2024年1月12日发(作者：)

一． 填空题（共40分）

1．N个全同近独立粒子构成的热力学系统，如果每个粒子的自由度为r，系统的自由度为（ Nr ）。系统的状态可以用（ 2Nr ）维Г空间中的一个代表点表示。

2 对于处于平衡态的孤立系统，如果系统所有可能的微观状态数为Ω，则每一微观状态出现的概率为（ 1/Ω ），系统的熵为

（ kln Ω ）。

3．玻色统计与费米统计的区别在于系统中的粒子是否遵从（泡利不相容原理 ）原理，其中（费米）系统的分布必须满足0 ≤ fs ≤ 1。

- αα4．玻色系统和费米系统在满足（ 经典极限条件(或e <<1) 或e >>1）条件时，可以使用玻尔兹曼统计。

dUaldlldalll5．给出内能变化的两个原因，其中（

ldal ）l项描述传热，（

aldl ）项描述做功。

l6．对粒子数守恒的玻色系统，温度下降会使粒子的化学势（ 升高 ）；如果温度足够低，则会发生（ 玻色——爱因斯坦凝聚 ）。这时系统的能量U0＝（0），压强p0＝（0），熵S0＝（0）。

7．已知粒子遵从经典玻尔兹曼分布，其能量表达式为1222(pxpypz)ax2bx2m，粒子的平均能量为（2kT－b2/4a ）。

8．当温度（ 很低 ）或粒子数密度（ 很大 ）时，玻色系统与费米系统的量子关联效应会很强。

9．如果系统的分布函数为ρs，系统在量子态s的能量为Es，用ρs和Es表示：系统的平均能量为（

EsEs ），能量涨落为s（

s(EsE)2）（如写成E2(E)2也得分）。

s10．与宏观平衡态对应的是稳定系综，稳定系综的分布函数ρs具有特点（ dρs

/ dt=0 或与时间无关等同样的意思也得分 ），同时ρs也满足归一化条件。

二．计算证明题（每题10分，共60分）

1．假定某种类型分子（设粒子可以分辨）的许可能及为0，ω，2ω，

3ω，。。。， 而且都是非简并的，如果系统含有6个分子，问：

（1）与总能量3ω相联系的分布是什么样的分布？分布需要满足的条件是什么？

（2）根据公式alN!al计算每种分布的微观态数Ω；

al!ll（3）确定各种分布的概率。

解：能级： ε1， ε2， ε3， ε4，…

能量值： 0， ω， 2ω，3ω，…

简并度： 1， 1， 1， 1，…

分布数： a1, a2, a3, a4, …

分布al要满足的条件为：alN6

l

allE3

l满足上述条件的分布有：A：al5,0,0,1,0,...

B：al4,1,1,0,0,...

C：al3,3,0,0,0,...

6!16;5!1!6!各分布对应的微观态数为：B130;

4!1!1!6!C1203!3!A所有分布总的微观态数为：ABC6302056

pAA/6/560.107;各分布对应的概率为：pBB/30/560.536;

pCC/20/560.357;2．表面活性物质的分子在液面（面积为A）上做二维自由运动，可以看作二维理想气体，设粒子的质量为m，总粒子数为N。

（1）求单粒子的配分函数Z1；

（2）在平衡态，按玻尔兹曼分布率，写出位置在x到x＋dx， y到y＋dy内，动量在px到px＋dpx，

py到py＋dpy内的分子数dN；

（3）写出分子按速度的分布；

（4）写出分子按速率的分布。

解：（1）单粒子的配分函数z11h2e2m(px2py2)dxdydpxdpyA(2mkT)

2h （2）dNe()dxdydpxdpyh2Ndxdydpxdpy

e2Z1h （3）将（1）代入（2），并对dxdy积分，得分子按速度的分布为mmdNvN()e2kT(vx2vy2)dvxdvy

2kT （4）有（3）可得分子按速率的分布为：mvmvmm2N()e2kTvdvN()e2kTvdv

2kTkT223．定域系含有N个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级ε1＝－ε0，ε2＝ε0，其中ε0大于零且为外参量y的函数。求：

