2024年1月12日发(作者：)

4、概率公式的题目

1、已知

P(瓦)=

0.3, P(B ) = 0.4, P(A@ )=0.5,求

P(BAJB)L

解:

P(B A「B

戶

P(AB」=_P()丁(AB ) _

A0.7-0.5

0.7 0.6-0.5

P(AuB) P(A)+P(B )-P(AB)

2、已知

P(A)=0.7,

P(B )=0.4, P(AB )=0.2,求

P(AA'JB)LP(AB )

P A

P B

-P

AB

解:

P(A A'」B )=

0.2 2

0.7 0.2

一

9

e

3、已知随机变量

X : P(1),即卩X有概率分布律

P1X=k

k!

(k=0,1,2…),

并记事件

A={X^2}, B = {X

1)P(AuB); (

2)

P(A—B);

(

3)

P( B A

)。

解：(1)P A B =1 - P A _ B =1 —P(AB) =1 - P〈X

： 2,X _ 1 =1 - P〈X =1丄

1 — e，；

(2)

P A-B

二

P(AB)二

P^X _2,X _1

； = P「X _2

；=1 - P^X =0^ -P"：X =1

； = 1-2e‘；

” P(BA) p{x<1,Xv2} p{x=。}

e-1 1

(3)

P (B A ) = ---------- = -------------

! -------- = -------------------------------- = -------= 一

P(A) P{X <2} P{X =0} + p{x =1} 2e」2

4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为

中的概率是多少？

0.6和0.5，现已知目标被命中，它是甲射

P(A A B)=

P(A侨(A

旦)=

P(A B)=

5、为了防止意外，在矿内同时设两种报警系统

A, B，每种系统单独使用时，其有效的概率系统

A为0.92 ,

解： 设A= “甲射击一次命中目标” ，B= “乙射击一次命中目标”，

亠—= 匹

P(A) + P(B)- P(AB) 0.6+ 0.5- 0.6 0.5

=§=0.75

8

系统B为0.93，在A失灵的条件下，

B有效的概率为0.85，求：

（2）B失灵的条件下，

A有效的概率。 （1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；

解：设A二“系统A有效”，B = “系统B有效”，

P(A) = 0.92,P(B ) = 0.93,P(B A)=0.85,

(1 )P(AuB )=P(A )+P(B )—P(AB )= P( A)+P( AB )= P( A )+P(A )P( B A )=0.988

（2》P（AB）』

AB）（）—P（）询-P（）（B）0.07—O.。®

=0.829

PBABAPA850.07

6、由长期统计资料得知，某一地区在

概率为—，既刮风又下雨的概率为

4

4月份下雨（记作事件

A

）的概率为—，刮风（记作事件

B

）的

1

一

，求(1)P(AB);

15

(2)P(BA); (3)P(AuB)。

15

解：(1)P A B U

P AB

3

14

；

P(B)

⑵ P(B

A

)=

P(AB)

P(A )

3

8

4 7 1

19

30

(3)P A B =P A P B - P AB =

—+— _ —

15 15 10

5、为了防止意外，在矿内同时设两种报警系统

1、已知密度（函数）求概率的题目

A, B，每种系统单独使用时，其有效的概率系统

A为0.92 ,

100

2~，

x _ 100

X ::: 100

1、某批晶体管的使用寿命 X（小时）的密度函数

f （x） = t X

、0

，

任取其中3只，求使用最初150小时内，无一晶体管损坏的概率。

解：任一晶体管使用寿命超过 150小时的概率为

•

P=P（X㈣二何心皿二150

lOOd^JOO

X

150

150小时的晶体管数，则

3设Y为任取的5只晶体管中使用寿命超过

P(

2

B(|,R.故有

H(|)3 W

2、

某城市每天耗电量不超过一百万千瓦小时，该城市每天耗电率（即每天耗电量

' 2

/百万瓦小时）是一个

随机变量X，它的分布密度为 f （x ）= *

12x1

一

x

0

0 < x 1

其他

，

若每天供电量为80万千瓦小时，求任一天供电量不够需要的概率？

解:

每天供电量80万千瓦小时，所以供给耗电率为：

要即实际耗电率大于供给耗电率。所以

80万千瓦小时/百分千瓦小时=0.8，供电量不够需

P〈X 08； =

1 1 2

P8

f x dx

二

og12x ^X dx= 0.0272。

3、某种型号的电子管的寿命 X （以小时计）具有以下的概率密度

‘1000

f(X)二 丁

0

x 1000

其它

，任取5只，问其中至少有 2只寿命大于

现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）

解：一个电子管寿命大于 1500小时的概率为

P(X .1500)=1_P(X m1500)=1_

XL

小1一1 2)=

(1ooo(£l000

丿

令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于

1500小时的个数”

