相似矩阵的有关性质及其应用

2024年1月12日发(作者：)

相似矩阵的有关性质及其应用

作 者 王国强 数学系 数学与应用数学专业

指导教师 金银来 数学系 教授

摘要 若矩阵P可逆,则矩阵P-1AP与A称为相似。相似矩阵有很多应用。例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。

关键词：相似矩阵；对角化；Jordan标准型；特征向量；特征值

Abstract:

There are a lot of applications about similar matrix. For example, we can

discuss the integrality of the method by using the properties of similar matrices to confirm

unknown elements and characteristic subspaces of similar matrices belong to the same

characteristic value are isomorphism. Also we may discuss the equivalent conditions for similar

matrices and their characteristic polynomial and their corresponding results, especially,

applications of digitalization matrices in advanced algebra theory and other subjects are probed

into. In this paper I will give out some corresponding properties of similar matrices and show their

appliance.

Keywords: similar matrices; diagonal matrix; Jordan’s normal form;

characteristic value; characteristic vector

1 相似矩阵有关定义

定义1.1设A,B是n阶方阵,如果存在可逆阵P使得P-1AP=B,则称矩阵A与B相似.

定义1.2矩阵A相似于对角阵,则称A可相似对角化,即存在可逆阵P使P1APdiag(1,2,,n),1,,n为A的n个特征值.

2 相似矩阵有关性质

a. 已知P-1AP=B,即A相似于B,则

ⅰ) |A|=|B|; ⅱ) t r (A)=t r (B); ⅲ) |A-λI|=|B-λI|.

b. 若A与B都可对角化,则A与B相似的充分条件是A与B由相同的特征多项式.

c. A的属于同一特征值i的特征向量的线形组合只要不是零向量, 仍是对应i的特征向量.

d. A的属于不同特征值的特征向量线形无关.

e. 实对称矩阵A的特征值都是实数,属于不同特征值的特征向量正交.

f. 若是实对称矩阵A的r重特征值,则A对应特征值恰有r个线性

无关的特征向量.

g. 任何一个n阶复矩阵A都与一个Jordan形矩阵J相似.

h. 对n阶方阵A，以下三条等价:

⑴A可对角化;

⑵A有n个特征值（重根按重数计），且r（＞1）重特征值;

⑶A有n个线性无关的特征向量.

i. 对角化的基本方法有如下两种:特征值法,特征向量法.

3 相似矩阵在微分方程中的应用

许多实际问题最后都归结为求解微分方程（组）的问题.因此,如何求解微分方程（组）是个很重要的问题.下面举例说明特征值和特征向量,约当标准形在其中的应用.

3.1 将常系数线性微分方程组

du1a11u1a12u2a1nun;dtdu2a21u1a22u2a2nun;



dtdunan1u1an2u2annun.dt(3-1)

写(3-2)

其中u=(u1,u2,,un)T,A(aij)n*n为系数矩阵,令(3-2)式的解u=etx,

(3-3)

即 (u1,u2,,un)T=et(x1,x2,,xn)T.

将(3-3)式代入（3-2）得etx=Aetx=etAx,

化简得AXX,即(3-3)式中为A的特征值,X为对应的特征向量;若A可对成矩阵形式为

duAu

dt

角化,则存在n个线性无关的特征向量x1,x2,,xn,于是得到(3-2)式的n个线性无关的特解.

u1=e1t1x1, u2=e2tx2,, un=entxn.

它们的线性组合

uc(3-4)

(其中c1,c2,,cn为任意常数)为(3-1)式的一般解,将(3-4)式改写成矩阵形式

1e1t1x1+c2e2tx2+…+cnentxn,

e1t2teu=(x1,x2,,xn)ntec1c2,

cn记 c=(c1,c2,,cn)T,et=diag (e1t,e2t,,ent)

p=(x1,x2,,xn)(3-5)

对于初值问题

dudtu,

uu0t0,则(3-1)式或(3-2)式有一般解

upetc

(3-6)

解为

(3-7)

因为t=0代入(3-5)式得 c=p1u0.

例3.1 解线性常系数微分方程组

upetp1u0

dx1dtx1x2;dx24x15x2;

dtdx3dtx12x3.已知初始值为:

x1(0)1,x2(0)1,x3(0)2.

dxAx 解 本题的初始值问题为dt

x(0)x(1,1,2)T0110,可得A的约当标准形,即有可逆矩阵

450其中

A102200012 ,使P1APJ031.