（1）温度为T时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之比，并说明

在极端高温和极端低温时粒子数比的特点；

（2）系统的内能和热容量；

（3）极端高温和极端低温时系统的熵。

解：（1）单粒子的配分函数为：Z1ele1e2e0e0

lNe1e0 处于基态的粒子数为：N1N0;

0Z1eeN2e0处于激发态的粒子数为：N2eN0;

0Z1ee温度为T时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之为：N2eekT00

N1eekT00极端高温时：ε0《kT，态的粒子数基本相同；

极端低温时：ε0》kT，N21, 即处于激发态的粒子数与处于基N1N20, 即粒子几乎全部处于基态。

N12）系统的内lnZ1e0e000

UNNln(ee)N000ee（能：N02U1Ue0e02 热容量：CV()V2()V)

1(0TkTkT2ee0（3）极端高温时系统的熵：Sklnkln2NNkln2

极端低温时系统的熵：S=0

4．对弱简并的非相对论费米气体，求：

（1）粒子数分布的零级近似f0

与一级修正项Δf1；

（2）证明：与零级近似相比，粒子数的相对修正量和内能的相对修正量均正比于e。

解：费米气体分布函数为：f（1）fe1e1

1e(1e)ee22

1e

f0e，f1e22

（2）D()dCVd

N

N12fD()defD()de1022CVdCVd1212e

U

UfD()de

fD()d105．金属中的电子可以视为自由电子气体，电子数密度n，

（1）简述：T＝0K时电子气体分布的特点，并说明此时化学势μ0的意义；

（2）证明：T＝0K时电子的平均能量0035，简并压强p02n0；

5f

T=0K

1

（3）近似计算：在室温下某金属中自由电子的热容与晶格热容之比。

（1）μ0表示T＝0K时电子的最能量。电子从ε＝0的能级开始，先占据低能级，然后占据高能级，遵从泡利不相容原理。

f = 1 (ε < μ0); f = 0

0

μ0

ε

(ε > μ0)

(2)U0Np0fD()dCVdfD()dCVd00000001203212dd012030500

2U2UN22320n0n0n3V3NV3355111（）；f （＝）；f （）(3)T>0K时:

f

222T>0K时，只有在μ附近kT量级范围内的电子可跃迁到高能级，对CVkT有贡献，设这部分电子的数目为Neff， 则NeffN。每一电子对CV的贡献为3kT/2, 则金属中自由电子对Cv的贡献为33kkT3NkkT3NkkT3NkTCVekNeffN()()()

2222kTf2TfCVe1T晶格的热容量为Cv＝3Nk，0(Tf:104105)

CV2Tf6．固体的热运动可以视为3N个独立简正振动，每个振动具有各自的简UU0/kTi1，式中的求和遍及ie正频率ωi，内能的表达式为：所有的振动模式，实际计算时需要知道固体振动的频谱。

（1）写出爱因斯坦模型中采用的频谱和德拜模型中采用的频谱，并加以简单说明；

（2）用爱因斯坦模型求高温下固体的热容量；

（3）用德拜模型证明低温下固体的热容量正比于T3。

解：（1）爱因斯坦模型： N个分子的振动简化为3N同频率（ω）的简1谐振动，每个振子的能级为n(n)；

2 德拜模型：N个分子的振动简化为3N个简正振动，每个振子的频率不同，且有上限ωD，D()dB2d.

(2) 爱因斯坦模型:

Z1lellen1(n)2e21e;

U3NCV(3N3NlnZ12e1/kTUe)V3Nk()2/kTTkT(e1)2高温时：e/kT1/kT,e/kT1,CV3Nk

（3

）UU0i13Niei/kTD1U00B3kT4D(/kT)3UB()d()0e/kT10e/kT1kT

上式的第二项与T的4次方成正比，故CVT3

中 国 海 洋 大 学 命 题 专 用 纸（附页）

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