常微分方程初等解法及其求解技巧

2024年1月12日发(作者：)

目 录

摘 要 .............................................................. I

关键词 ............................................................. I

Abstract ............................................................. I

Key words ........................................................... I

1.前 言 ............................................................ 1

2.常微分方程的求解方法 .............................................. 1

2.1常微分方程变量可分离类型解法 ................................... 1

2.1.1直接可分离变量的微分方程 ................................... 2

2.1.2可化为变量分离方程 ......................................... 2

2.2常数变易法 ..................................................... 7

2.2.1一阶线性非齐次微分方程的常数变易法 ......................... 7

2.2.2一阶非线性微分方程的常数变易法 ............................. 8

2.3积分因子法 .................................................... 13

3.实例分析说明这几类方法间的联系及优劣 ............................ 14

3.1几个重要的变换技巧及实例 ...................................... 15

dydx3.1.1变15 为 ................................................

dxdy3.1.2分项组合法组合原则 ........................................ 16

3.1.3积分因子选择 .............................................. 17

参考文献 .......................................................... 18

致 谢 ............................................................ 19

常微分方程初等解法及其求解技巧

摘

要

常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中.求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降

阶的目的来解决问题.本文就是对不同类型的常微分方程的解法及其求解技巧的系统总结：先介绍求解常微分方程的几种初等解法，如变量分离法，常数变易法，积分因子法等，在学习过程中，通过对不同类型的方程求解，揭示常微分方程的求解规律.然后介绍几类方程求解中的变换技巧及规律，并通过实例来分析这几类方法之间的联系及优劣，从而能快速的找到最佳解法.

关键词

变量分离法 常数变易法 积分因子 变换技巧

Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary Differential

Equation

Abstract

Ordinary differential equations are important components of calculus and used

extensively for the studies on specific issues. Ordinary differential equations are often

resolved by the means of variable separation and both sides integral. If they are higher-order

ones, we can reduce their order by proper variable substitution to solve this problem. This

essay aims at concluding systematically the methods of different types of differential

equations and its resoling skills. First of all, I’d would like to introduce several basic

resolutions of differential equations, such as variable separation, constant threats, points factor,

etc. In the process of learning, I’d like to reduce the law of resolving ordinary differential

equations by resolving different types of equations. Then, we describe several equations

resolutions and for transformation techniques and its laws, and we also analyze the

advantages and disadvantages and connections by using the examples of these methods to be

able to find the best solution quickly.

Key words

Variable separation; constant threats; points factor; transform techniquesI

1.前

言

数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是高等分析里大部分思想和理论的根源.人所共知，常微分方程从它产生的那天起, 就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具.它的发展历史也是跟整个科学发展史大致同步的.

现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性质的研究、化学反应稳定性的研究等.这些问题都可以转化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题.常微分方程具有广泛的社会实践性，无论是在各类学科领域上，还是在实际生产生活中，都有举足轻重的作用．它所涉及范围之广，致使前人对它做了很深入的研究．应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它现有的理论也还远远不能满足需要，还有待进一步的发展，使这门学科的理论更加完善.

微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言.它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具.人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则一目了然.所以我们必须能够求出它的解.常微分方程的初等解法,既是常微分方程理论中有自身特色的部分，也与实际问题密切相关；恰当对初等解法进行归类，能正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而能按照所介绍的方法进行分解.

总之，常微分方程属于数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据这重要位置，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论与实际应用均非常重要，因此本文对常微分方程的初等解法进行了简要归纳和分析，主要讨论变量分离方程，非恰当微分方程，线性微分方程，同时结合具体的实例，展示了初等解法在解题过程中的应用及其求解过程中的变换技巧和律.

2.常微分方程的求解方法

2.1常微分方程变量可分离类型解法

dy定义1

如果一阶微分方程具有形式dxf(x)g(y)，则该方程称为可分离变量微dyg(y)0.分方程若设，则可将方程化为g(y)f(x)dx.即将两个变量分离在等式两端.

