2024年1月12日发(作者：)

第 4 章

名称

不定积分的概念

不定积分

主要内容

内容概要

设

f (x)

，

x  I

，若存在函数

F (x)

，使得对任意

x  I

均有

F

(x)  f (x)

或

dF (x)  f (x)dx

，则称

F (x)

为

f (x)

的一个原函数。

f (x)

的全部原函数称为

f (x)

在区间

I

上的不定积分，记为

f (x)dx  F (x)  C

注：（ 1） 若

f (x)

连续， 则必可积；（ 2） 若

F (x), G(x)

均为

f (x)

的原函数， 则

F (x)  G(x)  C

。故不定积分的表达式不唯一。

性质

性质 1：

性质 2：

性质 3：

计算方法

第一换元积分法

（凑微分法）

第二类换元积分法

分部积分法

d

dx

 

f (x)dx  f (x)

或

d

f (x)dx  f (x)dx

；

  

不定

F

(x)dx  F (x)  C

或

dF (x)  F (x)  C

；

[f (x)  g(x)]dx 

f (x)dx 

g(x)dx

，,设

f (u)

的 原函数为

F (u)

，

u 为非零常数。

积

分

本章(x)

可导，则有换元公式：

(x)  F ((x))  C

f (设

x (x))(x)dx 

f ((x))d(t)

单调、可导且导数不为零，

f [(t)](t)

有原函数

F (t)

，

(t))(t)dt  F (t)  C  F (1

则

f (x)dx 

f ((x))  C

u(x)v(x)dx 

u(x)dv(x)  u(x)v(x) 

v(x)du(x)

若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理

按情况确定。

有理函数积

分

在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；

后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到

的地位与作用

课后习题全解

了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好

坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！

习题 4-1

1.求下列不定积分：

知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！

1

★(1)

dx

xx

2

思路:

被积函数

1

x2

x

5

2

 x

5

2

，由积分表中的公式（2）可解。

解 ：

x

dx

2

3

2

2

x

dx  x  C

3

x

★(2)

(

x

3

1

dx x

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

1

3

4

x

3

 2x

2

 C

dx 33 2 3

解：

(

x x

)dx 

(x x )dx 

xdx 

x

4

1

1 1

1 1

2

★(3)

（2x  x2）dx

2

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

1

3

dx  x dx   x  C

解：

（2  x ）dx 

2

ln 2 3

x 2 x

2x

★(4)

x (x  3)dx

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：

2

x

2

 2x

2

 C

2 2

x(x  3)dx 

x dx  3

x dx 5

3 1

5 3

3x4  3x2  1

★★(5)

x2  1

dx

1

3x4  3x2  1

2思路:观察到

 3x 后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

x2  1 x2  1

1

3x4  3x2  1

2 3

 arctan x  C

dx 

3x dx 

解：

2

dx  x

2x  1 1  xx

★★(6)

1  x2

dx

2

xx2 11 1

，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

思路:注意到

  

1

1 x2 1 x2 1 x2

2

2

x2

1

解：

dx 

dx dx  x  arctan x  C.

2 2

1 x1 x注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

x 1 3 4

★(7)

（

- +

3

-

4

）2

x xxdx

思路:分项积分。

1 3

解：

（x

4 1 1

3

4

- + - ）dx 

xdx x dx  4

x dx

dx  3

 

2 x x3 x4

2 

x

1 3 4

 x2  ln | x |  x2  x3  C.

4 2 3

3 2

★(8)

(

1  x2

1  x2

)dx

思路:分项积分。

解 ：

(

★★(9)

3

1 x2

dx  3arctan x  2 arcsin x  C.

)dx  32 dx  221 x

1 x 1 x

22 1 1

x x x dx

？看到

x x x

7

8

思路:

x x x

解：

 x

1 1 1

 

2 4 8

 x7

8

，直接积分。

8

15

x x x dx 

xdx  x

8

 C.

15

★★(10)

1

x2

(1  x2

)dx

思路:裂项分项积分。

解：

1 1 1 1 1 1

dx  (  )dx  dx  dx    arctan x  C.

x2

(1  x2

)

x2

1  x2

x2

1  x2

x

e2x 1

dx

★(11)

x

e1

e2x 1 (ex 1)(ex 1)

x

x

解：

x

dx 

dx 

(e

1)dx  e  x  C.

e1

ex 1

★★(12)

3x ex dx

x思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然3x ex （3e）

。

3

x（3e）

解：

3 e dx 

（3e）dx   C.

ln(3e)

x x x

★★(13)

cot2 xdx

思路:应用三角恒等式“

cot2 x  csc2 x 1

”。

解：

cot2 xdx  (csc2 x 1)dx  cot x  x  C

2  3x  5  2x

★★(14)

3x

dx

x）

，积分没困难。

 2 （5

x

33

(

2

)x

xx2  3  5  2 2

x

3

））dx  2x  5  C.

dx  （2 （5

解：

3

x

ln 2  ln 3

32 x

★★(15)

cos dx

2

思路:被积函数

2  3x  5  2x

2思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。

x

1  cos x

dx 

1

x 

1

sin x  C. d 解：

cos

2

2 2 2

1

★★(16)

1  cos 2xdx

1

思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。2

1 1 sec xdx  tan x  C.

dx 

解：

1

dx



1  cos 2x

2 cos2 x 2

2

cos 2x

(17)

cos x  sin xdx

★2

思路:不难，关键知道“

cos 2x  cos2 x  sin2 x  (cos x  sin x)(cos x  sin x)

”。

解：

cos 2x

cos x  sin xdx 

(cos x  sin x)dx  sin x  cos x  C.

cos 2x

(18)

dx★cos2 x  sin2 x

思路:同上题方法，应用“

cos 2x  cos2 x  sin2 x

”，分项积分。

cos2 x  sin2 x 1 1

dx 

2dx 

2dx 

2x

解：cos222 x sin xcos x sin x sin xcos x

cos 2x

csc2 xdx 

sec2 xdx  cot x  tan x  C.

4

★★(19)

(

1  x

1  x

)dx1  x 1  x

 x 1 x 2

1 x

1 x

1  

，应用公式(5)即可。

1 x 1 x

1 x2 1 x2 1 x2

思路:注意到被积函数

1  x

1

1  x

dx  2 arcsin x  C.

解：

(

1  x

1  x

)dx  221  x

1  cos2 x

★★(20)

dx

1  cos 2x思路:注意到被积函数

2

1  cos x

11  cos2 x sec2

x 

，则积分易得。

 1  cos 2x 2 cos2 x 2 2

1

1  cos2 x 1 1 tan x  x

2

 C.

解：

dx 

sec

xdx 

dx 1  cos 2x2

2

2

★2、设

xf (x)dx  arccos x  C

，求

f (x)

。

知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。

思路分析：直接利用不定积分的性质 1：

解：等式两边对

x

求导数得：

d

[f (x)dx] f (x)

即可。

dx

xf (x)  

1

1  x2

, f (x)  

1

x 1  x2

★3、设

f (x)

的导函数为sin x

，求

f (x)

的原函数全体。

知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：连续两次求不定积分即可。

解：由题意可知，

f (x) 

sin xdx  cos x  C1

所以

f (x)

的原函数全体为：

（ cos x  C1）dx  sin x  C1

x  C2

。

1

2 x x

ex x

, e shx

和

e chx

都是 的原函数

★4、证明函数

e

2 chx- shx

知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：只需验证即可。

d 1

2 x

d

x

d

x 2 x

解：

 e，而

[( e

)]  [e shx]  [e chx]  e

chx  shx

dx dx

dx 2

2 x

ex

★5、一曲线通过点(e2 , 3)

，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。

5

知识点：属于第 12 章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积

函数的关系。

思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。

解：设曲线方程为

y  f (x)

，由题意可知：

[ f (x)] 

， f (x)  ln | x | C

；

d 1

dx

又点(e

2x

, 3)

在曲线上，适合方程，有3  ln(e2 )  C,C  1，

所以曲线的方程为

f (x)  ln | x | 1.