则

Y~B(5,-2)，

P(Y _2) =1 _P(Y

：：：2) =1 _[p(Y =0) P(Y =1)

； = 1 _ (-)5 C5

(-) (^)4

[3 3 3 ,

15 2 11 232

-243

一

243

4、某些生化制品的有效成分如活性酶，其含量会随时间而衰减。当有效成分的含量降至实验室要求的有

效计量下，该制品便被视为失效。制品能维持其有效剂量的时间为该制品的有效期，它显然是随机变量， 记为X。多数情况下，可以认为 X服从指数分布。设它的概率密度函数为：

0 , X £ 0

f(x)=」

d

Me® xK0

(1)

月，求参数■的值。

(

X的单位为月)

从一批产品中抽取样品，测得有 50%的样品有效期大于3

4个(2) 若一件产品出厂12个月后还有效，再过 12个月后它还有效的概率有多大？

解：指数分布的分布函数为

1 1 — e_'x

x 启 0

F (x) = p{XEx>=」 -

.0 x cO

r

2

⑴ P124X 12―处

F224

_______ -0.02X12

_0.02c -7C-7

5、设K在(-1, 5)上服从均匀分布，求

x的方程4x 4Kx K ^0有实根的概率。

解:要想x有实根，则人.=B2

-4AC =16K2-16 K 2 -0则K -2或者K匕-1

,

A

》T2 -

e

- °.787 e

又因为K~U -1,5，所以P^

'。

2

3a

41

P〈X 34

；二1 -F(34) =e：' =0.5 ,解出，=— -0.02

3

34

三、分布函数、密度函数的题目

x

设随机变量X的分布函数为F(x) = {A+Barcsin—1、

(1)求系数 A，B ； (2)求 P< —

A B = 0

JI

解:

(1 )由F(x)在-a, a处的右连续性知’

2

A B =1 2Tt

a a

(2)

P -2

X

■i 3

2

^F

(3)因为

f (x) = F (x)，

则f(x)七

2设随机变量X的分布函数为

、

求：(1)常数A, B

；

(2)

P0*昙；

i

3

J

解：(1)由分布函数的右连续性知:

F

丨—a =0 = lim F x = lim A Barctan

x ya * x >a '

F a = A B arctan A B = lim F x = 1

a

I. a 4

(2) P 0 X ::

-F 0iJ

：；；3

2a

(3)

f (x) =F x

二二

a2 x2

一

a

：：x

0,

其它：：

求X的分布密度。

x

：： a

(3)X的密度函数

A B =1

ji

，所以

4

兀

I.

A B =0

4、

o

A 1

=

A = -

；

2

B，

71

a

0,

I

2

3、设随机变量X的分布函数为

x<0

0

： x < 1 ,

x"

F x]=?Ax3,

1,

求：（1）常数

A

；

（2）

PfO.3：：：X

：：： 0.7?;

（3） X

的密度函数

f x

。

解：（1）由分布函数的右连续性知：

F 11 = A = lim F x

二

1，所以

A = 1

；

（2）

P〈0.3

：：X

：：0.7；=F 0.7 -F 0.3 =0.4;

f (x) = F x

「2x,

0

：： x :: 1

0

0,其它。

（3）

L

x2

4、设随机变量X的分布函数为

A Be

2

0

x 0

x _0

（3）

X的密度函数。

求：（1）系数A, B

；

(2)

P： ... ln4

：： X

： In9

解:

（1）由于F x在-：：,儿3、内连续,

广

lim F(x )= lim A+ Be

2

+ x―^十

-

lim F

x

= lim

X 1

：

：

x2x )

、

<

=A = 1

故

B = -1 F (x )= *

j

1

-厂

0

⑶ X的密度函数为

5、设连续性随机变量X的分布函数为

3a3

F(x]A『

10,

x 0

x —0.

X的密度函数f x。

求：（1）常数 A, B; （2）

P{-1

：：X <1}；

⑶

3 pl

、l n4

：：X

：： .1 n9 ?=F In 9 -F In4

=- -

12 3 6

解：(1)由分布函数的右连续性及性质知:

F 10 =O = lim Fix =lim A ■ Be' = A：：；■ B

「5

A B 0

，所以［A+B

=

0

F

：："巳im：F

x =A

(2)

P「_1

：：x

:：:n -F 1 -F -1 =1—e，；

(3)

'

f(x^r(^^2eo,

U j

x O

x _O

A

6、设随机变量X的概率密度函数为

f(x)=R1-x2

、0

,

,

X c 1

,

x

釘

⑴

求常数A ；

解:

(1)

::

(2)求P「-0.5：：：X

； (3)求X的分布函数。

1

A

1

f x dx = dx = 2A arcs in x

O -二A

1 — x

O.5 O.5 I

所以

A =—

1

Jl

1

----------- dx

PJO—XM5，』xdxj

-O.5 2

"1 —X

(3)

x

arcsi n(x )O.5

当x空「1时 F x f t dt

F x 二 f t dt = f t dt f t dt =

——1

当一1

：：： X乞1时

j .