其特点是：方程的一端只含有y的函数与dy，另一端只含有x的函数与dx.对于该类程，我们通常采用分离变量的方法来处理。

1

2.1.1直接可分离变量的微分方程

形如

dy

dxf(x)g(y) (2.1)

[1]的方程称为变量分离方程.f(x),g(y)分别是x,y的连续函数.

dxey3x0的通解.

例2.1

求解dyy1y213x12

解

将变量分离得yeydye3xdx,两边积分得eec,因而通解为

23623e2.1.2可化为变量分离方程

y22e3xc（c为任意常数）.

而有些方程虽然不是变量分离方程，但是可以通过适当的变量代换，转换为分离变量方程.

（变量代换的思想）

对于新方程应用分离变量的方法，求出通解后再带回原变量就可以得到其通解.如何寻求恰当的变量代换将给定的方程化为分离变量方程，没有一般的方法，但是对于一些特殊类型的方程，这种变量代换却有固定的形式.下面介绍几类这样的方程.

类型1：齐次方程[2]

形如

dyyg (2.2)

dxx的方程，称为齐次微分方程，这里gu是u的连续函数,对方程(2.1)做变量变换

u即yux，于是

dyduxu (2.4)

dxdxy (2.3)

x将(2.3),(2.4)代入（2.2），则原方程变为

duu(u)，

dx整理后，得到

du(u)u (2.5)

dxx方程(2.5)是一个变量分离方程.可按前面(2.1)的方法求解，然后代回原来的变量，便得到(2.2)的解.

2

注

该类型还可以推广到形如22例2.2

解方程yxdyyygxf.

dxxxdydyxy.

dxdx解

原方程化为

(xyx2)dyy2且yx，

dx即

ydyx

，

dxy1x2dyduyduuu于是，令u，即yxu，将代入该方程，得ux，整理即有

dxdxxdxu1duu2u，

xudxu1u1分离变量，得

u1dxdu

(u0)，

ux两边积分得，ulnulnxlnc1，将u所以

yyy代回来，得ln(xc1)ln(c1y)，

xxxyce (c为任意常数),

另外u0，即y0也是原方程的解,但此解包含于通解c0之中.

故方程的通解为

yxyce.类型2：

形如

3

yx

dyx11faxbyc (2.6)

dxy的方程也可以经变量变换化为变量分离方程，这里的a,b,c均为常数.

做变量变换

uaxbyc，

这时有

dudxax1by1dydxax1bx1fu，

即

duabfux1dx.

是变量分离方程.而当1时，dydxfaxbyc为其特殊形式.

例2.3

求解方程dydxx3yxyxy.

解

因为

dydxx3yxyxy，

可以化为

dydxxyx2y21.

于是，令

ux2y21

则

dudydx2x2ydx2x2xu,

将(2.8)代入(2.6)可以知道，这是一个分离变量方程.

即

12u2duxdx,

两边同时积分，得

lnu1x2c1

再将(2.9)代入(2.7)，得

lnx2y22x2c1.

所以

4

(2.7)

(2.8)

(2.9)

xy2e整理得

22x2c1,

x2y22Cex，其中C为任意常数.

类型3：形如

yfxydxxgxydy0 (2.10)

2的方程同样可已经变量替换化为变量分离方程.

将(2.10)变形为

dydxyfxyxgxy

做变量替换

uxy

这时有

du

dydxu

dx

x2将(2.11)和（2.12）代入(2.13)中，得

guuguufudu1xdx.

由此，化为变量分离方程，两边积分并代回原来的变量，可求出方程的解.

类型4：形如

x2dydxfxy

的方程是变量分离方程.

做变量替换

uxy,

则

du

dydxu

dxx2代入原方程，得

1ufudu1xdx

(2.16)就是变量分离方程.

类型5：形如

5

(2.11)

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

(2.16)

的方程是变量分离方程.

做变量替换

dyyxf2 (2.17)

dxxu则，有

y,

2x

dyx2du2xud

x (2.18)

将（2.18）代入(2.17)中，得

1fu2udu1xdx，

所以，原方程同样是变量可替换方程.

