不列为公式表所用之公式外，3的推理中，我们可以肯定的是推理可能是不唯一的，因此某些推理也是可能涉及了该公式的。

是一个需要分类讨论的积分。显然的可以发现这个被积函数的形式与反正切是有关的，不过反正切的分母是加法运算，因此如果这里b是负的，那么就不能适用反正切，这导致了积分需要分类讨论之。

2dx形式的不定积分，虽然这里我采用的是换元为三角函数的方法，而并非x2a2使用公式四中利用有理函数积分的性质来推理，但是三角换元计算不定积分是值得深入探讨和学习的计算方法，也许在这个公式中体现不出来，但是在某些场合下，三角换元无疑是强大的。

一式是显然的。在这组公式中，除了一式之外，后者在各种场合的运用还是相对频繁的。二式、三式都是典型的有理函数的不定积分问题，可以采取分离常数的方法来求解，其推理及其陈述如下：

类似的对于之后的不定积分，依然可以拆项：

但是对于最后一式，拆项显然是不理想的，分子也不具备变量以进行凑微分，因此从分母考虑：

接着带入公式（45）即得所证。

该公式的证明中再一次的遇到了公式六 含有ax2bxc(a0)的积分2式

先给出最基本的积分：

该积分的证明需要分情形处理。一般来说，如果分母的二次式对应的二次方程是有根的，那么其不定积分

可以考虑因式分解的方式拆分成两个分式之和，而对于无实数解的情形，可以考虑配方的方式，并利用反三角函数的微分公式得到该不定积分的证明，不过在此我将使用另一种方式证明上述公式，我将在此引入虚数单位i，并规定i21：

这里的R,S为ax2bxc0的两根，则：

222bb4acbb4acb4ac，则积分式即为 如果b4ac0，那么RS2a2aaa2i否则为RSa4acb2i，则积分变为：

a这里值得注意的是辐角arg2axbi的取值问题，我们选择,这个区间并考虑反正切表示，则这时候2axbi22辐角中所给之复数必须保证实部恒正或恒负，但由判别式b24ac0依然无法断言2axb之正负，这对反正切的表示是不利的，因此考虑对辐角进一步转化，一个方便的方法是对分式上下乘以1个虚数单位，则：

2将该式与ConstantC带入不定积分式，得：

24acb虽然此方法比较复杂，但是可以说明的是，以复数进行实数的不定积分是可能的。

以拆项的方式来拆分为两个不定积分，这是及其显然的：

公式七 含有x2a2(a0)的积分14式

含x2a2(a0)的不定积分，通常会考虑的变换是1tan2xsec2x，特别是出现在分母中的根式，这样做的好处不但可以抵消根式，同时可以处理并约分掉分母中的积分变量，以大幅度化简积分运算。不过在很多时候，我们也常常考虑双曲换元来完成，这是因为对于正切与正割之间的关系式运算在某些时候没有双曲函数简便。下面几个公式都是可以通过换元得到的：

第一式是典型的反双曲三角函数的微分，以及反双曲三角函数的定义式所得，事实上，我们设dxdxdx，因此对于第一个不定积分式，采用凑的方式即刻yarsinhxdxcoshydydycoshy1sinh2y1x2得之。二式也是典型的双曲换元得到的等式：

sinhy其中，将1tanhy1a2a21sinh2yyarsinhxax1xa回带，即得之所证。

22222xa1(a)aax三、四均是由微分公式d换元的得出：

于是四式也可如法炮制：

五式、六式可以凑得之：x21x直接可推论的结果。然而如果对于三式没有直接观察到亦不妨以双曲x2x2a2dxxdxa，221dxxd22(x2a2)3xax2，再以分部积分得：

这样就完成了五式和六式。

一式三角换元是显然的。但值得注意的是双曲正弦与对数之间的关系是：

二式以双曲换元得到积分a4cosh4xdx，以降幂进行变形，所得积分的计算是容易的：

在得出结果之后，再以（二）倍角公式将2x和x还原为x即得二式右侧。

三式凑的方式即得其之所证。

四式以分部积分，并二式，即得之所证。

先以换元的方式将一式转化为三角积分或者双曲积分。转化三角积分时，以正切与正割的恒等式可得

acoshydy1asec2ydy1，转化双曲积时，以双曲正弦或双曲余弦的恒等式可得cschydy，cscydy2a2tanysecyaasinhycoshya最后以余割或双曲余割的积分得到结果。

