2024年1月12日发(作者：)

第六章 微分方程

教学目的：

1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。

2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

3．会解齐次微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。

4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解二阶的常系数齐次线性微分方程。

5.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

教学重点：

1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法

2、二阶常系数齐次线性微分方程；

3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；

教学难点：

1、 齐次微分方程；

2、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

教学过程：

6.1 微分方程的基本概念

一、引 例

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义

在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况

有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程

微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程的解法。

例1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点M(x

y)处的切线的斜率为2x 求这曲线的方程

解 设所求曲线的方程为yy(x) 根据导数的几何意义 可知未知函数yy(x)应

满足关系式(称为微分方程)

dy2x (1)

dx此外 未知函数yy(x)还应满足下列条件

x1时

y2 简记为y|x12 (2)

把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解)

y2xdx 即yx2C (3)

其中C是任意常数

把条件“x1时

y2”代入(3)式 得

212C

由此定出C1 把C1代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x12的解)

yx21

例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶 当制动时列车获得加速度04m/s2 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?

解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米 根据题意 反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)应满足关系式

d2s0.4

2 (4)

dt此外 未知函数ss(t)还应满足下列条件

t0时

s0

vds20 简记为s|t0=0

s|t0=20 (5)

dt 把(4)式两端积分一次 得

vds0.4tC1 (6)

dt再积分一次 得

s02t2

C1t C2 (7)

这里C1

C2都是任意常数

把条件v|t020代入(6)得

20C1

把条件s|t00代入(7)得0C2

把C1

C2的值代入(6)及(7)式得

v04t 20 (8)

s02t220t (9)

在(8)式中令v0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间

t2050(s)

0.4再把t50代入(9) 得到列车在制动阶段行驶的路程

s025022050500(m)

二、微分方程的基本概念

微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程

常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程

偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程

微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶

x3

yx2

y4xy3x2

y(4)

4y10y12y5ysin2x

y(n)

10

一般n阶微分方程

F(x

y

y    

y(n)

)0

y(n)f(x

y

y    

y(n1)

) 

微分方程的解 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解 确切地说 设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数 如果在区间I上

F[x

(x)

(x)   

(n)

(x)]0

那么函数y(x)就叫做微分方程F(x

y

y   

y(n)

)0在区间I上的解

通解 如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解

初始条件 用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件 如

xx0

时

yy0

y y0

一般写成



yxx0y0

yxx0y0 特解 确定了通解中的任意常数以后 就得到微分方程的特解 即不含任意常数的解

初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题

如求微分方程yf(x

y)满足初始条件yxx0y0的解的问题 记为

yf(x,y)



yxx0y0 积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线

例3 验证 函数

xC1cos

ktC2

sin

kt

是微分方程

d2xk2x0

2

dt的解

解 求所给函数的导数

dxkC1sinktkC2coskt

dtd2xk2Ccosktk2Csinktk2(CcosktCsinkt)

2

1212dtd2x将2及x的表达式代入所给方程 得

dt k2(C1cos

ktC2sin

kt) k2(C1cos

ktC2sin

kt)0

d2xk2x0 这表明函数xC1cosktC2sinkt 满足方程2 因此所给函数是所给方dt程的解

d2xk2x0 例4 已知函数xC1cosktC2sinkt(k0)是微分方程2的通解 求满足dt初始条件

x|

t0

A

x|

t0

0

的特解

解 由条件x|

t0

A及xC1

cos

ktC2

sin

kt 得

C1A

再由条件x|

t0

0 及x(t) kC1sin

ktkC2cos

kt 得

C20

把C1、C2的值代入xC1cos

ktC2sin

kt中 得

xAcos

kt

6.2 一阶微分方程

可分离变量的微分方程

如果一个一阶微分方程能写成

g(y)dyf(x)dx (或写成y(x)(y))

的形式 就是说 能把微分方程写成一端只含y的函数和dy 另一端只含x的函数和dx 那么原方程就称为可分离变量的微分方程

讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？

(1) y2xy 是 y1dy2xdx 

(2)3x25xy0 是 dy(3x25x)dx

(3)(xy)dxxydy=0 不是

(4)y1xy2xy2 是 y(1x)(1y2)