025P=111003由(3-7)式,该初值问题的解为

(3-8)

XPetJP1x0

(tJ)2(tJ)n, 其中

eItJ2!n!tJ(3-9)

n2n0020003n3n1C1

031

Jnn003n003(3-10)

将(3-10)式代入(3-9)式得

e2t00

etJ0e3tte3t

00e3t(3-11)

再将(3-11)式及P,P1代入(3-8)式得

2t003111(13t)e3tx1(t)012e0250e3tte3t5201(16t)e3txx(t)

23t21022e2t(43t)e3t11100ex3(t)例3.2 解线性微分方程组

dx1dta11x1a12x2a1nxndx2a21x1a22x2a2nxndt..............................dxnaxaxaxn11n22nnn

dt(3-12)

解 令

xdx1dt1dxa11a122Xx2dX,dtdt,Aa21a22xnandxn1an2dt则方程组(3-12)可表示成矩阵形式

dXdtAX

(3-13)

假设A可以相似对角化,即存在可逆矩阵P,使得

P1APdiag(1,2,,n)

其中1,2,,n为A的全部特征值.于是令

XPY(3-14)

其中Y(y1,y2,,yTn),将式(3-14)代入式(3-13)，得

d(PY)dtAPY

即

PdYdtAPY(3-15)

在上式两端同时左乘P1,得

a1na2n

ann

dYP1APYdiag(1,2,dt即

n)Y

dy1dt1y1dy2y22

dtdynynndt将上式积分,得

y1C1e1t,y2C2e2t,,ynCnent

(3-16)

其中C1,C2,,Cn为积分常数.将式(3-16)代入(3-15)式,可得

1tXC1PeC2P2e2t1CnPnent

其中Pi为矩阵P的第i列,也是A的对应于特征值i的特征向量,i1,2,3.2 对于n阶线性齐次常系数微分方程

dnx(t)dn1x(t)a1nn1dtdtan1dx(t)anx(t)0dt,n.

(3-17)

可令

dxd2xxx1,x2,2x3,dtdtdn1x,n1xn

dt于是可得与方程(3-17)同解的方程组

dx1x2dtdx2x3dtdxnaxaxn1n12dt(3-18)

a1xn

式(3-18)可写成矩阵形式

dXAXdt(3-19)

其中

X(x1,x2,

dxdxdxdX(1,2,,n)T,

dtdtdtdt100000

A001a1anan1xn)T,于是这类微分方程可以归纳为等价的线性微分方程组,然后再利用特征值和特征向量求解.

例3.3 求解微分方程

d3xd2xdx3412x032dtdtdt

(3-20)

解 令

dxd2xxx1,x2,2x3

dtdt于是(3-20)式可变成等价的方程组

dx1x2dtdx2

x3dtdx3dt12x14x23x3即

dXAX

dt010dxdxdxdX

001(1,2,3)T,A其中

X(x1,x2,x3)T,dtdtdtdt1243可求得A的特征值为13,22,32，对应的特征向量分别为

X1(1,3,9)T,X2(1,2,4)T,X3(1,2,4)T

于是由上例知,

XC1X1e1tC2X2e2tC3X3e3t

111e3tC2e2tC2e2t

3

C123944从而

xx1C1e3tC2e2tC3e2t

其中Ci(i1,2,3)为任意常数.

4 相似矩阵在现实生活中的应用

例4.1 污染与环境发展的增长模型——发展与环境已成为21世纪各国政府关注的重点,为了定量分析污染与工业发展间的关系，我们可提出以下的工业增长模型:

解 设x0是某地区目前的污染水平（以空气或河湖水质的某种污染指数为测量单位）,y0是目前的工业发展水平（以某种工业发展指数为测量单位）,以5年作为一个期间,第t个期间的污染和工业发展水平分别记为xt和yt,它们之间的关系是：

xt3xt1yt1yt2xt12yt1(4-1)

t=1,2,…

xt31记 A= ,

ty ,

22t则(4-1)的矩阵形式为

tAt1, t=1,2,…

(4-2)

如果已知该地区目前（亦称为基年）的污染和工业发展水平0=x0可得

y0,利T用(4-2)就可以预测第k个期间该地区的污染和工业发展水平k,这是因为由(4-2)

1A0,2A1A20,,kAk0.

这表明k可通过Ak求得,为此考察A能否对角化,计算出A的特征多项式.

f()=|EA|=31(1)(4)

22由A有2个相异的特征值1和4知,A能对角化,所以可用性质来计算Ak.

对于11,解(EA)X0,可得A属于1的一个特征向量112.

T对于24,解(4EA)X0,可得A属于4的一个特征向量211.

T令P12,有A=Pdiag14P1.

APdiag14Pkk1110111112*4k14k1,

kkk2104321322*424kk(12*4)x(14)y010k=A0

kk3(22*4)x0(24)y0所以

k(4-3)

(4-3)就是所要的预测结果,对不同的0值代入(4-3)即可求得k.