^=dt

2

二 11 一 x

x

2

=— arcsin(t

D

-4

= - arcsinx」

兀

2

1

1x 1

1

当X

0

1 1

所以

F x

1

时 FX= 」

x

兰-1

tdtftdt「二匚x2「

dt2

兀1

arcsinx -1

：： x

空

1

x 1

7、设连续型随机变量

求：1

解:

X的密度函数为

a cos

x,

0,

x < —

2

x

兀

2

系数a

；

2

X的分布函数;

兀

23 P 0

：：

X

：：-

I 4J

, -be

(1 )由

1

二

f (x) dx -

_acosxdx =as inx

⑵ P o ：：x

1

-4

c — ,= [4—cosxdx = — sinx

0

04J

沧

2 2

0

x

兀〕孑1

x

(3)

F(x) f (t)dt

&设随机变量X的密度函数为

解:

x ::-—

2

-—_ x

：—

2 2

x -

JI

JI

JI

K

0

sin x 1

2

1

JI

x ::

一一

2

_ x

：—

2 2

x

JI

JT

Tt

1

costdt

二

2

1

2

2

Ax2,

f (x )=」

0 ex c1

… 、 ，

1. 0,

其它

「1

求：（1）常数A

；

(2)

pq- <

1X

£丄

1 2 4

2

（3）

X的分布函数F（x

）。

(1

)由

1

二

f (x)dx = Ax dx

二

A 3

0

0:: 1

3

x

1A

=3

；

(2)P

丄：X

1

I 2

4

0,；3x2dx =

x3

x

：：

0

0

空

x ::

x -11

64

0,

x3,

1x

0x

2

x

：： 0

0

乞

x ::

1

x _1

(3)

F(x)「一f(t)dt

二

3t dt,

q I

0

.1,

,

9、设随机变量

X的密度函数为

0 . x ::: 1

(2)

P—0.5

(1)常数A

;

0.5?;

由

1「：f(x)dx「；Axdx加

其它，求

(3)

X

的分布函数F x

。

：： X

：：

解：

(1)

(2)

pm"x：o.5, gdx

(3)

F(x)= J(t)dt= .02tdt,

0,

x

：0

三：

x :::

0

1

X _1

0,

二

x2,

1,

x

：： 0

x _1

1,

解：设所获奖金为Y万元，Y是X的函数，可取值为 —4, 3, 7

四、变一般正态为标准正态分布求概率

1、调查某地方考生的外语成绩 X近似服从正态分布，平均成绩为

96分以上的占考生总数的 2.3%。试求：

（1） 考生的外语成绩在 60分至84分之间的概率；

（2） 该地外语考试的及格率；

（3）若已知第三名的成绩是 96分，求不及格的人数。（G 1=0.8413,

解：依题意，X~N（72,；「2）且

P〈X_96l = 0.023

72分,

G （2） =0.977）

0.023 =1 —Pfx 空961 “_：＞(

(1)P〈60ZX^84.；=2：：」(1)—1

=0.6826

(2)

P「X _60?-；：」(1) =0.8413

⑶设全班人数为n，由⑵ 知不及格率为0.1587，

)查表得一 -12

CF

2

则n

=疏，则不及格人数为

0.1587 n 14

2、某高校入学考试的数学成绩近似服从正态分布

为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几。

N 65,100，如果85分以上为“优秀”，问数学成绩

［述〔2 =0.9772

解：依题意，X ~ N（65,100）

，85分以上学生为优秀，则

X — 65 85 — 65

pfx _85；=1-P「X

：85；=1-P — ::—=1-

：」2 =1-0.9772 = 0.0228 = 2.28%

I 10 10 J ' '