★★6、一物体由静止开始运动，经t

秒后的速度是3t

2 (m / s)

，问：

（1） 在3

秒后物体离开出发点的距离是多少？

（2） 物体走完360

米需要多少时间？

知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。

思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。

解：设物体的位移方程为：

y f (t)

，

d

2

则由速度和位移的关系可得：

[ f (t)]  3t  f (t)  t

dt

3

 C

，

3又因为物体是由静止开始运动的， f (0)  0, C  0, f (t)  t

。

(1)

3

秒后物体离开出发点的距离为:

f (3)  33  27

米；

(2)令t

3  360  t 

3 360

秒。

习题 4-2

★1、填空是下列等式成立。

知识点：练习简单的凑微分。

思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。

解：

(1)dx 

d (7x  3);(2)xdx   d (1  x2 ); (3)x3dx d (3x4  2);

12

1

1 1

7 2

1 dx 1 dx 1

(4)e2x dx  d (e2x ); (5)  d (5 ln | x |); (6)   d (3  5 ln | x |);

2 x 5 x 5

1 dx 1 dx 1

(7) dt  2d ( t ); (8)  d (tan 2x);(9)  d (arctan 3x).

cos2 2x 2 1  9x2

3

t

2、求下列不定积分。

知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。

思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形

式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！

★（1）

3te

dt

6

思路:凑微分。

解 ：

e3t dt  e3t d (3t)  e3t  C

1

3

3

1

3

★(2)

(3  5x) dx

3

思路:凑微分。

解 ：

(3  5x)dx   (3  5x)d(3  5x)  

5

1

3 1

(3  5x)4  C

20

★(3)

思路:凑微分。

解：

1

3  2xdx

1 1 1 1

dx   d (3  2x)   ln | 3  2x | C.

3  2x

2 3  2x2

1

3

★(4)

5  3xdx

1

思路:凑微分。

1

21 1 1 1

解：

dx  

d (5  3x)  (5  3x)

3

d (5  3x)  (5  3x)3

 C.

33

3 5  3x

3 2

5  3x

x

★(5)

思路:凑微分。

(sin ax  eb

)dx

1

x xx 1

b

b

sin axd (ax)  b ed ( )  cos ax  be C

解：

(sin ax  eb

)dx a

 b a

x

cos

t

★★(6)

t

dt

1

思路:如果你能看到

d (

t ) dt

，凑出

d (

t )

易解。

2 t

cos

t

解：

t

dt  2

cos

td ( t )  2 sin

t

 C

★(7)

tan10 x sec2 xdx

  1

tan11 x  C.

11

思路:凑微分。

解 ：

tan10 x sec2 xdx  tan10 xd (tan x) (8)

★★dx

x ln x ln ln x

思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。

7

解 ：

d (ln | ln x |)

 

x ln x ln ln x

ln x ln ln x

ln ln x

 ln | ln ln x | C

21  x

tan

dx d (ln | x |)

★★(9)

xdx

1  x2

xdx

1  x2

思路:本题关键是能够看到

2是什么，是什么呢？就是d

1  x

！这有一定难度！

解：

tan

1  x

2

xdx

1  x2

tan 1  x2 d

1  x2  ln | cos 1  x2 | C

(10)

★★dx

sin x cos x

思路:凑微分。解：

方法一：倍角公式sin 2x  2 sin x cos x

。

2dx

 csc 2xd 2x  ln | csc 2x  cot 2x | C 



sin x cos x sin 2x

方法二：将被积函数凑出tan x

的函数和tan x

的导数。

dx cos x 1 1

2dx sec xdx d tan x  ln | tan x | C

2

sin x cos x

sin x cos

x

tan x tan x

dx

方法三：

三角公式sin2 x  cos2 x  1，然后凑微分。

sin2 x  cos2 x

sin x cos x d cos x d sin x

sin x cos x

sin x cos x

dx 

cos x

dx 

sin x

dx  cos x

sin x

dx

 ln | cos x |  ln | sin x | C  ln | tan x | C

★★(11)

x

e edx

 x

xxxde

。

dx e dx de 思路:凑微分：

  ex

 e x

e2x  1 1  e2x 1  (ex )2

xdx ex dx dex

解：

ex

 e x

2x

 arctan e  C

x2e  1 1  (e )

★(12)

x cos(x2 )dx

1

2

1

2

思路:凑微分。

解 ：

x cos(x2 )dx  cos x2dx2  sin x2  C

★★(13)

xdx

2  3x2

8

思路:由

1 d (2  3x2 )

  

凑微分易解。

6

2  3x2

2  3x22

2  3x2

xdx 1 dx2

xdx

解：



121

d (2  3x2 ) 1

(2  3x2 )

1

2

d (2  3x )  2  3x2  C

 

 

6 6 3

2  3x2 2  3x2

★★(14)

cos2 (t) sin(t)dt

1 1

22t)dt 

cos (t) sin(t)dt   

cos

(t)d cos(t)

思路:凑微分。

解：

cos2 (t) sin(1

  cos3 (3

3x3

★★(15)

t)  C.

1  x4

dx

思路:凑微分。

解 ：

3

3 1

4 4

1  x4

dx 

4

1  x4

dx 

4

1  x4

dx

 

4

1  x4

d (1  x

)  

4

ln | 1  x

| C.

3x3 3 4x3 3 1

4

sin x

★(16)

3

dx

cosx思路:凑微分。

1 1

解：

dx  

3

d cos x   C.

cos3

xcosx2 cos2

x

★★(17)

sin x 1

dx

2  x20

x9

思路:经过两步凑微分即可。

解：

1 1

10

x9

x10

1

x10

1 1

)  C

d 

dx 

2

20

dx 10

2010

10

2

arcsin(2

2  x

x2

 x

1  ( )

10

2

★★(18)



dx9  4x2

1

x

1 x

思路:分项后分别凑微分即可。

解：

dx

dx 

dx 

9  4x

2

9  4x

2

9  4x2

1 x

9

★★(19)

1 2x 1

1

d 

d 4x22x

2

3 8

9  4x2

1（ ）3

1 1 2x 1 1

d 

d（9  4x2）

2

2x

2

3 8

9  4x2

1（ ）3

1 2x 1

 arcsin( )  9  4x2  C.

2 3 4

1

2

dx

2x2 1

dx

思路:裂项分项后分别凑微分即可。

 (

1

1

)dx

解 ：

2

2x 1

( 2x 1)( 2x 1)

2

2x 1

2x 1

1 1 1

 ()d 2x

2 2 2x 1 2x 1

1

1 1

1 1 2x 1

d ( 2x 1) d ( 2x 1) ln C.

2

2

2x 1 2

2

2x 1 2

2

2x 1

xdx

★dx

1

(20)

(4  5x)2

xdx

思路:分项后分别凑微分即可。

1 4  5x  4 1 1 1

  （ ）dx 

（  4 ）d (4  5x)解：

(4  5x)2

5 (4

 5x)2 25 4  5x (4  5x)2

4 1

1 4 1

d (4  5x) ln | 4  5x | 

 C.

1 1

d (4  5x) 

25

4  5x 25 25 4  5x

25

(4  5x)2

★(21)

(x  1)x2dx

100

思路:分项后分别凑微分即可。

x2dx

解：(x

1)100

(x 11)2 dx

(x 1)

100(x 1)2

((x 1)100(x 1) 1

 2  )dx100100 (x 1) (x 1)

1

1

 2

1

)d (x 1)

(

1009899(x 1)

(x 1)

(x 1)

1 1 1 1 1 1

   

 C.

97 (x 1)97 49 (x 1)98 99 (x 1)99

10

xdx

★★(22)

x8

 1思路:裂项分项后分别凑微分即可。

1 1 11

1 1  )xdx  (  )dx2

xdx

解：

(



x8  1

(x4  1)(x4  1)

2 x4  1 x4  1 4

x4  1 x4  1

xdx

1 1 1 1 1 1 1

2 1

2

2

[ (

2

2) 

4

]dx

 [d (x  1) 

2

d (x

 1)]

2

4 2 x  1 x

1

x

1

8 x 1 x 1

x2  1 1

1 1

2 1

2

dx ln |

2|  arctan x

 C.