类型6：形如

xdyydxf(xy)

的方程是变量分离方程.

做变量替换

uxy,

则

du

dydxxu

dx

x2代入原方程，得

1uufudu1xdx,

是变量分离方程.

类型7：形如

dydxaxby

其中、满足）的方程.

可令yz1，方程(2.20)化为齐次方程

dz1zdx1b，

x事实上

6

(2.19)

(2.20)

(2.21)

由于

dydz(1z)，

dxdxdzxbyxbzxbz，

dx所以

1z即

dz1zb

，

dx1xz再设u，可化为变量分离变量.

x变量分离求解方程是一种相当简洁的解法，也是最基本的解法，求解变量可分离的dzaxbz，

dx微分方程，关键是在正确的分离变量与计算不定积分，要理解隐式解存在的根据是隐函数的求导法则，并应该注意不要遗漏可能存在的常数解.

对于比较复杂的方程，需经过变量替换或等价变形使之转换成变量分离方程，最后利用变量分离求解，变量代换是求解一阶微分方程的一种重要方法，在一阶微分方程的初等解法中具有重要的作用.

2.2常数变易法

常数变易法是求解一阶非齐次线性常微分方程的重要方法，即将常数变易为待定函数，通过求解待定函数的表达式进而求出原方程通解，常数变易法实际上也是一种变量变换方法，通过变换可将方程化为变量分离方程.

2.2.1一阶线性非齐次微分方程的常数变易法

p(x)dx.从此出发，将通解对于一阶线性齐次方程yp(x)y0，它的通解为yce中的任意常数c换成待定函数u(x)，假设

yu(x)ep(x)dx

（2.22）

为一阶线性非齐次方程

yp(x)yq(x)

（2.23）

的解，为了确定u(x)，将（2.22）代入（2.23）的左边，得到

p(x)dx.

yp(x)yu(x)e从而得到

p(x)dxu(x)eq(x)，

7

即

u(x)q(x)ep(x)dx，

积分后得到

u(x)q(x)ep(x)dxdxc，

其中c为任意常数.把u(x)代入（2.22）中，得到方程（2.23）的通解为

p(x)dxp(x)dxye(q(x)edxc).

这种将常数变易为待定函数的方法，通常被称为常数变易法.

例2.4

解方程y(1x2y2)dxxdy.

解

方程变形为

dyyxy3，令zy2，则

dxxdydz2y3，

dxdxdz2z2x，

dxx代入变形方程为

利用常数变易法，其中p(x)2，q(x)2x，则它的通解为

xx2cz2，

2x1x2c2,即原方程的通解为

代回原来的变量y，得到

22xyx2x4c.

22y此外，方程还有解

y0.

2.2.2一阶非线性微分方程的常数变易法

个别的一阶非线性微分方程，可用常数变易法求解，下面介绍四种形式非线性微分方程的常数变易法，包括齐次方程、贝努力方程和黎卡提方程等的常数变易法.

1.齐次方程

dyy

（2.24）

dxx对这种方程的解法，在一般教科书中都是首先把它化为可分离变量方程，然后根据可分离变量方程的解法去解，在这里我们可以直接用常数变易法求解.

8

根据常数变易法，先求出原方程“对应”的齐次方程ycx,

再令

dyy的通解为

dxx

yc(x)x

（2.25）

则有

c(x)xc(x)c(x)gc(x)，

dc(x)dxdc(x)gc(x).

即

，即

gc(x)xdxx两边积分就可以求出c(x),然后再代入（2.25），便得原方程的通解.

例2.5

求方程xyyxtan解

将方程改写为yx的通解.

dyyydyy的tan

，可以求得它“对应”的齐次线性方程dxxdxxx通解为ycx，再令yc(x)x，代入原方程可得

dc(x)xtanc(x),

dx即

dc(x)dx，

tanc(x)x两边积分得sinc(x)cx（其中c是任意常数），

代回变量，得原方程的通解为sin2．伯努利微分

dyp(x)yQ(x)yn

（2.26）

dxycx

（其中c是任意常数）.

x其中P(x),Q(x)为x的连续函数,

(n0,1).对于伯努利方程，在一般的教科书上都是先把它化为线性方程，然后根据线性方程的求解方法去解，在这里我们直接用常数变易法去求解.

dyp(x)y的通解

根据常数变易法，先求它“对应”的齐次线性方程dxycep(x)dx.