(5)y10xy 是 10ydy10xdx

y(6)yx 不是

yx 可分离变量的微分方程的解法

第一步 分离变量 将方程写成g(y)dy f(x)dx的形式

第二步 两端积分g(y)dyf(x)dx 设积分后得G(y)F(x)C

第三步 求出由G(y)F(x)C所确定的隐函数y(x)或x(y)，G(y)F(x)C

22y (x)或x(y)都是方程的通解 其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解

例1 求微分方程dy2xy的通解

dx 解 此方程为可分离变量方程 分离变量后得

1

dy2xdx

y1两边积分得

dy2xdx

y即 ln|y|x2C1

从而

yex2C1eC1ex

2因为eC1仍是任意常数 把它记作C 便得所给方程的通解

yCex

例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t0时铀的含量为M0 求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律

2

解 铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数dM

dt 由于铀的衰变速度与其含量成正比 故得微分方程

dMM

dt其中(>0)是常数

前的曲面号表示当t增加时M单调减少 即dM0

dt由题意 初始条件为

M|t0M0

将方程分离变量得

dMdt

M两边积分 得dM()dt

M即 lnMtlnC 也即MCet

由初始条件 得M0Ce0C

所以铀含量M(t)随时间t变化的规律MM0et

例3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系

解 设降落伞下落速度为v(t) 降落伞所受外力为Fmgkv(

k为比例系数) 根据牛顿第二运动定律Fma 得函数v(t)应满足的方程为

mdvmgkv

dt初始条件为

v|t00

方程分离变量 得

dvdt

mgkvm两边积分 得dvdt

mgkvm

1ln(mgkv)tC1

kmktmgekC1mCvCe即 ()

kkmg将初始条件v|t00代入通解得C

kktmg(1em) 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为vk

例4 求微分方程 解 方程可化为

dy1xy2xy2的通解

dxdy(1x)(1y2)

dx分离变量得

12dy(1x)dx

1y两边积分得

12dy(1x)dx 即arctany1x2xC

1y2于是原方程的通解为ytan(1x2xC)

2

齐次方程的解法

ydyy()中 令u 即yux 有

uxdu(u)

dxxxdxdudx分离变量 得 

(u)ux 在齐次方程两端积分 得

求出积分后 再用dudx(u)ux

y代替u 便得所给齐次方程的通解

xdydyxy

dxdx2 例1 解方程y2x2y2()dyyx 解 原方程可写成 

dxxyx2y1xydyuxdu 因此原方程是齐次方程 令u 则 yux

xdxdx2duu于是原方程变为

ux

dxu1即

xduu

dxu1分离变量 得

(11)dudx

ux两边积分 得uln|u|Cln|x| 或写成ln|xu|uC

以y代上式中的u 便得所给方程的通解

x

y

ln|y|C

x一阶线性微分方程

方程dyP(x)yQ(x)叫做一阶线性微分方程 dx如果Q(x)0  则方程称为齐次线性方程 否则方程称为非齐次线性方程

方程dydyP(x)y0叫做对应于非齐次线性方程P(x)yQ(x)的齐次线性方程

dxdxdydyy1y0是齐次线性方程

dxdxx2 下列方程各是什么类型方程？

(1)(x2) (2) 3x25x5y0y3x25x  是非齐次线性方程

(3) yy cos xesin x

 是非齐次线性方程

(4)dy10xy 不是线性方程

dx23dy3(y1)2dydxxx00或 (5)(y1) 不是线性方程

dxdydx(y1)2x3齐次线性方程的解法

齐次线性方程

dyP(x)y0是变量可分离方程 分离变量后得

dxdyP(x)dx

y两边积分 得

ln|y|P(x)dxC1

P(x)dx (CeC1) 或

yCe这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）

例1 求方程(x2)dyy的通解

dx 解 这是齐次线性方程 分离变量得

dydx

yx2两边积分得

ln|y|ln|x2|lnC

方程的通解为

yC(x2)

非齐次线性方程的解法

将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x) 把

P(x)dx

yu(x)e

设想成非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得

P(x)dxP(x)dxP(x)dxu(x)eP(x)P(x)u(x)eQ(x)

u(x)e化简得

u(x)Q(x)eP(x)dx

dxC

u(x)Q(x)eP(x)dx于是非齐次线性方程的通解为

P(x)dxP(x)dx

ye[Q(x)edxC]

P(x)dxP(x)dxP(x)dxdx 或

yCeeQ(x)e非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和

5dy2y(x1)2的通解 例2 求方程dxx1 解 这是一个非齐次线性方程

先求对应的齐次线性方程分离变量得

dy2dx

yx1dy2y0的通解

dxx1两边积分得

ln y2ln (x1)ln C

齐次线性方程的通解为

yC(x1)2

用常数变易法 把C换成u 即令yu(x1)2 代入所给非齐次线性方程 得

u(x1)2u(x1)2u(x1)2(x1)2

x125

1u(x1)2

两边积分 得

u2(x1)2C

33

再把上式代入yu(x1)2中 即得所求方程的通解为

y(x1)[2(x1)2C]