224 (x ) 1

8

x  1

4

★(23)

cos3 xdx

  

思路:凑微分。

cos xdx  d sin x

。

解：

cos3 xdx  cos2 x  cos xdx  cos2 xd sin x  (1 sin2 x)d sin x

1

 sin x  sin3 x  C

3

★★(24)

cos2 (2

t )dt

1  cos 2(t )

2

)  C

1 1

dt 

dt 

cos 2(t )d 2(t )

24思路:降幂后分项凑微分。

解：

cos (t 

 t  sin 2(2 4

1 1

)dt 

t ★★★(25)

sin 2x cos 3xdx

思路:积化和差后分项凑微分。

解：

sin 2x cos 3xdx 

1 1

  cos 5x  cos x  C

10 2

★★★(26)

sin 5x sin 7xdx

1 1 1

(sin 5x  sin x)dx  sin 5xd 5x 

sin xdx

2

10 2

思路:积化和差后分项凑微分。

解：

sin 5x sin 7xdx 

1 1 1

(cos 2x  cos12x)dx  cos 2xd 2x 

cos12xd (12x)



2 4

24

1 1

 sin 2x  sin12x  C.

4 24

★★★(27)

tan3 x sec xdx

  

思路:凑微分tan x sec xdx  d sec x

。

解：

tan3 x sec xdx  tan2 x  tan x sec xdx  tan2 xd sec x  (sec2 x 1)d sec x

11

1

sec2 xd sec x 

d sec x  sec3 x  sec x  C

3

★★(28)

10arccos x

2dx

1  x

1

1 x

2

思路:凑微分

dx  d (arccos x)

。

10arccos x

d arccos x   C.

ln10

解：

10arccos x

2

1  x

dx

 10

arccos x

★★(29)

(arcsin x)2 1  x2

1

1 x

2dx

思路:凑微分

dx  d (arcsin x)

。

d arcsin x 1

解：

   C

2(arcsin x)2 1  x2

(arcsin x)

arcsin x

arctan x

x (1  x)

dx

arctan x

x (1  x)

dx 2 arctan x

1  ( x )

2dx

★★★★(30)

思路:凑微分

d

x

 2 arctan xd (arctan

x )

。

解：

arctan x 2 arctan x

dx 

x (1  x)

1  ( x )2

d

x

2 arctan

xd (arctan x )

 (arctan x )2  C

ln tan x

★★★★(31)

cos x sin x

dx

思路:被积函数中间变量为tan x

，故须在微分中凑出tan x

，即被积函数中凑出sec2 x

，

ln tan x

dx ln tan x

dx 

ln tan x

sec2 xdx 

ln tan x

d tan x

cos x sin x tan x

cos2 x tan x

1

tan x

2 ln tan xd (ln tan x) 

d ( (ln tan x) )

2

ln tan x ln tan x

ln tan x

dx

dx 

d tan x 

ln tan xd (ln tan x)

解：cos x sin x cos2tan x

x tan x

1

 (ln tan x)2  C

2

12

1  ln x

★★★★(32)

dx

(x ln x)2

思路:

d (x ln x)  (1  ln x)dx

1  ln x

解：

2

1

2

1

(x ln x)dx 

(x ln x)d (x ln x)  

x ln x

 C

1  edx

x

★★★★(33)

解：方法一：

思路:将被积函数的分子分母同时除以

ex

，则凑微分易得。

x

dx

x

e x

dx  

1

d (ex

)  

1

d (ex  1)  ln | ex  1 | C

1  e

e1

e

 x

1

e

 x

1

方法二：

思路:分项后凑微分

1 ex  ex

ex 1

x

1 ex

1 ex

dx 

1dx 

1 ex

dx  x 

1 ex

d (1 e )

dx

 x  ln |1 ex | C  x  ln(ex | ex 1|)  C

 x  (ln ex  ln | ex 1|)  C  ln | ex 1| C

方法三：

exdx dex

1

x

思路:

将被积函数的分子分母同时乘以

ex

，裂项后凑微分。

1 ex

ex (1 ex )

ex (1 ex )

e

dx 1

 x

1

x

ln e

x

d (1 e )

de1 e1 ex

x

 x  ln |1 ex | C  ln | ex 1| C

★★★★(34)

x(x 4)6

dx

解：方法一:

思路：分项后凑积分。

1 x 1

1 x

6

 4  x dx

6

 

5

x(x6  4) 4

x(x6  4) 4

x(x6  4) 4



x x6  4

dx

 dx

1 4dx

1

1 1

d (x6  4) 1

6

 ln | x |  ln | x

 4 | C

ln | x | 

6x  4

4 24

4 24

13

方法二：思路:利用第二类换元法的倒代换。

令

x ，则

dx  

dt

。

1 1    

x(x6  4)

1  4t6

24

1  4t6

( )dt

24

2

 4

t

t6

1 1 4

  ln(1  4t6 )  C   ln(1  )  C.

24 24 x6

t

dx



1

2t

t 1

1 

d (4t6 ) 1

d (4t6  1)

★★★★(35)

8

x(1  x)2

dx

解：方法一:

思路：分项后凑积分。

88224dxdx 1 x  x

(1 x )(1 x )(1 x )

dx 

2

x8 (1 x2 )



x8 (1 x2 )

dx x8 (1 x2 )

1 x

dx1 x2  x4  x6

dx 

8

x

(1 x)(1 x)

1 1

1 1 ( 

 )dx 1

dx

x

8

x6

x4

x2

1 x2

11 1

 

1

1

  ln

1 x

 C

7x7 5x5 3x3 x 2 1 x

方法二： 思路:

利用第二类换元法的倒代换。

2t t

t8

114

8

26t

( 

   

dx

  

1

2

x8 (1  x2 )

1

2

dt)

(t t t t )dt

dt

2

1

1

t t 

1 

2

t

1 1 11

  (t6  t

4  t

2  1)dt  ( )dt  (t6  t

4  t

2  1)dt  (  )dt

令

x ，则

dx  

dt

。

1 1

2

t  1 t  1

 1

1 1 1 1 t  1 1 11 1 1 1 1  x

  t7  t5  t3  t  ln | | C  

1 1

   ln | | C

7 5 3 2 t  1 7 x7

5 x5

3 x3 x

2 1  x

 

t

2

3、求下列不定积分。

知识点：（真正的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习。

思路分析：题目特征是 ----- 被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式？三角函数中，下列二恒等

式起到了重要的作用。

sin2 x  cos2 x  1;

sec2 x  tan2 x  1.

为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角

14

范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。

★★★(1)

1  1  x2

dx

思路:令

x  sin t, t

解：令

x  sin t, t

，先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降幂公式。

2

，则

dx  cos tdt

。

2

dx cos tdt dt dt t t

2



dt 

 t 

 t  secd

t

2 2

221 cos t

1 cos t

1

1 x

2 cos

2

t x

21 1 x

 C

）

t  tan  C  arcsin x   C.（或 arcsin x 

2 x 1 1 x2

t（万能公式tan

sin t

1 cos t

，又sin t  x

时，

cos t 

1 x2

）

2 1 cos t sin t

★★★(2)

x2  9

dx

x

思路:令

x  3sec t, t  (0, )

，三角换元。

2

解：令

x  3sec t, t  (0, )

，则

dx  3sec t tan tdt

。

2

1)dt

 3(sec

2t 

x  9

dx 

3 tan t

3sec t tan tdt  3

tan

2tdt

x 3sec t

3

 3 tan t  3t  C x2  9  3arccos  C.

| x |

2

3

22（

x  3sec x

时，

cos x , sin x x  9

, tan x 

x  9

）

x x 3

★★★(3)

dx

2(x  1)3

思路:令

x  tan t, t

解：令

x  tan t, t

2

，三角换元。

2

，则

dx  sec2

tdt

。



sec2 tdt dt   3

23sec t

sec t

(x  1)

dx

x

 sin t  C 

C

cos tdt

1  x2

★★★(4)

dx

(x2  a2 )3

15

思路:令

x  a tan t, t

解：令

x  a tan t, t

，三角换元。

2

，则

dx  a sec2 tdt

。

2

1

2

tdt dt 1  dx a sec

 





(x2  a2 )3

a3 sec3 t

a2

sec t a2

cos tdt

2

s in t C

ax

  C.