二式典型的转化为三角积分(cscx)'asec2ydy1secydy1a2tan2ysecyatan2yacscycotydy，这是典型的余割函数的导数公式1cscxcotx。

sinxtanx注意到2xa2x2a2xxa2dxxdxxx2xxa222dxaxxx2a2，带入一式。又注意到x2a2x2a2dx221，带入（50）式。

dxxad222xxxxa公式八 含ax2bxc(a0)的积分6式

利用最值公式对分母配方，得：

首配方，再凑微分，并公式（56），得：

这里的推理虽然是相对复杂的，但是对于一些好算的数值计算，这个推理过程会得到大大的简化。在这两个积分的基础上，下面的积分相对是容易计算的：

用凑微分的方式进行变换：

剩下的计算是容易的。

依然是配方，与（64）不同的是，根号下的加号变成了减号，从而适用反三角的表示。

依然是配方，与（65）不同的是，根号下的加号变成了减号，从而适用反三角的表示。

用凑微分的方式进行变换，其方法同于（66）。

在（64）（67），（65）（68）和（66）（69）的比较中我们可以发现，对于任意非零的实数a，除了后面的对数部分外，其表示形式都是一样的，例如我们以（64）（67）为例，将两个公式和在一起写，并把对数部分写成对应的反三角形式的不定积分之后，则可以写成：

其相似度可见一斑，那么我们将会询问这是为何。这里我将再度引入虚数单位i，并规定其满足i21，借助欧拉公式和双曲三角函数的定义，我们考察正弦函数得到的是这样一个结果：sinxeixeixiisinhix，令之2为y并反解之，得xarcsiny的同时，也得到了另一个结果：xiarsinh(yi)，也就是说得到一个转化等式iarcsinyarsinh(yi)，这个结果是令人感到惊奇的，如果在上述积分中我们无视a为正数之情形，并对负的a直接使用反双曲的结果，同时引入虚数单位i，根据负数的平方根等于其绝对值开根后与虚数单位作乘积这一规定，即得：

这与直接使用反正弦的结果是一样的。这个结果表明，（64）（67），（65）（68）和（66）（69）是可以统一的。

公式九 含x2a2(a0)的不定积分14式

公式组七给出了x2a2(a0)型的不定积分，此处继公式七之讨论，以及公式七和公式九的推演思想，给出根号下取负号的不定积分。

在（50）~（55）六式中，引入虚数单位，并ai替换a即可证明上面六式的正确性。不过对于（70）式要注意取值的正负直接令双曲正弦通过双曲恒等式转化成了双曲余弦函数。

dxx在arsinhC1ln(xx2a2)C2中取ai替换a得：

x2a2a在（56）~（59）四式中，引入虚数单位，并ai替换a即可证明上面四式的正确性。

在（60）~（63）四式中，引入虚数单位，并ai替换a即可证明上面四式的正确性。其中对于较为特殊的（80）和（83）中，我们注意以虚数单位替换之后，原本的对数表达式变为了附带虚数单位的表达式：

于是：

公式十 含a2x2(a0)的不定积分14式

（84）（86）（87）均以凑的方式即可证明，其中（84）利用了反正弦函数的微分公式，（86）（87）实际上就是幂函数的复合所得，因此可以考虑凑出根式内的微分，然后以幂函数的积分公式计算最终结果。

（85）以三角换元完成计算：

对（88）（89）各自使用分部积分即可完成演算：

将上式所得最后的第三项分式进行处理，将其中一个a乘进根式里，再与第一项合并即可。（89）式在处理的思想上是与之一致的，考虑分部积分，然后利用三角换元或者之前已经给出的不定积分式处理：

显然使用三角换元是容易的：

（92）式的证明与（56）式的推理类似，虽然我在前面指出（56）式的思路使用三角换元是显然的，但是真正处理起是来略微不便的：

因此如果我们在已经建立了积分公式x2a2x2承认并使用这个积分公xadxxaarsinhC的情形下，22a22式来推导（92）式会比单独在证明（92）容易得多：在上述实数积分中引入虚数单位i并承认i21，则令自变量以ix替换之，则可立刻得：