令yc(x)ec(x)ep(x)dx,代入（2.25）得，

c(x)p(x)ep(x)dxp(x)dxc(x)p(x)e9

p(x)dxnp(x)dx，

Q(x)cn(x)e即

c(x)Q(x)cn(x)e(n1)p(x)dx，

所以

cn(x)d[c(x)]Q(x)e(n1)p(x)dxdx，

1n1解得

c(x)[(1n)Q(x)e(n1)p(x)dxdxc]，

1所以（2.26）的通解为

p(x)dx(n1)p(x)dxye[(1n)Q(x)edxc]n1.

利用此公式可求出任一伯努利方程的通解.

dyy6xy的通解.

例2.6

求方程dxx解

可以判断此方程为伯努力方程，这里p(x)应”的齐次方程为

dyy6，

dxx6，Q(x)x，n2,原方程“对x其通解为ycx6，令yc(x)x6，代入原方程化简得c(x)x6xc2(x)x12,

即dc(x)c2(x)x7，即

dxdc(x)x7dx.

2c(x)1x8c，所以原方程的通解为

则

c(x)8x6x2c（其中c为任意常数）.

y83．黎卡提方程dyP(x)y2Q(x)yR(x)

（2.27）dx

一般来说，这一类方程一般来说没有初等解法，不过，若知道其一特解y1，经变换yzy1后，方程就变为伯努力方程，因而可解.这里直接用常数变易法求一类特殊的黎卡提方程的解

p(x)dxdy22p(x)dxp(x)yQ(x)ayebyec，

dx（a、b、c是实常数，且a0）

根据常数变易法先求它“对应”的齐次线性方程dyp(x)y的解

dx10

ycep(x)dx ,

再令

yc(x)ep(x)dx

（2.28）

代入原方程，有

dc(x)p(x)dx2eQ(x)ac(x)bc(x)c，

dx分离变量得到

dc(x)ac(x)bc(x)c2p(x)dxQ(x)e，

两边积分，求出c(x)，然后代入（2.28）可以得原方程的通解.

dyy1例2.7

求方程22ex(2yex1)2的通解.

dxxx21解

在这里由于p(x)1112dxp(x)dx，xeex，得

x2eay2e2p(x)dxbyep(x)dxc(2yex1)2.

故原方程属于上述黎卡提方程，其中a4，b4，c1.原方程“对应”的齐次线dyy性方程通解为

dxx2yce，

1x1令yc(x)e1x，代入原方程有

111211dydc(x)x111xxx

ec(x)e(2)2c(x)e2e(2c(x)exex1)2，

dxdxxxx即

e1xdc(x)1x2e(2c(x)1)2，

dxx12即

1d2c(x)1x1ed，

222c(x)1x1A2ex

（其中A是任意常数）,

两边积分得2c(x)11所以得到

11

c(x)e1x2(Ae2)1x1，

2所以原方程的通解为

y4．形如

12(Ae2)1x1xe（其中A为任意常数）.

21

yp(x)ey0 (2.29)

的微分方程.

先求得(2.29)“对应”的方程yp(x)ey0的通解为

ylnp(x)dxc，

再令

ylnp(x)dxc(x)，

代入原方程化简后得

c(x)Q(x)c(x)Q(x)p(x)dx，

便得(2.29)的通解为

Q(x)dxp(x)dxdxcylnp(x)dxeQ(pdx)e，

利用此公式可以求得yp(x)ey0的通解.

y例2.8

求yecosx1的通解.

x解

先解方程yeycosx0，它的解是eysinxc或yln(sinxc).可令原方程的解为yln(sinxc(x))，代入方程得

c(x)1，

sinxc(x)x即

11c(x)c(x)sinx,

xx则

11xdx1xdxc(x)esinxedxc,

x

1xsinxdxc,

12

所以原方程的通解为

1(coxsc).

xxn

yln(sicosxc),（其中c为任意常数）.

xx总结：常数变易法是求解微分方程的一种很重要的方法,且常应用于一阶线性微分方程的求解.将常数换成ux就可以得到非齐次线性方程的通解；线性非齐次方程的通解等于它所对应的的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和.