2

22aa  x

★★★★(5)

x x4  1

dx

x2  1

，进行第二次换元。

思路:先令u  x2

，进行第一次换元；然后令u  tan t, t

2

x2  1

dx 

1

x2  1

2dx

，令u  x2

得：

解：

2

x2

x4  1 x x4  1

x2 1 1 u 1

x x4

1dx 

2

u u2

1du

，令u  tan t, t



x2 1

dx 

2

，则

du  sec tdt

，

2

1

u 1 1

tan t 1

2

1 tan t 1

du  sectdt  sec tdt

2 tan t

2

u

u2 1

2 tan t sec t

x x4 1

1 1 1

(csc t sec t)dt  ln sec t  tan t  ln csc t  cot t  C

2 2 2

1 1

2 1

u2 1

1

 C 

1

ln

4x4 1 1

 C.

ln

2 u  ln  x  ln

u 1 x 1

2 2 2 2

x2

u

u

（与课本后答案不同）

★★★(6)

5  4x  x2 dx

2 2

思路:三角换元，关键配方要正确。

解： 5  4x  x

 9  (x  2)

，令

x  2  3sin t, t

2

1 cos 2t t 1

 5  4x  x2 dx  9 cos2tdt  9 dt  9( sin 2t)  C

 2 2 4

9 x  2 x  2

 arcsin  5  4x  x2  C.

2 3 2

★★4、求一个函数

f (x)

，则

dx  3cos tdt

。

,满足

f

(x) 

'

，且

f (0) 

1。1  x

1

思路:求出

1

的不定积分，由条件

f (0)  1确定出常数C

的值即可。

1  x

16

解：

1

1  x

dx d (x  1) 2 1  x

 C.

1  x

1

令

f (x)  2 1  x  C

，又

f (0)  1，可知C  1

，

 f (x)=2 1  x  1.

1

n1 5

n

★★★5、设

In

 tan

xdx,

，求证：

In

n 1

tan

x  In-2

，并求tan xdx

。

思路:由目标式子可以看出应将被积函数tann x

分开成tann2 x tan2 x

，进而写成：

tann2 x(sec2 x 1)  tann2 x sec2 x  tann2 x

，分项积分即可。

证明：

In

 tann xdx  (tann2 x sec2 x  tann2 x)dx  tann2 x sec2 xdx  tann2 xdx

   

1

tann1 x  I

n2

.

tann2 xd tan x I

n2

n 1

1 1 1

n  5时，I  tan5 xdx  tan4 x  I  tan4 x  tan2 x  I

1

4 2

4

1 1 1 1

 tan4 x  tan2 x  tan xdx  tan4 x  tan2 x  ln cos x  C.

4 2 4 2

5

3

习题 4-3

1、

求下列不定积分：

知识点：基本的分部积分法的练习。

思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则

进行分部积分的练习。

★（1）

arcsin xdx

思路:被积函数的形式看作

x0 arcsin x

，按照“反、对、幂、三、指”顺序，幂函数

x0

优先纳入到微分号下，凑微分后仍为

dx

。

解：

arcsin xdx  x arcsin x  x 

1

1 x2

dx  x arcsin x 

 x arcsin x 1 x2

 C.

★★（2）

1

1

d (1 x2 )

2

1 x2

ln(1  x2 )dx

思路：同上题。

2

2x

22x

22)  x dx  x ln(1  x

解：

ln(1  x

)dx  x ln(1  x

) 

dx

2

1  x2

1  x

17

dx2(x2  1)  2

2)  2dx  2

 x ln(1  x

) 

dx  x ln(1  x

 

2

1  x2 1  x

 x ln(1  x2 )  2x  2 arctan x  C.

2

★（3）

arctan xdx

 x arctan x 



1 x2

1 x2

2

思路：同上题。

dx 1 d (1 x2 )

解：

arctan xdx  x arctan x  x

1

 x arctan x  ln(1 x2 )  C

2

x

2 x

sin dx

★★(4)

e

2

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：

e2x sin dx  sin d ( e2x )   e2x sin  e2x cos dx

x2

x1 1 x 1

2 2 2 2 2

1 x

2 2

1 x 1 x1

  e2x sin 

cos d ( e2x )

2 2 4 2 2

1 x 1 1 x 1

2xx  e2x sin  ( e2x cos 

e sin dx)

2 2 4 2 2 4 2

1 x 1 x 1 x  e2x sin  e2x cos e2x sin dx

2 2 8 2 16

2

2 x

x2ex x

 e2x sin dx   (4 sin  cos )  C.

2 17 2 2

★★(5)

x2 arctan xdx

2

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

x3 1

3 1

3 1

dxarctan xd ( )  x arctan x 

x

解：

x

arctan xdx 

23 3 3

1 x

1 x3  x  x 1

3 1 x

1

3

dx  x

arctan x  (x 

x arctan x 

)dx

23

3 3

1 x

3

1 x2

1 11 x 1 1 1 1 x3 arctan x  xdx  dx  x3 arctan x  x2 

d (1 x2 )

3 3

1 1 1

 x3 arctan x  x2  ln(1 x2 )  C.

3 6 6

★(6)

3



3

1 x2 6 6

1 x2

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

x

x cos dx

2

18

x x x x x x x

解：

x cos dx  2

xd sin  2x sin  2sin dx  2x sin  4sin d

22 2 22 22x x

 2x sin  4 cos  C.

2 2

★★(7)

x tan2 xdx

   

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：

x tan2 xdx  x(sec2 x  1)dx  (x sec2 x  x)dx  x sec2 xdx xdx

11

xd (tan x) 

xdx  x tan x 

tan xdx  x2  x tan x  ln cos x  x2  C.

2 2

★★(8)

ln2 xdx

：

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解

11

2222ln xdx  x ln x  x  2 ln x  dx  x ln x  2ln xdx  x ln x  2x ln x  2x 

   

dx

x x

 x ln2 x  2x ln x  2

dx  x ln2 x  2x ln x  2x  C.

★★(9)

x ln(x  1)dx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

x2 1

2 1 x2

解：

x ln(x 1)dx 

ln(x 1)d  x ln(x 1) 

dx

2 2 2 x 

1

2

1

1 1

1

2 x2

ln(x 1) 1 x 11

(x 1)dx

dx xln(x 1) 

2 2

x 1 2 2 x 1

1 1 1 1

 x2 ln(x 1)  x2  x  ln(x 1)  C

2 4 2 2

ln2 x

★★(10)

x2

dx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

ln2 x

1

)  1 1

2 ln x 1

dx  1 ln x

2 2 2

解：

2

dx 

ln

xd (ln x 

ln x  2

2

dx

x

x

x x x

x

x1 1 1 2 1 1 2 2

 

ln2 x  2 lnxd ( )   ln2 x  ln x  2 dx   ln2 x  ln x   C

x x

1

  (ln2 x  ln x  2)  C

x

cos ln xdx

x x

x2 x x x

★★(11)

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

19

解：

cos ln xdx  x cos ln x  x sin ln x  dx  x cos ln x  sin ln xdx

 

1

x1 x cos ln x  x sin ln x 

x cos ln x  dx  x cos ln x  x sin ln x 

cos ln xdx

x

x

 cos ln xdx  (cos ln x  sin ln x)  C.