所以优秀学生为 2.28%。

2

3、设某工程队完成某项工程所需时间 X （天）近似服从

N（100,5 ）。工程队上级规定：若工程在 100

天内完工，可获得奖金7万元；在100~115天内完工可获得奖金 3万元；超过115天完工，罚款4万元。

求该工程队在完成此项工程时，所获奖金的分布律。

（参考数据：

:」3 =0.9987

:」0 =0.5

)

p{Y = /}=p{X >115} = 1 —① W°°〕=1 -①（3） = 0.0013

I

丿

5P（Y =3}= P「100

：：： X 叮15—；：」3] ©「0 二 0.9987 — 0.5 = 0.4987

P：Y =7

；=0.5

所以，可获奖金Y的分布律为

-4

0.0013 0.4987 0.5000

0.01以下来设计的，设男子的身高

X ~ N 170,6

2

，

4、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在

问车门的高度应如何确定？（ 门2.33 =0.99）

解：设车门的高度为x厘米，则

, 「X—卩 x —S 「X —170 x—170】

亠,

P1X 乞x

； = P - x p ----------- < --------- _1一0.01=0.99， :' 2.33 =0.99

J “ - I J 6 6

fx

_ 170

所以

6

2.33, x : 183.98。即车门的高度至少要

183.98厘米。

5、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在

问车门的高度应如何确定？

0.01以下来设计的，设男子的身高

X : N 168,7

2

，

（门2.33计0.99）

解：设车门的高度为x厘米，则

X」x

P .X - x P

.二 二

X -168 x-168

P

.7 7

1 - 0.01 二 0.99，

门

2.33 =0.99

所以xT68 =2.33, x : 184.31。即车门的高度至少要

184.31厘米。

6、某地区18岁的女青年的血压（以 mm-Hg计）服从N（11Q102），在该地区任选一 18岁女青年，测

量她的血压 X。求：（1） P （X < 105） （2） P （100

，①（1）=0.8413）

解：（1） P（X

乞

105）-门（105 -110）_ ：.：」（一0.5） =1

-：：」（0.5） =1 -0.6915 =0.3085

10

+ 下

120—110

下

100—110

下 下

P（100

：： X

乞

120）八」（

）~ '

10 10

= 2^（1） -1 =2 0.8 4 1 31 =0.6 8 2 6

）=：」（1）一

j（T）

解：设所获奖金为Y万元，Y是X的函数，可取值为 —4, 3, 7

五、数学期望、方差的题目

1 x,

一

1 _ x

：： 0

1、设随机变量X的概率密度为：f(x) = *1_x, 0兰x兰1

,

卩， 其它

求：E(X), D(X)

解:

E X xf x dx =」x 1 x dx 亠 | x 1 - x dx = 0

E X = xf(x)dx

2

0 1

52

04

2

62x 1 x dx °x 1 -

2

x dx J

6

所以

D X X2

—EX

7

=丄

6

2、一工厂生产的某种设备的寿命X

(以年计)服从指数分布,

X的密度函数为

f(x)= 4

0，

x 0

xEO

工厂规定，出售的设备若售出一年之内损坏可予以调换•若工厂售出一台设备赢利

换一台设备厂方需花费200元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。

解：设丫表示厂方出售一台设备净赢利

丫二g x

，有

X -1

0 :： X ::

、

100

一

[oo -200

:: 1

E Y

二

E g X g x f x dx「01

上

-100 1e4dx

二

1

1 -

100e4dx ;

4

= 200e

7 -100

1

所以每台的净赢利的数学期望为 200 e匸-100元

3、假设有10只同种电器兀件，其中有两只废品，从这批兀件中任取一只，如是废品则扔掉重 取一只，如仍是废品则扔掉再取一只，求：在取到正品之前，已取出的废品数的期望和方 差。

解：设X为取到正品之前已取出的废品数，贝U X的分布为

2 8

10

10 9

10 9 8

-故

E(XH--

45 45 9

2 2

D(X)二

E(X ) -[E(X)]

E(X)-

45

45

12 4

88

45

一

81

一

405

4 2

45

4、一袋中有n张卡片，分别记为

1,2,…n，从中有放回的抽取

k张来，以X表示取出的k张卡

片的号码之和，求E X

解：设X表示第m次取出的号码，则X的分布律为

mmP、X

=i

m1

,i =1,2,…n,m =1,2…k，

n

n

12所以

E Xj

二' 丄二n -，X =

X

X

y n 2

n +1

k

X，

k则

E X

二

E X

X

12X

kcosx,

5、已知随机变量X的密度函数为f x =

2

x兰一

2

x > —

2

(2)

Y的分

Tt

ji

0,

对独立观察X3次，用丫表示观察值大于-的次数。求：（1）Y的分布律;

布函数； （3）

E Y2

解：令p二P X ■

2 cosxdx sin x e2 2

I 6J

(1

)

Y的分布律为

O

P〈Y

二k

k 71,2,3.