2.3积分因子法

把一阶线性微分方程

改写为如下的对称形式

dyp(x)ydxQ(x)dx (2.31)

一般而言，(2.31)不是恰当方程，但以因子

uxep(x)dx乘(2.31)两侧，得到方程

ep(x)dxdyep(x)dxp(x)ydxep(x)dxQ(x)dx，

即

p(x)dxp(x)dxd(ey)eQ(x)dx .

dyP(x)yQ(x) (2.30)

dx它是恰当方程，由此可直接积分，得到

p(x)dxp(x)dxeyQ(x)edxc，

这样就求出了方程的通解

yep(x)dxp(x)dx

(Q(x)edxc)

（2.32）

c为任意常数，其中ux为积分因子，一般情况下，积分因子是很难寻求的，只有在很特殊的情况下才很容易求得.

324例2.9[9] 求方程xy2ydxxdy0的积分因子．

解

原方程改写为

xydxxdy2ydx0，

342显然11111gxyg2x，只需取

uxyux，，，．为使2112y2x3y2x3g1xy1xy2，g2x1．

x513

于是求的原方程的一个积分因子1．

x5y22x4例2.10

求解(xyxcosy)dx(xyxsiny)dy0.

223解

因为原方程改写

MN1x3siny，2xy12x3siny，

则方程不是全微分方程，若把yxx2(ydxxdy)x(dxydy)x(xcosydxsinydy)0，

222可以看出积分因子

M1，

x2因为上式两端同乘以1，有

x2ydxxdyx2

(dxyd)y(xcosydxsinyd)y0，

22x即

yy2x2

d()d(x)d(cosy)0，

x22从而得到方程的通积分

yy2x2

xcosyc.

x22总结：总之,

研究微分方程积分因子的实质是把求解微分方程问题转换为寻求积分因子的方法，这种方法体现了一种以退为进的创新思维，这种思维方式的转变还是值得我们学习的.

3.实例分析说明这几类方法间的联系及优劣

以上总结了常微分方程的几种解法，熟悉各种类型方程的解法，正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而按照所介绍的方法进行求解，这是最基本的要求.但是我们所遇到的方程未必都恰好是所介绍过的方程类型，因此要注意学习解题的技巧，善于根据方程的特点，引进恰当的变换，将方程化为能求解的新类型，从而求解.

下面是几类方程之间的关系图：

14

y/xu

可分离变量方程

p(x)dyyc(x)e

dy/dxM(x)N(y)齐次方程

dy/dxM(x,y)N(x,y)

u(y)1/N(y)

一阶线性方程

dy/dxp(x)yq(x)全微分方程

u(x,y)1/xMyN

(xMyN0)P(x,y)dxQ(x,y)dy0

p(x)dyu(x)e

u(x,y)yne(1n)p(x)dx

伯努利方程

dy/dxp(x)yq(x)yn

y(1n)z

这样从不同角度，用不同方法解决了同一问题，更能深刻的体会到常微分方程几种解法之间的联系及其巧妙之处.

3.1几个重要的变换技巧及实例

常微分方程的求解有众多方法，技巧性很强，有时能用不同方法解决同一问题，因此我们也要熟悉常微分方程几类初等解法之间的联系及优劣，从而能快速的找到最优解法.下面以例题来介绍“变换”的技巧和规律.

dydx3.1.1变为

dxdy若微分方程为（或可转换为）

dyfx,y,

dxgx,yfx,ygx,ydydx当较简单时，可变变为，此时方程变为

fx,ygx,ydxdydxgx,y,

dyfx,y经此变换后方程可能是前面所介绍的某类方程.