2

★★(12)

ln xxdx

2

思路：详见第(10)

小题解答中间，解答略。

★★(13)

nx

ln xdx

(n  1)

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

n1

x 1 1 1xn1

dx

xn1

ln x 

解：

xn

ln xdx 

ln xd n 1

n 1

x

n 1

1

n1

1

1

n11

nx ln x  C.

 x ln x xdx 

n 1 n 1 n 1 (n 1)  ★★(14)

x2ex dx

 

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：

x2exdx  x2ex  ex 2xdx  x2ex  2xex  2exdx

 x2ex  2xex  2ex  C  ex (x2  2x  2)  C

★★(15)

x3 (ln x)2 dx

1 1

4 4

1

4x  2 ln x  dx

4 x

1

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：

x3 (ln x)2 dx  (ln x)2d ( x4 )  x4 (ln x)2 

1 1 1 1

 x4 (ln x)2  x3 ln xdx  x4 (ln x)2  ln xdx4

4 2

4 8

1 1 1 1 1 1 1

 x4 (ln x)2  x4 ln x 

x4  dx  x4 (ln x)2  x4 ln x 

x3dx

4 8 8 x 4 8 8

1 1 1 1 1

 x4 (ln x)2  x4 ln x  x4  C  x4 (2 ln2 x  ln x  )  C.

4 8 32 8 4

ln ln x

★★(16)

x

dx

ln ln x

dx

写成ln ln xd (ln x)

，将ln x

看作一个整体变量积分即可。

思路： 将积分表达式

x

ln ln x 1 1 1

dx 

ln ln xd (ln x)  ln x ln ln x 

ln x  dx  ln x ln ln x 

dx

解：

x ln x x x

20

 ln x ln ln x  ln x  C  ln x(ln ln x  1)  C.

★★★

(17)

x sin x cos xdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

1 1 1 1 1

x sin 2xdx  xd ( cos 2x)   x cos 2x 

cos 2xdx

 

2

2 2 4 4

1 1 1 1

  x cos 2x  cos 2xd 2x   x cos 2x  sin 2x  C.

4 8 4 8

2 2

x

dx

★★(18)

x

cos

2

x 1  cos x

2，然后分项积分；第二个积分严格按照“反、对、幂、三、指”顺

思路：先将cos

降幂得

2 2

解：

x sin x cos xdx 

序凑微分即可。

解 ：

x2 cos2 dx  ( x2  x2 cos x)dx 

1

x2dx  x2 cos xdx

 

2 2 2 2

2

1 1 1 1 1

 x3  x2d sin x  x3  x2 sin x  2x sin xdx

6 2

6 2 2

1 1 1 1

 x3  x2 sin x  xd cos x  x3  x2 sin x  x cos x  cos xdx

 6 2 6 2

1 1

 x3  x2 sin x  x cos x  sin x  C

6 2

x 1 1 1

★★(19)

(x2  1) sin 2xdx

 

1 1

2 2

思路：分项后对第一个积分分部积分。

解：

(x2  1) sin 2xdx  x2 sin 2xdx  sin 2xdx  x2d ( cos 2x)  cos 2x

1 1 1 1 1

  x2 cos 2x 

2x cos 2xdx  cos 2x   x2 cos 2x 

xd sin 2x

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

 cos 2x  x2 cos 2x x sin 2x sin 2xdx cos 2x

2 2 2 2 2

1 1 1 1

  x2 cos 2x  x sin 2x  cos 2x  cos 2x  C

2 2 4 2

1 1 3 1 3x

  x2 cos 2x  x sin 2x  cos 2x  C   (x sin 2x  ) cos 2x  sin 2x  C.

2 2 4 2 2 2

★★★(20)

x

e

dx

3

思路：首先换元，后分部积分。

解：令t 

3

x

，则

x  t3 , dx  3t

2dt,

21



ex

dx 

et 3t

2dt  3

ett

2dt  3

t

2det  3t

2et  3

2tetdt

 3t

2et  3

2tdet  3t

2et  6ett  6

etdt  3t

2et  6ett  6et  C

 33 x2 e★★★(21)

3

3

x

 6e3

x

3

x  6e3

x

 C  3ex

(

3 x2  23 x  2)  C.

3

(arcsin x)2dx

2 arcsin x1 x

2思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：

(arcsin x)2dx  x(arcsin x)2  x 

dx

 x(arcsin x)2 

arcsin x1 x2

d (1 x2 )  x(arcsin x)2  2

arcsin xd ( 1 x2 )

dx

1  x

2 x(arcsin x)2  2 1  x2

arcsin x  21  x2

1

 x(arcsin x)2  2 1  x2

arcsin x  2

dx  x(arcsin x)2  2

1  x2 arcsin x  2x  C.

★★★(22)

ex sin2 xdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：方法一：

ex sin2 xdx 

sin2 xdex ex sin2 x 

ex 2 sin x cos xdx

 ex sin2 x 

ex sin 2xdx

ex sin 2xdx 

sin 2xdex  ex sin 2x 

ex 2 cos 2xdx  ex sin 2x  2

cos 2xdex

 ex sin 2x  2ex cos 2x  4

ex sin 2xdx

ex (sin 2x  2 cos 2x)

esin 2xdx   C5

ex

x2 e sin xdx  (5sin2 x  sin 2x  2 cos 2x)  C

5

x

方法二：

1

x1

x1

x1

xx2x1 cos 2xe sin xdx  e dx  edx  e cos 2xdx  e  e cos 2xdx

    2 2 2 2 2



ex cos 2xdx 

cos 2xdex  ex cos 2x 

ex 2 sin 2xdx  ex cos 2x  2sin 2xdex

 ex cos 2x  2ex sin 2x  4

ex cos 2xdx

ex (cos 2x  2 sin 2x)

ecos 2xdx   C5

ex

1

x 1

x2 e sin xdx   e sin 2x ex cos 2x  C

2 5 10

x

22

★★★(23)

ln(1  x)

x

dx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

ln(1 x)

2 x

x )=2

dx  ln(1 x)d (2 x ln(1 x) 

解：

 

1 x

dx

x

x

，则

dx  2tdt,

2

1

2 x

t

1  x

dx  41  t

2

dt  4

dt  41  t

2

dt  4t  4 arctan t  C

 4 x  4 arctan x  C

令t 

ln(1  x)

dx  2 x ln(1  x)  4 x  4 arctan x  C

。

所以原积分x

ln(1  ex )

★★★(24)

ex

dx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

ex

ln(1 ex )

xxxx)d

xdx解：

dx 

ln(1 e

(e )  e

ln(1 e) 

e

xx

1 e

e

e 1

xxx e

ln(1 ex) 



ln(1 e)  d (1 ex )

dx  e

 x  x

1 e1 e

 ex ln(1 ex )  ln(1 ex )  C.

1

。

1 ex

dx

的其他计算方法可参照习题 4-2，2（33）1  x

★★★(25)

x ln

dx

1  x注：该题中思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

x

1 x 1 x 1

2 1

2 1 x 1

2 1 x 1 x 1 x

解：

x ln dx 

ln d ( x

)  x

ln

dx

x

21 x1 x 2

2 1 x

2

1 x

(1 x)

1

2 1 x x2 1

2 1 x 1

x ln 



dx 

2

dx  x ln

2

dx

2 1 x 1 x2 1 x 1 x1 1 x 1 1 1 1 1 x 1

 x2 ln  x 

()dx  x2 ln  x 

ln(1 x)  ln(1 x)2 1 x 2 1 x 1 x 2 1 x 2

1 1 x 1 1 x 1 1 x

 x2 ln  x  ln  C  (x2 1) ln  x  C

2 1 x 2 1 x 2 1 x

1 x

dx 

x[ln(1 x)  ln(1 x)]dx

再利用分部积分法计算。

注： 该题也可以化为

x ln

1 x

23

1 x x2

x ln

1 xdx 

x[ln(1 x)  ln(1 x)]dx 

[ln(1 x)  ln(1 x)]d

2

1 x x2 1 1 x2 1 x x2

ln 

ln  dx]dx 2 1 x

1 x2 2 1 x

[

1

2  x

1 x

x2

1 x 1 x2 1 x2 1 x

1 1 1

ln 

dx 2 ln  dx 

]dx

[

1

2 1 x

1 x2

1 x

1 x

2  x

x2

x2 1 x

1 1 x

 Cln

 x ln

2 1 x

2 1 x

★★★(26)

sin 2x cos x

dx

dx

dx sec2 xdx d tan x

 思路：将被积表达式 写成

，然后分部积分即可。

22 sin x cos x

2 sin x

2 sin x

sin 2x cos x

sec2 xdx

 

解：sin 2x cos x 2 sin x cos2 x 2 sin x 2 sin x

dx dx

d tan x

tan x 1 tan x 1

tan x(csc x cot x)dx 

csc xdx

2 sin x 2 2 sin x 2

1

 (sec x  ln csc x  cot x )  C.