323 解 这里P(x)2

Q(x)(x1)2x1因为

P(x)dx(2)dx2ln(x1) x1P(x)dxe2ln(x1)(x1)2

e5

Q(x)e所以通解为

ye

P(x)dxdx5(x1)2(x1)2dx132(x1)2dx(x1)23P(x)dx[Q(x)eP(x)dxdxC](x1)[2(x1)2C]

323

6.4 二阶常系数齐次线性微分方程

一、二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程 方程

ypyqy0

称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数

如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2就是它的通解

我们看看 能否适当选取r 使yerx

满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将yerx代入方程

ypyqy0

得

(r

2prq)erx

0

由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx就是微分方程的解

特征方程 方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的两个根r1、r2可用公式

pp24q

r1,2

2求出

特征方程的根与通解的关系

(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时 函数y1er1x、y2er2x是方程的两个

线性无关的解

这是因为

函数y1e、y2e因此方程的通解为

yC1er1xC2er2x

(2)特征方程有两个相等的实根r1r2时 函数y1er1x、y2xer1x是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解

这是因为

y1er1x是方程的解 又

r1xr1x2r1x

(xer1x)p(xer1x)q(xer1x)(2r1xr1xr1)ep(1)eqxe

r1x2

er1x(2r1p)xe(r1pr1q)0

r1xr2xy1er1x(r1r2)x是方程的解 又rxe不是常数

y2e2y2xer1x所以y2xe也是方程的解 且rxx不是常数

y1e1r1x 因此方程的通解为

yC1er1xC2xer1x

(3)特征方程有一对共轭复根r1, 2i时 函数ye(i)x、ye(i)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数yexcosx、yexsinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解

函数y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解 而由欧拉公式 得

y1e(i)xex(cosxisinx)

y2e(i)xex(cosxisinx)

y1y22excosx

excosx1(y1y2)

2 y1y22iexsinx

exsinx1(y1y2)

2i故excosx、y2exsinx也是方程解

可以验证

y1excosx、y2exsinx是方程的线性无关解

因此方程的通解为

yex(C1cosxC2sinx )

求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为

第一步 写出微分方程的特征方程

r2prq0

第二步 求出特征方程的两个根r1、r2

第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解

例1 求微分方程y2y3y0的通解

解 所给微分方程的特征方程为

r22r30 即(r1)(r3)0

其根r11

r23是两个不相等的实根 因此所求通解为

yC1exC2e3x

例2 求方程y2yy0满足初始条件y|x04、y|

x02的特解

解 所给方程的特征方程为

r22r10 即(r1)20

其根r1r21是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为

y(C1C2x)ex

将条件y|x04代入通解 得C14 从而

y(4C2x)ex

将上式对x求导 得

y(C24C2x)ex

再把条件y|x02代入上式 得C22 于是所求特解为

x(42x)ex

例 3 求微分方程y2y5y 0的通解

解 所给方程的特征方程为

r22r50

特征方程的根为r112i

r212i 是一对共轭复根

因此所求通解为

yex(C1cos2xC2sin2x)

二阶常系数非齐次线性微分方程

一、二阶常系数非齐次线性微分方程简介

二阶常系数非齐次线性微分方程 方程

ypyqyf(x)

称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数

二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程

的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和

yY(x) y*(x)

当f(x)为两种特殊形式时 方程的特解的求法

一、

f(x)Pm(x)ex

型

当f(x)Pm(x)ex时 可以猜想 方程的特解也应具有这种形式 因此 设特解形式为y*Q(x)ex 将其代入方程 得等式

Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)

(1)如果不是特征方程r2prq0 的根 则2pq0 要使上式成立

Q(x)应设为m 次多项式

Qm(x)b0xmb1xm1    bm1xbm

通过比较等式两边同次项系数 可确定b0

b1    

bm 并得所求特解

y*Qm(x)ex

(2)如果是特征方程

r2prq0 的单根 则2pq0 但2p0 要使等式

Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)

成立

Q(x)应设为m1 次多项式

Q(x)xQm(x)