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dy2xy例3.1求方程的通解

dxx2y解

令fx,y2xy，gx,yx2y，因此原方程不属于前面所介绍的各类方程，但

gx,yx1，

fx,y2y2x所以

dxx1，

dy2y2x'方程属于伯努利方程.

令zx2，z2xdxdzz，方程变为1.

dydyydxy解之得

x2zedxy(edyc)y(lnyc).

3.1.2分项组合法组合原则

分项组合法的关键在于组合，组合的原则为：

(1)

分项后，若存在只与dx和x相关的项，或只与dy和y相关的项，应为独立项，不与其它项组合.

(2)

所有微分相关项组合成一项.

13xy2dx(2ye)dy0的通解.

例3.2

求方程34yy解

求解过程如下

(1)

拆项

13x13xy2y2dx(2ye)dydx2yedydy.

y3y4y3y4y21(2)

组合

2yedy与dy相关，应单独为一项，33y4，x1，

ydx3xdy为全微分相关项，应组合成新的一项.

和y3y4(3)将方程转换成分组全微分方程

因为2yeydydey，22x13xdxdyd343，所以原方程转化为

yyy16

xxy2dedd(e)0,

3y3yy2通解为

ey2xc.

y33.1.3积分因子选择

总所周知，当微分方程为非恰当的时需借组积分因子将其转化为恰当的，全微分方程的标准格式为

n3n2n1ux,ydfx,ygxqyiii0 ,

i1i1i1其中n10，n20，n30.u(x,y)0通常称为积分因子，一般常微分方程需经过恒等变化才能转化成上式.有上式可直接得到方程的解为

fx,ygxqyc.

iiii1i1i1n1n2n3解常微分方程时，积分因子是重新组合后各项的公因子，解题关键仍在于组合.

例3.3

求方程x2ydy2xydx0的通解.

2xyd，x

解

x2ydy2xydxx2dyydy (1)

分项重新组合：因为ydy独立微分项，应为单独一项；

(2)

找积分因子:

x2dy2xydx0不是全微分方程.由于微分方程中dx前的函数是幂函数，但符号为负，dy前的函数是幂函数符号为正，故一定要使函数之一为负.因为

12x22xx22(xdy2xydx)2dydxd，

yyyy所以积分因子为1.由此有

y21x222(ydyxdy2xydx)dlnyd0,

yy所以通解为

x2lnyc.

y归纳起来，在我们求解已解出导数的常微分方程时，常常根据所给方程的结构特点，17

设法做出适当变换，将其化为可分离变量的方程或其他易于求解的类型.在求解以微分形式出现的常微分方程是，应先考虑分项组合法.因此在解题过程中注重应用上述技巧将使得方程的解答相对比较简练快捷.

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[9] 吴淼生．关于非恰当方程MdxNdy0积分因子的求法[J]．宜春师专学报，1994（2）

：15-23．[10] 徐胜林.《常微分方程》例题分析[J].高等函授学报（自然科学版）,2005,18(02):22-23.

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致 谢

本次毕业论文是在老师的精心指导下完成的，在论文的构思和写作过程中，首先要感谢杨洁老师对我的细心指导．从杨老师身上，我不仅学到了治学的严谨精神，而且也学到了做人的态度，这让我受益匪浅.所以，在此我要向杨老师表示最衷心得感谢和最深厚的敬意．然后也要感谢张芳老师、申进老师以及大学期间的所有任课老师，感谢他们的教导与帮助．

同时，我想感谢我的父母，感谢他们对我多年的养育之恩．他们给了我温暖的家和无私的爱，没有他们二十多年来的关心和支持，我无法想象自己能够顺利地完成学业．

由于这次撰写毕业论文的时间较短，加上本人的水平有限，所以论文还有许多的不足之处．在此也恳请各位专家和教授给予批评与指导．

最后向所有关心和帮助过我的老师和同学表示由衷的感谢．

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