2

2、 用列表法求下列不定积分。

知识点：仍是分部积分法的练习。

思路分析：审题看看是否需要分项，是否需要分部积分，是否需要凑微分。按照各种方法完成。我们仍

然用一般方法解出，不用列表法。

★(1)

xe3x dx

1 1

3 3

1 1 1 1e3xdx  xe3x  e3xd 3x  (x  )e3x  C.

3

3 9

3 3

1

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解 ：

xe3xdx  xd (e3x )  xe3x 

★(2)

(x  1)ex dx

 

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：

(x 1)exdx  (x 1)dex  (x 1)ex  exdx  xex  C

。

★(3)

x2 cos xdx

  

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：

x2 cos xdx  x2d sin x  x2 sin x  2x sin xdx  x2 sin x  2xd cos x

24

 x2 sin x  2x cos x  2

cos xdx  x2 sin x  2x cos x  2 sin x  C

★(4)

2x dx (x  1)e

思路：分项后分部积分即可。

解：

(x2  1)ex dx  x2ex dx  ex dx  x2d (ex )  ex dx

 ex x2  2

xex dx 

ex dx  ex x2  2

xd (ex ) 

ex dx

 ex x2  2xex  2

ex dx 

ex dx  ex x2  2xex  3

ex dx

 ex (x2  2x  3)  C.

   

★(5)

x ln(x  1)dx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

1

2 1

2 1 x2

解：

x ln(x 1)dx 

ln(x 1)d ( x

)  x

ln(x 1) -

dx

2

1

2 x 

2

1 1 1 1 1 1 1

 x2 ln(x 1) 

(x 1)dx  x2 ln(x 1)  x2  x  ln(x 1)  C.

2 2 x 1 2 4 2 2

★(6)

ex cos xdx

  

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：

ex cos xdx  cos xd (ex )  ex cos x  ex sin xdx

 ex cos x 

sin xd (ex )  ex cos x  ex sin x 

ex cos xdx

 ex cos xdx 

e x

(sin x  cos x)  C.

2

★3、已知

sin x

是

f (x)

的原函数，求

xf

(x)dx

。x

知识点：考察原函数的定义及分部积分法的练习。

思路分析：积分

xf

(x)dx

中出现了

f

(x)

，应马上知道积分应使用分部积分， 条件告诉你

sin x

x

是

f (x)

的原函数，应该知道

f (x)dx sin x

 C.

x

解：

xf

(x)dx  xd( f (x)) =xf (x)  f (x)dx

x cos x  sin x x cos x  sin x

 C, f (x) , xf (x)  ;

又

f (x)dx 

2

xxx

x cos x  sin x sin x 2

 xf

(x)dx    C  cos x  sin x  C

x x x

sin x

 

ex

★★4、已知

f (x)=

，求

xf

(x)dx

。x

25

知识点：仍然是分部积分法的练习。

思路分析：积分xf

(x)dx

中出现了

f

(x

)，应马上知道积分应使用分部积分。

解：xf

(x)dx  xd ( f

(x))  xf

(x)  f

(x)dx xf

(x)  f (x)  C.

  

xex  ex ex (x  1) ex (x  1)



f (x)=

 , xf

(x)= ;

2 2

又

 f (x) = ,

xxx

x

x

e

ex

(x  1) exx

xf

(x)dx  

C 

e (x  2)

 C.

x x x

1 cos x n  2

dx

n

1

In2

。

★★★★5、设

In

，

(n  2)

；证明：

I  n

n

sinx n 1 sin

x n 1

知识点：仍然是分部积分法的练习。

思路分析：要证明的目标表达式中出现了

In

，

cos x

sinn1

1

sin x

ncos x

中变出

1

和

x

和

In2

提示我们如何在被积函数的表达式

sinn1 x

2sinn2 x

呢？这里涉及到三角函数中1的变形应用，初等数学中有过专门的

介绍，这里1可变为sin x  cos2 x

。

证明：1=sin2 x  cos2 x

sin2 x  cos2 x

cos2 x sin2 x cos2 x 1

In

n

dx 

ndx 

ndx 

ndx 

n2dxnsin x

sin x sin xsin xsin xsin x

2cos x cos x

sinn

xdx  In2

sinn

xd sin x  In2

nn12

cos x

sin x sin x  n sin x cos x

 sin x  sin x dx  In2

n

2nsin x

sin x

2cos x cos x cos x 1 sin2 x  

    dx In2

IIndx In2

sinn-1 x

n2

sinn

xsinn1 x

n2

n

sinn x

cos x cos x

n1

In2

 nI

n

 nIn2

In2

n1 nI

n  (n  2)In2

sin x sin x

1 I  

cos x

n  2

I

n2 .

n n 1 sinn1 x n 1

dx

★★★★6、设

f( x)

为单调连续函数，

f

- 1

求：

( x)

为其反函数，且

f (x)dx  F (x)  C

，

f

1( x) dx

。

知识点：本题考察了一对互为反函数的函数间的关系，还有就是分部积分法的练习。

思路分析：要明白

x  f ( f

1(x))

这一恒等式，在分部积分过程中适时替换。

解：

f

- 1( x) dx=x f

- 1( x) -

xd( f

- 1( x) )

 

26

又 x 

f ( f

1(x))



f

1(x)dx  f

1(x) 

xd ( f

1(x)) f

1(x) 

f ( f

1(x))d ( f

1(x))

又

f (x)dx  F (x)  C



f

1(x)dx  f

1(x) 

f ( f

1(x))d ( f

1(x)) f

1(x)  F ( f

1(x))  C.

习题 4-4

1、 求下列不定积分

知识点：有理函数积分法的练习。

思路分析：被积函数为有理函数的形式时，要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式，若是假分式，

通常将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后再具体问题具体分析。

★(1)

dx

x 3

x3

思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。

3

x x3  27  27

2 3x  9 

27

 x

解：

x  3

x  3

x  3

x3

dx  (x2  3x  9  27

)dx  (x2  3x  9)dx 

27

dx

  

x  3 x  3 x  3

1 3

 x3 

x2  9x  27 ln x  3  C.

3 2

x5  x4  8

★★★(2)

x3  x

dx

思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。

x5  x4  8 (x5  x3 )  (x4  x2 )  (x3  x)  x2  x  8

2 x2  x  8

, x  x 1解：3x  x x3  x x3  x

而

x3  x  x(x  1)(x  1),

2

x  x  8

A B C

，等式右边通分后比较两边分子

x

的同次项的系数得：

令

  

x3  x x x 1 x 1

A  B  C  1 

A  8

C  B  1

解此方程组得：

B  4



A  8

C  3



27

8

x5  x4  8 2

   4 3

 

x x 1

3x x  1 x  1

x  x

54x  x  8

8 4 3

2

)dx

x3  x

dx 

(x

 x  1 

x

x  1

x  1

1 1

 x3  x2  x  8 ln x  4 ln x  1  3ln x  1  C

3 2

★★★(3)

3

dx

x3

1

思路：将被积函数裂项后分项积分。

3 2

3解 ： x

 1  (x  1)(x

 x  1)

，令

 

等式右边通分后比较两边分子

2x  1 x  1 x  x  1

3 A Bx  C

x

的同次项的系数得：



A

A+B=0

 1

B+C- A=0

解此方程组得：

B  1



A+C=3

C  2

3(2x  1) 

3

x  2 1

2 2

31

2x  1

x  1

x  x  1

x  1

1 3

22(x )  ( )

2 2

1

(2x 1)

3 1

 2

1 32

1 3

x 1

(x  )2  (x  )2  ()2

2 4

2 2

1

3 1 3

dx dx 

2

(2x 1)

dx 

1

1

1

x3 1

x 1

1x 

1

1 1 3

1

d ( 2

)  ln x 1 

d ((x  )2  )  32

(x 

1

)2 

3

2 4

1

3

x 

2

2 4

( 2

)2 1

3

2

1

 ln x 1  ln(x2  x 1) 3 arctan(

2x 1 )

C.