( 2 )

y :: 0

0

乞

y :::

1

27

64

27

F y = 32

1 _

63

y

：： 2

64

1.

2 _

E Y2

=D Y E2

Y

3

1 - 4

X

二

npq n

p

22一3

9 -

-

+

X

2

4

6、某车间生产的圆盘直径在区间 a,b服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。

解:设X为圆的直径,

S为圆的面积，则

S X2，

4

因为X ~U a,b所以

X的密度函数为

a x :: b

-a

0,

所以

E S =E -X

其它

14

匸x丄dx二

2兀

3

12 b-a

x

12

-- 2 2

a ab b

7、某厂生产一种化工产品，这种产品每月的市场需求量

X

(吨)服从区间［0 , 5 ］上的均匀 分布•这种产品生产出来后，在市场上每售出 1吨可获利6万元。如果产量大于需求量，则 每多生产1吨要亏损4万元.如果产量小于需求量，则不亏损，但只有生产出来的那一部分 产品能获利。问：为了使每月的平均利润达到最大，这种产品的月产量a应该定为多少吨？

解：因为

X〜U(0,5)

,

X的概率密度为 f(x) =

15 0 v x v 5

0

其它

设Y为该厂每月获得的利润(单位：万元)，根据题意

二g(x)：

f6X —4(a—X)=10X —4a 丫6a

当X^a时

当X a时

该厂平均每月利润为:

E(Y)二 E(f(X))二

[f(x)g(x)dx

a 10x「4a

, ?6a ,

2

2

——a

c

+6a

) 5

dx

& 5

dx

5

6 a —

二

5

由空」@

d" -2a =0 da da

可解得

(吨)

。

可见，要使得每月的平均利润达到最大,

月产量应定为

3

吨。

ax,

0

：：

8、设随机变量X的概率密度为f(x) = *cx + b,

x

：： 2,

、0 ,

2 _x _4,

3

其他.

已知

E(X) =2, P(1

：： X ::: 3)=

4

求：(1) a, b, c 的值；

解：■be2

(2)随机变量丫二eX的数学期望。

(1)

1 -

f (x)dx

二

o axdx

4

2

(cx b)dx

2 cx

4

0 2

2

- bx

-2a 2b 6c,

■be

2

.:.xf(x)dx

二

2

40ax dx

亠

8

1(cx b)xdx a c 6b

56

2

3 3

2

1axdx

(cx b)dx a c b

3

,

'2 2 2

5

f

a +b +3c = _

1

2

a =—1

4

解方程组

8a 18b 56c =6二

b =1 ;

3a 2b 5c =

3

2

c =L.

—1

4

E(Y)二

E(eX：：) = _exxf(x)dx

二

21xe

xdx ( x 1)e4

1

xdx

1■- -

4

0 ■

2(e

2 -1)2

4 4

2

6 a - a

。

9、设一部机器在一天内发生故障的概率为

0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工

作日里无故障，可获利润10万元，发生一次故障可获利润5万元，发生两次故障获利0万元,

发生三次或三次以上故障则亏损2万元，求一周内的利润期望。

解：设一周5个工作日内发生故障的天数为

X，则X ~ B 5,0.2，设T为一周内获得的利润，

则T为离散型随机变量，其所有可能取

值为10,5,0, -2

（万元）其分布律为：

p[T =10

； = p「x =0.；=C0

0.2 0.85 =0.328

p{T =5}=P{X

=1}

=

C；X0.21X0.84=0.410

p：T =0} =P：X =2； = d 0.22 0.8^0.205

P^T

二 二

plx _3：，1 -CT =10.；-「T =5?-汁=0} = 0.057

即可获利润T的分布律为：

T

p

-2

0.057

0

0.205

5

0.410

10

0.328

E(T)=-2 0.057 0 0.205 5 0.410 10 0.328 = 5.21 &

六、点估计（矩估计和极大似然估计）的题目

1、设总体X概率密度为:

其他

设Xi,X2,…，Xn为

总体的一个样本

Xi,X2, ,Xn是样本值，求

二的矩估计量和极大似然估计量。

（日

+1）xe

0

：

2、已知随机变量

X的密度函数为f（X）=丿

.0

x

：：

1

其中二为未知参数，求 二的矩估计量与极大似然估计量。

3、设总体X概率密度为fwO：1"；其他X<1，其中。为未知参数，Xi,X2，…，Xn为总体的

一个样本,X1,X2,…，Xn是样本值，求参数

二的矩估计量和极大似然估计量。

4、设总体X具有分布律

X 1 2 3

p

日2

20（1

_日）

（1-日）2

其中二（0十：：：1）为未知参数，已知取得了样本值

X1

=1, X2

=2,

X3

=1。

试求二的矩估计值和极大似然估计值。

I "X

5、设总体X的密度函数为：f（x）=」$e 1 X >■ 0，其中日>

0为未知参数

[0, X"