这样就完全可将（92）式与（56）式统一为同一公式。而同理的，可以在（57）（58）（59）中均引入虚数单位，则（93）（94）（95）的证明可以大幅度化简：

x2a2x2a2a22dxxaalnC在关于x2a2的积分中指出x，即公式（62）和公式（63），同上之|x|x2a2x2a2xdxarsinhC2xxa所证，利用虚数及公式（62）（63）可证明（96）（97）：

公式十一 含xa，(xa)(xb)，a0,b0的积分4式：

xb由分部积分公式得：

其中：

带回上式得xaxababa即为（98）式之所证。

dx(xb)ln|xa||xb|Cxbxb22（98）式的给出，亦可使用还原的方式证明，考虑到不定积分本身具有根号，其干扰运算性太强，考虑强2xaabt2tdt： 行抹消根号，于是令txdx(ab)xb1t2(1t2)2对于上式第二项中积分，可令，则得到，然后以三角函数处理，得：

接着是计算式中的诸三角函数，可利用三角恒等式，如果限定了k为锐角，亦可借助直角三角形，我在此选择后者：

xa带回，即得：

xb同理对于（99）式换元之后，亦可解之，但鉴于计算复杂，这里不用换元的方法，我依然采用分部积分的方式：

最后把t其中：

带回则完成证明。

根据反三角的计算公式，考虑到根式恒正，因此上式中的反三角亦可写作：

因此写作2x(a)b(1dxarcsinab(xa)b(x)x)亦是正确的。亦可通过公式（67）C

12axbarcsinC来计算，得到：

ax2bxc2ab4ac通过一个简单的验证即可知上面的三种结果都是正确的：

1换言之，我们得到具有三个我们可能会计算出的原函数：

(xa)(bx)2arcsindx2(xa)(bx)xa，以及arcsin2x(ab)

arcsinbaabab当我们得到该结论之后，对于第（100）式的证明方法就很多了，最简单的就是通过已建立的公式（68）来完成

对于不定积分公式（100），其推理在（99）之中已经给出。

2axbb24ac2axb2axbxcaxbxcarcsinC，得：

324a8ab4ac上式所给出三个不定积分的形式，均是正确的。

由公式（68）：2公式十二 含三角函数的不定积分23式

除了基本初等三角函数之外，本组公式总结更为复杂的三角积分，其中包含了递推关系，凑微分以及分部积分等方法来完成其推理。

（102），（103）以降幂公式变形，再以基本初等函数的积分直接积分得到。（104）~（105）实质上就是导数公式的逆，因此我们如果要证明，只需以导数公式指出即可：

先以凑微分对积分变量进行替换，紧接着以分部积分对之变形，当等式左右两侧都出现相同的项时，通过移项的方式得到不定积分（108）的递推关系。（109）与之同理。

依然可以考虑用同样的步骤完成（110）和（111）式，这是因为正割函数、余割函数与正切函数、余切函数都有恒等式的关系，因此与其使用弦函数来完成不定积分的运算，不如使用割函数更为明了。

对于正切函数、余切函数高次幂的不定积分，鉴于一次切函数的不定积分需要对数表达式，二次切函数会单出一个积分变量，导致积分是困难的，不过下面等式给出了切函数积分的一种算法，其中它们的幂都是取整数的：

上面证明的分部积分是对正弦凑微分得到的，如果对余弦凑微分，则同理可得到

以积化和差公式是容易证明的。

典型的采用万能变换，转化为有理函数的不定积分问题。因此我们很自然的会采取换元：ttanx，于是2由万能变换公式，得sinx2t2,dxd(2arctant)22dt，于是所求的不定积分（117）即为1t1t211t2dt2at22bt2tab1t2d，这是典型的二次真分式的有理函数积分的问题，通过考虑判定式是否为正来ta讨论对应之二次方程是否有两个实数根，以方便拆分，如果没有实数根则配方，并利用反三角表示，否则就拆为两个分式之和或者差，以对数的形式表示。