Qm(x)b0xm

b1xm1    bm1xbm

通过比较等式两边同次项系数 可确定b0

b1    

bm 并得所求特解

y*xQm(x)ex

(3)如果是特征方程

r2prq0的二重根 则2pq0 2p0 要使等式

Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)

成立

Q(x)应设为m2次多项式

Q(x)x2Qm(x)

Qm(x)b0xmb1xm1    bm1xbm

通过比较等式两边同次项系数 可确定b0

b1    

bm

 并得所求特解

y*x2Qm(x)ex

综上所述 我们有如下结论 如果f(x)Pm(x)ex 则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqy f(x)有形如

y*xk

Qm(x)ex

的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k 按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2

例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解

解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程 且函数f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)3x1

0)

与所给方程对应的齐次方程为

y2y3y0

它的特征方程为

r22r30

由于这里0不是特征方程的根 所以应设特解为

y*b0xb1

把它代入所给方程 得

3b0x2b03b13x1

比较两端x同次幂的系数 得

3b3

0 3b03 2b03b11

2b3b101由此求得b01

b11 于是求得所给方程的一个特解为

3

y*x1

3 例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解

解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)x

2)

与所给方程对应的齐次方程为

y5y6y0

它的特征方程为

r25r

60

特征方程有两个实根r12

r23 于是所给方程对应的齐次方程的通解为

YC1e2xC2e3x

由于2是特征方程的单根 所以应设方程的特解为

y*x(b0xb1)e2x

把它代入所给方程 得

2b0x2b0b1x

比较两端x同次幂的系数 得

2b1

0 2b01 2b0b10

2bb001由此求得b01

b11 于是求得所给方程的一个特解为

2

y*x(1x1)e2x

2从而所给方程的通解为

yC1e2xC2e3x1(x22x)e2x

2提示

y*x(b0xb1)e2x(b0x2b1x)e2x

[(b0x2b1x)e2x][(2b0xb1)(b0x2b1x)2]e2x

[(b0x2b1x)e2x][2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22]e2x

y*5y*6y*[(b0x2b1x)e2x]5[(b0x2b1x)e2x]6[(b0x2b1x)e2x]

[2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22]e2x5[(2b0xb1)(b0x2b1x)2]e2x6(b0x2b1x)e2x

[2b04(2b0xb1)5(2b0xb1)]e2x[2b0x2b0b1]e2x

方程ypyqyex[Pl (x)cosxPn(x)sinx]的特解形式

应用欧拉公式可得

ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]

ex[P(x)eli xei xP(x)ei xei x]

n22i

1[Pe(i)x1[Pe(i)x

l(x)iPn(x)]l(x)iPn(x)]22

P(x)e(i)xP(x)e(i)x

1Pi) 而mmax{l

n} 其中P(x)1(PlPni)

P(x)(P22ln 设方程ypyqyP(x)e(i)x的特解为y1*xkQm(x)e(i)x

则y1*xkQm(x)e(i)必是方程ypyqyP(x)e(i)的特解

其中k按i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1

于是方程ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]的特解为

y*xkQm(x)e(i)xxkQm(x)e(i)x

xkex[Qm(x)(cosxisinx)Qm(x)(cosxisinx)

xk

ex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]

综上所述 我们有如下结论

如果f(x)ex

[Pl(x)cosxPn(x)sinx] 则二阶常系数非齐次线性微分方程

ypyqyf(x)

的特解可设为

y*xk

ex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]

其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式

mmax{l

n} 而k 按i (或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1

例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解

解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程

且f(x)属于ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型(其中0

2

Pl(x)x

Pn(x)0）

与所给方程对应的齐次方程为

yy0

它的特征方程为

r210

由于这里i2i 不是特征方程的根 所以应设特解为

y*(axb)cos2x(cxd

)sin2x

把它代入所给方程 得

(3ax3b4c)cos2x(3cx3d4a)sin2xxcos2x

比较两端同类项的系数 得

a1

b0

c0

d4

39于是求得一个特解为

y*1xcos2x4sin2x

39提示

y*(axb)cos2x(cxd)sin2x

y*acos2x2(axb)sin2xcsin2x2(cxd)cos2x

(2cxa2d)cos2x(2ax2bc)sin2x

y*2ccos2x2(2cxa2d)sin2x2asin2x2(2ax2bc)cos2x

(4ax4b4c)cos2x(4cx4a4d)sin2x

y* y*(3ax3b4c)cos2x(3cx4a3d)sin2x

3a13b4c0由 得a1

b0

c0

d4

3c0394a3d0