X1,X2 /

,Xn是来自总体X的样本，求参数

二的矩估计量和极大似然估计量

Ocx<1 —「亠一

6

、设X1,X2^

,Xn为总体X的一个样本，X的密度函数f（x） =

厶,,

（其中未知参数1 0,

其他

0 >0），

x1,x2^-

, xn是样本值，求参数

P的矩估计量和最大似然估计量。

"n —/X

7、设X扎x >0

e ,

1,X2,…,Xn为总体X的一个样本，X的密度函数f（x） = <

0,

其中未知参数’・0，X1,X2,…，Xn是样本值，求参数，的矩估计量和最大似然估计量。

A

（日

+1）（x-5） 5£ x£ 6 .

&已知随机变量X的密度函数为

f（x）

=」,0

其他

亠…

（日A—1），

其中T为未知参数，设

X1

,X2 - ,Xn为总体的一个样本，x1,x2^

,xn是样本值，求参数V的矩估

计量和极大似然估计量

。

七、区间估计

1、 为考察某大学成年男性的胆固醇水平 ，现抽取了样本容量为 25的一个样本，并测得样本均值为X =186, 样本标准差为s =12。假定胆固醇水平

X ~ N(」,；「2),」与匚2均未知,求总体标准差二的置信度为

90%勺置信区间。(瞪。5(24) =36.415,

3095(24)=13.848)

2、 设某异常区磁场强度服从正态分布

N(・i,；「2)，现对该地区进行磁测，今抽测 16个点，算得样本均值

X -12.7,样本方差s2 =0.003

,求出匚2的置信度为95%的置信区间。参考数据：

(瞪025(15) =27.5,瞪975(15) =6.26,汛25(16) =28.845,瞪.975(16) = 7.564 )

3、 某单位职工每天的医疗费服从正态分布

N(巴/)，现抽查了

25天，得2 =

170,

s=30求职工每天

医疗费均值」的置信水平为0.95的置信区间。

(10.025

24 -

2064.

t°.05

24 -

1711.)

87费，发现平均值为X=5.9元，样本标准差S = 1.2

4、 某超市抽查80人，调查他们每月在酱菜上的平均花

元。求到超市人群每月在酱菜上的平均花费

J的置信度为95%的区间估计。

(t0.025(8_1) U^0.025

- .196

,

t0.05

(80 _1)

，＞U0.05

-

1.65)

5、 随机地取某种炮弹9发做试验，测得炮口速度的样本标准差

这种炮弹的炮口速度的标准差

2 2 2 2

0.975s=11 ms，设炮口速度服从正态分布，求

二的置信度为0.95的置信区间。

(8)=2.18,

0.025(8)=17.535,。.975(9) =2.7,

0.025(9)=19.023

6、 从某商店一年来的发票存根中随机抽取 26张,算得平均金额为 78.5元,样本标准差为20元。假定发

90%勺置信区间。 票金额服从正态分布，求该商店一年来发票平均金额的置信度为

（t°.05（25） =1.7081如5（26） =1.7056,如25（25） =2.0595,如25（26） =2.0555）

八、假设检验

1、 设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 25位考生的成绩，算得平均成绩为 亲=66分，

71分？ 标准差s

=20分，问在显著性水平〉二0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为

并给出检验过程。（参考数据：t0.025（24） = 2.0639，t0.05（24） =1.7109）

2、 机器自动包装食盐，设每袋盐的净重服从正态分布，要求每袋盐的标准重量为

为了检验机器是否正常工作，

2 2

500克。某天开工后，

从已经包装好的食盐中随机取 9袋，测得样本均值x=499,样本方差

S 16.03

.问这天自动包装机工作是否正常（〉=0.05

） ？（参考数据：

10.025

8 =2.306

3、 设有正态分布总体

100t°.05

8 =1.8595）

X ~ N」£2的容量为 100的样本，样本均值 乂=2.7卩,二2均未知，而

2

Xj

-X

i

=225，在〉=0.05水平下，是否可以认为总体方差为

2.5

？

i

土

_ 2 _ 2

，：[■■■--0.025

99 =129.56, 99 =74.22

S =10，取显著

4、 设总体X服从正态分布

N

（〜二2）,从中抽取一个容量为16的样本，测得样本标准差

性水平.•，=0.05，是否可以认为总体方差为

80?