例如：若011，有k4kT4k,(实际上此时0就是属于4的特征向TT量,所以kAk04k04k4k);若012,有

Tk114k1324k1.

T这些都表明,尽管工业发展水平可以达到相当高的程度,但照此模式发展，环境污染不容忽视.

例 4.2 人口流动模型——假设某省城人口总数保持不变,每年有20％的农村人口流入城镇,有10％的城镇人口流入农村.试问该省城人口与农村人口的分布最终是否会趋向一个“稳定状态”？

为解答这个问题，可设该省城人口总数为m,从今年开始,第k年该省城的城镇人口和农村人口分别设为xk,yk,据题意有

xk0.9xk10.2yk1

y0.1x0.8yk1k1k即

xk0.90.2

A

ky

0.10.8kAk0 则

kAk1A(Ak1)

为计算Ak,仍考察A能否对角化.

计算出A的特征多项式

f()EA0.90.2(1)(0.7)

0.10.8由于A有2个相异的特征值1和0.7知,A能对角化,所以可用性质来计算Ak.

对于11解(EA)X0可得A属于1的一个特征向量121;

对于20.7解(0.7EA)X0可得A属于0.7的一个特征向量211.

令P12,有APdiag[10.7]P1,

k1

AkPdiag1(0.7)PTT11112(0.7)k22*(0.7)k2110



kkk110(0.7)31231(0.7)12*(0.7)利用

x0y0m,可得

kkx02(0.7)22*(0.7)1kkA031(0.7)k12*(0.7)ky012m(x02y0)(0.7)k3m(x2y)(0.7)00k

从而有

21kxm(x2y)(0.7)k0033



11ym(x2y)(0.7)kk0033数列xk,yk的极限为

21limxkm,limykm

k3k3这表明该省城的城镇人口与农村人口的分布会趋于一个“稳定状态”:大约21有为城镇人口,为农村人口.

33例4.3 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将1熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收的新非熟练工补齐,新老非熟练工6经过培训及实践至年终考核有2成为熟练工.设第n年一月统计的熟练工和非熟5

x练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量n

ynxxxx(a)求n+1与n的关系式,并写成矩阵形式n+1=An;

yn+1ynyn+1yn4-1(b)验证1=,2=,是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特11征值;

1x12xn+1(c)当=时，求.

y1y1n+12【思路】本题的关键在于读懂题意,写出xn+1与yn+1,用xn,yn来表达的关系式:第n年初熟练工与非熟练工所占百分比为xn和yn,第n+1年初的熟练工所占的百分比xn+1由两部分构成。第一部分是上一年的熟练工xn中有5保留下来,即有66新非熟练工和上一年2yn的老非熟练工中经过培训其中有2构成新的熟练工,即(xn+yn)组成第二565521部分,这样xn+1=xn+(xn+yn).同理,第二年的非熟练工yn+1由新老非熟练工经65631过培训后仍有3不合格,仍是非熟练工所组成,即yn+1=(xn+yn),有了这个关5565xnx6构成n+1的第一部分;第二部分是由上年补齐的xn系式,就可以进一步写成矩阵的形式,按要求计算其他的问题了.

〔解〕(a)由上述分析可得

52192x=x+(x+y)=x+yn+16n56nn10n5n

y=3(1x+y)=1x+3yn+1nnnn56105即得

9xn+110y=1n+11025xn;

3yn5

其中

910A=11025

35(b) 求A的特征值.

-910-251I-A==(-1)(-),

2-1-31051所以

1=1,2=.

24当

1=1时,得对应的特征向量为x1==1;

1-11当

2=时,得对应的特征向量为x2==2.

21xn+1xn2 (c)

=A=Ayyn+1nxn-1n=…=Ayn-1x1y.

1101001,得APP1,欲求An,先把相似对角化,由P-1AP=11002022411111而

P,P.

51411所以

1010P1PP1AnP11n00()22n

10111411n145110()21n1n4()44*()1221n1n51()14*()22

因此

1n183*()xn+1122

=An

111023*()nyn+122本题是用特征值、特征向量解决实际问题的一个典型例题.解决此类问题的关键把所求用向量形式表示,并用矩阵表示它们之间的关系，得到用来推导向量n1与n之间的一个矩阵乘积表述式;如例中的(a)问，进一步用矩阵的特征值、特征向量把其相似对角化,求其n次方幂,而得到相关的结果,如例中的(b),(c)问。

应用问题往往题字比较长,要准确弄懂题意须多读几遍题目，然后根据题目要求,设定数学符号,建立数学模型,本题的(a),(b)问实际上是给了建立此数学模型的提示步骤.

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