此外，借助已建立的公式（48）：

亦可给出证明，且我们说过公式（48）指出判别式在为负数的情形下，借助虚数可以证明上下两个不定积分是等价的，因此我们对于（117）之证明实际上也只需指出一个成立即可。

（118）同理。

证明是容易的。

在现行的积分公式表中，（117）和（118）两式是被分成四个公式来处理的，考虑到三角函数与对数具有统一性，故在此将之合并为两式。

1tan2x1cos2x1cos2x由降幂公式得sinx，再由万能代换得cos2x，令tanxt，则：

,cosx1tan2x222从（117）至（120），可见万能代换公式是很方便的一个公式，它将所有三角函数转化为有理分式成为了

可能，然后借助有理函数的不定积分来完成积分运算。从这一点看，万能代换公式无疑是很强大的。

分部积分得：

同理可证（122）。当然考虑万能代换也是可能的，不过要注意的是万能代换对于公式（121）和（122）来说，比较繁杂。而公式（123）和（124）的推理思路与（121）和（122）相同，依然是通过分部积分完成推理，不过注意的是，可以使用（121）和（122）已经建立的结论。

公式十三 含反三角函数的积分9式

以上为弦函数的反函数之不定积分，其中（125）和（128）很容易就通过分部积分公式的得到：xxxx（128）式与之同理。下面推导（126）和（127），arcsindxxarcsindxxarcsinaa2x2C，2aaa1(x/a)对于（129）和（130）是可以类比的：

对于（127），注意到使用换元arcsinxt之后，积分运算下的被积函数变为正弦函数的平方和余弦函数之a乘积，它自身是正弦三次方的微分，因此可以考虑分部积分公式，也就是x2xarcsindxa3tsin2tcostdta3td(sin3t)a3tsin3ta3sin3tdt，最后对于正弦三次方的不定积分，可以采用凑微a分的方式，先凑出余弦函数的微分，然后对剩下的正弦二次方以恒等式换作余弦函数，最后以幂函数的不定积分一举收官，完成推理：

另一方面，我们在建立了（125），（126），（127）之后，用反三角恒等式直接将反正弦化作反余弦，不定积分的计算也是可行的：

且如此计算比重新建立更为方便和简洁。

对于（130）以分部积分完成，（131）与（132）令arctan公式十四 含指数函数的积分9式

ax以基本不定积分公式edxeC,adxC所建立起来的不定积分组，并对之进一步拓展。

lna这是显然的。

均以分部积分即可。但是某些时候我们所关心的并非这些积分之本身，而是关心这样一个特殊的关于t的函数axlnta，显然可以看到当t为正整数时，函数表示的是ax的t阶导函数，而如果t为负整数，则表示的是函数的t重不定积分——这样的函数是关于求导次数的函数，我们把求导次数作连续延拓得到了一个对于一切实数t展开的新的连续函数，这个函数在微积分里被称作函数ax的次导函数，该函数直接反应出了函数的非整数阶导数。

以分部积分作推导，不难有下面两个等式：

xxxxt即可得出结论。

a等式组可以看作是关于eaxsin(bx)dx,eaxcos(bx)dx的方程组，解之即得。

对于（140）的证明，如下：

移项并整理，得

将④带入③，得

⑤带入②，得

所以

移项并整理：

（141）的证明与之类似。

公式十五 含对数函数的积分4式

以基本不定积分dxln|x|C,lnxdxxlnxxC展开的积分公式组。

x（142）凑微分。（143）分部积分可直接推得，而（144）也是分部积分，但是我们依然优先给出递推关系，然后利用递推关系进一步推得结果。由于对数函数的递推结果相对较简单，因此可以写成和的形式。而（145）的推导比（144）相对更为简单，因此这里先给出（145）：

（145）的积分结果是简单的。可以看到，当这个积分我们不断进行下去的时候，对数函数的幂会逐次下降，知道为零次，积分最终将变为幂函数的积分问题。

公式十六 双曲函数的积分6式

根据双曲函数的定义可直接获得。

推理同正切函数和余切函数，先将双曲切函数转为弦函数，然后以凑微分的方式一举完成证明。

以双曲之降幂公式即可。