（驚025（15） =27.488

；

^.025（15^6.262

；

^（16^28.845

；

^5（16^6.908）

5、 设某次概率统计课程期末考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36位考生的成绩，算得平

均成绩为x =72分，样本标准差为s=9.3分，问在显著性水平〉=0.1下，是否可以认为这次考试 全体考生的平均成绩为 70分？并给出检验过程。

血025（35）=2.0301怎05（35）=1.6896応025（36） = 2.0281怎05（36） = 1.6883）

6、 某百货商场的日销售额服从正态分布，去年的日均销售额为 53.6万元，方差为 36.今年随机抽查了

10个日销售额，算得样本均值

X =57.7万元，根据经验，今年日销售额的方差没有变化。问：今年的 日平均销售额与去年相比有无显著性变化（

（:=0.05）？

U0.025

=1.96, t°.025（9 ）=2.2622）

21岁的年轻

400

7、 某广告公司在广播电台做流行歌曲磁带广告，它的广告是针对平均年龄为

人。广告公司想了解其节目是否为目标听众所接受。假定听众的年龄服从正态分布，现随机抽取

2

位听众进行调查，得x =25岁，s N6，以显著性水平〉=0.05判断广告公司的广告策划是否符合

实际？ 检验假设

H0：P=P0=21;

已：卩工巴(10.025

(400—1)拓

u0.025

= 1.96)

六、点估计（矩估计、极大似然估计）的

E(X) x、rx 2」dx

：—,

‘°

弱 +1

答案

1、解:

令

L =X得二的矩估计量

逅+1

n

似然函数为L（v）=-「仁片）^…-畀2（| ]

xi）"

i4

n

ln L2

」lnr (“ —1)' ln

Xii 4

由型二丄•

茁

12r 2「

、|nx「O

i=1

・

得二的极大似然估计量

2二

(' In Xi)

i 4

2、解：EX = fx(日+1)(x—5)日

dx =

65(x—5)idx

故二的矩估计量为

T? 2

6 —X

1似然函数

L(R

八

f (XR)i

二

十

1)打【(K -5f,

i=1

i =1

In L ( v ) = n In(1 r )

八

ln( Xi - 5)

In LL) n

dr

ln( Xj「5) = 0_

二的极大似然估计量为

1 -1 1

•二 ln( X

1

i ―

5)

i

二

1

5

3、解：E(X) = [x0(1 _x)廿1dx 令 t =1_x[0(1 _t)t

二X，得二的矩估计量为

似然函数为

L(^) f (^) = 11

i=1

（丸仆尸）

"nQ【(1-x))™

i d

4”。

i=1

In L

二

nln

二

- 1)'Tn(1「xj

.由

i =±

d ln L n

可二

Jn(i"0

得二的极大似然估计量为

i 4

2

2

12 1 4

2 2= 1 -

二

3 1 -3 — 2二，X =

4、解：E X =13

眾,，所以亠3 X

川的矩估计量，矩估计值为。

3 2

L(T )=£P{X =x} = P{X“ =1}P{X2 = 2}P{X3 =1} = 2日5(1—日)

1— =

o，得建=5。

I nL(日)=I n 2 50叶(I nOjl,令

二

1 6

dr

' In (1 _X」

；：

亠.1

e=dx - v

,令“ -X ,得，的矩估计量为5、解：由

E(X) = xf (x)dx =

o

X

0

先写出似然函数

L(^)

： | ]

f (Xi)

i

二

1

dln L("

Xi

.似然方程为

取对数得

In L

(巧=—nlnr

解得的极大似然估计值为

x；二的极大似然估计量为

X

。

6、解：E(X) =

0x

似然函数

L(')

=n

i壬

令 d In L( J

垃 -

7、解:

EM"

.。xdx —

1

7- X

7?= X

。

令

p +1

X

故]的矩估计量为

1- X

f(N； J

n= -|I

1

InL ( ) n I n

啦？一厂1

i=1

Xn

i =1

1的极大似然估计量为

、In Xi

i m

令丄=X 故，的矩估计量为 ?=-

似然函数L( ■) = 11

彳(片；人)=切口

e丛

i =1

InL @ ) n in反

Xi= 0

为

■的极大似然估计量— Xi

n

i =1

X

6

a 6

8、解：EX =

5

x(0+1)(x

一5)臥=5

xd(x — 5)

故二的矩估计量为

亠6一.;(_5)讼4三

似然函数LG)八

f(x.讨二(二-1)^

(为-5尸,

I nL ( ) n In ( 1

I n Xi -

i =1

Xl-n (

1^

v的极大似然估计量为

、' In Xi -

i =1

5 )

七、

区间估计的答案

1、解

1)S的置信区间为

(「

由公式知 w的置信度为

1 -:

2

(n(n - 1)S2

,

i

丿.