2

3

1 3(x  )2 

2 4

1

2 3

22

(x )  ()

2 2

dx

x  1

★★★(4)

dx

(x  1)3

思路：将被积函数裂项后分项积分。

28

A

1

解：令

x 

 

3(x  1)

B C

，等式右边通分后比较两边分子

x

的同次项的系数得：

2x  1 (x  1) (x  1)3

A  0 , B  2 A  1,

A  B  C  1，解此方程组得：

A  0 ,

B  1, C  2

。

x  1 1 2

  

(x  1)3

(x  1)2 (x  1)3

x

x  1 1 1

1 2

 C

 dx 

dx 

dx   C  32322(x  1) x  1

(x  1) (x  1) (x  1)

(x  1)

3x  2

★★★(5)

dx

x(x  1)3

思路：将被积函数裂项后分项积分。

解：

3x  2

x(x  1)3

3

(x  1)

32

x(x  1)

32

，令

x(x  1)

3A

x

  2x  1 (x  1) (x  1)3

B C D

等式右边通分后比较两边分子

x

的同次项的系数得：

A  B  0  

A  2

3A  2B  C  0

B  2

解此方程组得：



3A  B  C  D  0

C  2

A  2

D  2

2 2 2

   2

2

x(x  1)3 x x  1 (x  1)2 (x  1)3

。

3x  2 3 2 2 2 2 1 2 2 2

        

x(x 1)3 (x 1)3 x x 1 (x 1)2 (x 1)3 (x 1)3 x x 1 (x 1)2

3x  2 2 2

1 2

dx dx dx dx dx

 

332x(x 1)

(x 1) (x 1) x

x 1

1 1 2

  

 2 ln x 1  2 ln x  C22 (x 1) x 1

x

4x  3

 C.

 2 ln

2x 1 2(x 1)

xdx

★★★

(6)

(x  2)(x  3)2

x

2思路：将被积函数裂项后分项积分。

解：

(x  2)(x  3)

x  2  2

(x  2)(x  3)

2

x  2

2(x  2)(x  3) (x  2)(x  3)2

2

2 A

1 2

B C

  

；令

，等式右边通

2222(x  3) (x  2)(x  3)

(x  2)(x  3)

x  2

x  3

(x  3)

29

分后比较两边分子

x

的同次项的系数得：

A  B  0

A  2

2

2

2 2

 6 A  5B  C  0

解此方程组得：

B  2

2(x  2)(x  3) x  3

x  2

(x  3)2

9 A  6B  2C  2

C  2

x 2 2

 1

 (

2

  ) 3

2

2

(x  2)(x  3)2 (x  3)2 x  2 x  3 (x  3)2 (x  3)2 x  2 x  3

xdx

2 2

3

dx dx dx

2

2(x  2)(x  3)

(x  3) x  3

x  2

2

3 3 

x  3

 C.

   2 ln x  2  2 ln x  3  C  ln

 

x  3

x  2

x  3

3x

★★★(7)

x3

dx

1

思路：将被积函数裂项后分项积分。

解：

3x 3(x  1)  3

3x  1

x 1

3 A Bx  C

，等式右边通分后比较两边分子

x

的同次项的系数得：

令

 

23x  1 x  1 x  x  1

1 

A  B  0

A 

B  1

解此方程组得：

A  B  C  0

A  C  3

C  2

3

 x  x  1

x3  1

23 3

3

 1

x  2

1

x  2

x3 1

x 1

x2  x 1

x 1

x2  x 1

1 3 1 3 1 3(2x  1)  (2x  1) (2x  1)

x  2

2 2 2 2 2 2

而

    22222x  x  1 x  x  1 x  x  1 x  x  1 x  x  1 x2  x  1

3

2

dx 1 1 (2x 1)

3x

dx dx  dx



x3 1

x2  x 1

x 1 2

x2  x 1

11 1 1

x 

2

 d ( )  ln x 1  d (x2  x 1)

3

x 1

( 2

)2 1

3

2

3

2

2

x2  x 1

2x 1

 ln x 1 

1

ln(x2  x 1)  C

 3 arctan

2

3

x 1

2x 1

 3 arctan  ln  C

23

x  x 1

30

1  x  x2

★★★(8)

(x2

 1)2

dx

思路：将被积函数裂项后分项积分。

1  x  x2 1 x 2

 解：

22222(x  1)

x 1 (x

 1) (x2  1)2

1  x  x2

1

x dx

(x2  1)2

dx  

x2  1

dx 

(x2  1)2

dx  2

(x2  1)2

1 1 1 dx

2dx 

d (x  1)  2



2(x2  1)2

x  1

2

(x

2

 1)

2

dx

又由分部积分法可知：

22 2 2

x

2

1

(x1)

x1

x1

dx

1 1 1 2x 1

)  C

(x2 1)2

dx x2 1

2 x

2 1

 C 2

(

2x 1

1 x  x2

x

(9)

★★★

(x  1)(x  2)(x  3)

：

xdx

思路：将被积函数裂项后分项积分。

解

  

(x  1)(x  2)(x  3) (x  1)(x  2)(x  3) (x  1)(x  2) (x  1)(x  2)(x  3)

3

x x  3  3 1 3

令

(x  1)(x  2)(x  3)

B C

 

，

x  1 x  2 x  3

A

等式右边通分后比较两边分子

x

的同次项的系数得：

3 3

 B  C  0

A

3 3

2 2

2



  (x  1)(x  2)(x  3) x   2 x  3

5A  4B  3C  0

解之得：

B  3

1 x

6 A  3B  2C  3

3



C 2 



A 

3

而

1 1 1

 

(x  1)(x  2) x  1 x  2

31

3

1 1

   2

2

(x  1)(x  2)(x  3) 2 x  1 x  2 x  3

xdx 1

1

dx

3

dx

 

dx  22 x  3 (x  1)(x  2)(x  3) 2 x  1 x  2

1 3

  ln x  1  2 ln x  2  ln x  3  C.

2 2

x

★★★

(10)

dx2(x  1) (x  1)

x2  1 x2  1  2

x2  1

思路：将被积函数裂项后分项积分。

1 2

解：

  

(x  1)2 (x  1) (x  1)2 (x  1) x  1 (x  1)2 (x  1)

令

2 A B C

，等式右边通分后比较两边分子

x

的同次项的系数得：

  

(x  1)2 (x  1) x  1 x  1 (x  1)2

1 1

A  B  0 , 2 A  C  0 , A  B  C  2

；解之得：

A  , B   ,

C  1

。

2 2

1 1

 2

2

1

(x 1)2 (x 1) x 1 x 1 (x 1)2

2

1 1

2

2

1

x 1

(x 1)2 (x 1) x 1 x 1 (x 1)2

2

1 dx 1 dx 1

(x 1)2 (x 1)

dx 

2

x 1

2

x 1

(x 1)2

dx

1

1 1

1 1

 C  ln x2 1 

 C.

 ln x 1  ln x 1 2 2

x 1 2 x 1

x2 1

★★★(11)

1

x(x2

 1)dx

思路：将被积函数裂项后分项积分。

1

A Bx  C

，等式右边通分后比较两边分子

x

的同次项的系数得：

解：令

 

x(x  1)

2x x  1

2

A  B  0



A  1

1

C  0

解之得：

B  1  1 x

 

x(x2 1) x x2 1

A  1

C  0



32

11

1 x

dx  ln x 

1

d (x2  1)

dx dx 

2

2

2x(x  1) x  1

x

2 x  1

1

 ln x  ln(x2  1)  C  ln

x

 C.

2

x2  1

(12)

★★★dx

(x2  x)(x2  1)

1 1

x(x  1)(x2  1)

思路：将被积函数裂项后分项积分。

解 ：

(x2  x)(x2  1)

1 A B Cx  D

，等式右边通分后比较两边分子

x

的同次项的系数得：

令

  

(x2  x)(x2  1) x x  1 x2  1

A  B  C  0 , A  C  D  0 , A  B  D  0 , A  1，解之得：

1 1 1

A  1,

B   , C   , D   .