2而

n =

25，

s=12，L1 : /2

(门-=

2

2.95(24) =13.848,

化2

二

(n1} -(24)36.415，代入可得二的置信区间为(9.74,15.80).

='0.05

=

(15) =27.5,

2

2 2

0.975=0.05,》2、解

n = 16,«

0.025

(15> 6.26^的1—a置信区间为

f

2c

2

(n —1 )S

22 n -V 1

(n —1 )S

=『15

汇

0.003 15汉

-10.00164,0.00719

0.003 ]

(n T)j I

一-27.5 , 6.26

.丿

：3、解：已知n = 25, x =170, s =30

, 口

= 0.05,鮎.025(24) = 2.064，所以4的置信度为95%的双侧置信

区间为:

0 025

( n— 1),X +-^t0 025

( n—1)}= ||170 —30X2.064,17O

+

30 汉 2.064〕= 157.616,182.384】

Jn

」-

5 5

」

4、解：样本容量n二80,属大样本，则X

一 "'近似服从N (0,1),按照正态分布均值的

S/Jn

亠的 置信区间的求法，而x =5.9,

s =1.2,

u0.025

=1.96,可以类似得到酱菜平均花费

置信度为

1

-〉的置信区间是(X -

S - S

— u-./2,X •- u -./2) = 5.64,6.16

Un Jn

17.535", 2.18

A432107,.1。

6、解：设总体为X~N（.L,；「2）,因二2未知，则发票平均金额 丄的置信度为1「二的

S

5、解：已知

n =9,s=11 ms，:

=0.05，

信区间为：

S

爲5(8)=2.18，

2

0.025(8) = 17.535，所以 b 的 95%勺置

]8灯12

〔8域112

置信区间是（X

一〒匕2（n— o X

+〒如/2（n—1））

,pn Qn

将

2=78.5,s=20, n= 26心(n— 1) =t°.°5(25) =1.7081,代入得到卩的置信区间为(71.8,85.2)。

八、假设检验的答案故接受H0

.认为这天自动包装机正常。

3、

解：

H0

:吒=2.5 比：吒=2.5

：

=0.05，

n -1 s2

=225,

爲5

(99 严 74.22

爲5

(99 严129.56,

由于2

n八小

1、 解：

H。：二-71 Hi：」=71

牛0,

2.5

0.975

99

<

'IS2咗.。25

㈣

71 6671由于 .

一-0.05下，认为总方差为 2.5。

所以接受H

0

,即在显著水平

S n - 20

/ 25

“ ,25：：：2.0639

所以接受H0,即在显著水平0.05下,

解:

2、

可以认为这次考试全体学生的平均成绩为

若H

0成立，统计量

71分。

H

0=500 H」=500.

1

X -500

T ~ t(8).

S/3

贋—500| _|499-50q

t

一

S 9 16.03/3 16.03

= 0.187

：：

2.0306。

解：

H。：二。=80,已

>~0

-80

由于

n -1二门一22 2

1 S

15 100

7580皿，因为

2

爲5(15) = 27.488，

1寫.025

(15) = 6.262

爲5(15) —八

4、

15 100

=18.75 <迸。25(15)

80

所以接受Ho，即在显著水平 0.05下，可以认为总体方差为

5、解：

80。

H

:」-70 H

01-70

70由于

t =卜一 = |72一弹=i.29£i.6896=t005(35)

丿

70分。

S麻9.3/極

所以接受H。，即在显著水平0.1下，可以认为这次考试全体学生的平均成绩为

6、解：今年日销售额总体

X~N(」,；「2)，其中二2 =36已知.

建立假设

H0:% = 53.6; H,:「％

当H。真时，检验统计量为

U =

x

、二

/、n

~ N(0,1).

57.7-53.6

|U|二

= 2.16 1.96，故拒绝原假

6八10

由于

X =57.7.

查表得Ua/2 = u0.025

= 1.96，代入得

设，即认为今年的日平均销售额与去年相比有显著性变化。

7、解：建立假设

H。： " = %

=21; H1

: %

当H0真时，检验统计量

T

X

_卩

-

~t(n-1),拒绝域为

S

2於3-1).

25 — 21

查表得

t

(4OO-1)常

u

=1.96，由于

t = ------------ =20＞匕(门一

1) = 1.96，故拒绝原假设,

002500252

所以接受Ho，即在显著水平 0.05下，可以认为总体方差为 80。

4/J400F x = A Barctan—,

x

a