2 2 2

1 1 1 1

1

x  1

2  

2(x  x)(x  1)

x 2 x  1 2

x2  1

1 1 1 1 1 x 1 1

2      

222(x  x)(x  1) x

1

2 x  1 2

1 1x  1

12 x  1

dx  dx  dx  x 1 dx

 dx 

(x2  x)(x2  1)

x 2

x  1 2

x2  1 2

x2  1

1 1 1 1

 ln x  ln x  1  d (x2  1)  arctan x

2 4

x2  1 2

1 1 1

 ln x  ln x  1  ln(x2  1)  arctan x  C.

2 4 2

dx

★★★★★(13)

4

x 1思路：将被积函数裂项后分项积分。

解： x4  1  (x2  1 2x)(x2  1 2x)

Ax  B Cx  D

令

2

2，等式右边通分后比较两边分子

x

的同次项的系数得：

4x  1

x  1  2x x  1  2x

1

33

2

A  4

A  C  0 

1

B 2 A  B 

2C  D  0

2

解之得：



C 

2

A  2B  C  2D  0

4

B  D  1



D 

1

2

2x  2

 2 (2x 2)  2 2 (2x 2)  2

1 1 2x  2

1

  8

4

8

224

x 1

x  1  2x

4

x  1  2x

(x 2

)2

1

(x 2

)2

1

2 2 2 2

2 1 11

 [

(2x  2)

(2x  2)

]  [  ]

8 4

(x 2

)2

1

(x 2

)2

1

(x 2

)2

1

(x 2

)2

1

2 2 2 2 2

1

2 2

1

2

1

dx 2 (2x  2) (2x  2)

]dx  [  ]dx

  [ 

x4  1 8

 2 1

4

2

21 2

21

2 1

22(x )  (x  ) (x  )  (x  ) 2 2 2 2 2 2 2 2

2

(2x  2)

(2x  2)

dx] 

1

[

1

1

[dx 

dx  dx]4

1 18

x2  1 2x x2  1  2x

(x 2

)2  (x 

2

)2 

2 2 2 2

2

1

1

d (x2  1  [d (x2  1  2x) 

2x)]

228

x  1  2x x  1  2x

2 1 1

[

d ( 2x 1) d ( 2x 1)]

224

( 2x 1) 1 ( 2x 1) 1

22 x ln

 2x 1

2

[arctan( 2x 1)  arctan( 2x 1)]  C

28

x  2x 1

4

2 2

ln

x  2x 1

2

(arctan

2x

)  C.

8

x2  2x 1

4 1 x2

注：由导数的性质可证arctan( 2x  1)  arctan( 2x  1)  arctan

本题的另一种解法：

2x

1  x2

34

11 

dx 1 x2  1 x2  1 1

2

x

[dx

x4  1 2

x4  1

x4

 1

dx]

2

[2dx

2dx]

x  1

x  1

2

xx2

1

1 1

1

d (x 

1

)]  [d (x  ) 

2

x2 

1

1

x x

2

x

x2

x2

1

1 1

1

d (x 

1

)]  [d (x  ) 

1

2

(x 

1

)2  2

x x (x  )2  2

x x

1x 

2

1 1 1 1

x

)  2

[(

 d ()d (x  )]



1 1

4

x 

1

8 x

2

(x  ) 2

(x  ) 

2

x x

( x

)2

 1

2

1 x2  1 x2  1

4 [

4

4]x  1 2 x  1 x 1

1

1 

2

x1

1 1

x2  1

2

2

1

d ( )  [ d (x  2)

4 x  1

2

8 x  2

x

2x

1  (

)

x

2x

1

x  2

1

d (x 

1

2

 2 x 1 2

2)]  arctan  ln

x

 C

1 1

x

4 8

2x

x  

2

x  2

x x

2

1

x2  1

2 x2 

2x  2 1

 C

 arctan  ln

4 8

x2  2x  2x 1

22 2x

1

2

ln

x  2x 

(arctan )  C.

228

x  2x 

1  x

1

4

x2  1

  arctan

2x

。

注：由导数的性质可证arctan

1  x2

2x

2

x2  2

★★★★★(14)

(x2

dx

 x  1)2

思路：将被积函数裂项后分项积分。

x2  x  1  x  1

解：

2 

(x  x  1)2

(x2  x  1)2

x2  2

 

3 1

1 2x  1

x2  x  1

2 (x2  x  1)2

2 (x2  x  1)2

35

1

1 2x  1 3 1

dx  dx 

2dx

(x2  x  1)2

x2  x  1

2

(x2  x  1)23

2

1

(x  x  1)2

dx 1 1 d (x2  x  1)  dx

  

(x 1

2

3

2

(x2  x  1)2

(x2  x  1)2 2

)2 4

3 1

2dx 1 1

d (x  x  1)  dx

2 

2 2

21

2 3

22 (x  x  1)

2 (x  x  1)

(x )  ()

2 2

2x  1

3 1

d (

2 3

)

1 1 d (x2  x  1)  dx

3  

(x2  x  1)2

(x2  x  1)2 2 2

2x  1

3

(

2)

13

2x

2 3  1 1 13 1

  arctan( 

 dx

x2  2 dx

2 x  x  1

3 1 1 2x  1 dx

2dx 

2

又2 (x  x  1)2 2 x  x  1

x2  x  1

2 3 2x  1

1 2x  1  arctan(  C

)2 x2  x  1 3

3

x2  2 4 3 x  1

2x  1

(x2  x  1)2

dx  3

arctan(

3

) 

x2  x  1

 C.

3

3

)

22

(x2  x  1)2

注：本题再推到过程中用到如下性质：（本性质可由分部积分法导出。）

dx

若记

In

(x a)，其中

n

为正整数，

a  0

，则必有：

2 2 n

1 xI  [

 (2n  3)I ]。

n1

n 2a2 (n 1) (x2  a2 )n1

2、 求下列不定积分

知识点：三角有理函数积分和简单的无理函数积分法的练习。

思路分析：求这两种积分的基本思路都是通过适当的变换化为有理函数积分去完成。

★★(1)

3  sin2 x

dx

思路：分子分母同除以si n2 x

变为csc2 x

后凑微分。

3

d ( cot x)

dx csc xdx d cot x 3

2

3

   

解：3

 sin2(cot x)2  1

x

3csc2 x  1

3cot2 x  4 6

2

2

36

 

3 3

arctan( cot x)  C  arctan(

2

tan x)  C.

6 2 6

3

dx

3  cos x

x

3

(2)

★★思路：万能代换！

2

2dt

1  t

;

解：令t  tan

，则cos x , dx 21  t

2

1  t

2

2dt

2dx dt 1

t

arctan  C

1 t

2

1 t

3  cos x 2  t

2

2 2

3 

21 t

dx 1

arctan(

1

tan

x

)  C.

3  cos x

2

2

2

注：另一种解法是：

xsec2

dx

dx 1

dx 1

2

dx

 

3  cos x

3  2 cos2

x

1

2

1 cos2

x

2

sec2

x

1

2 2 2

1

d tan

x

1 x

1

x

1

d tan  arctan( tan )  C.

2x

x

22 2

2

(tan )  ( 2)2 tan  2 2 2

2 2

dx

(3)

★★2  sin x

思路：万能代换！

解：令t  tan

x

，则sin x 2

2dt

2t

;

, dx 221  t

1  t



dx

2t

2 1  t

2

2 2t  1 arctan(

)

 C

3 3

2  sin x



2dt

1  t

2

t

2  t  1

(t 1

dt

dt

3

)

2 4

2

2

2t  1

d (

3

)

2t  1

2

1  (

3

)

3

x

2 tan 1

dx 2

2

)  C.

arctan(

2  sin x

3 3

dx

1  tan x

思路：利用变换t  tan x

！（万能代换也可，但较繁！）

(4)

★★

37

解：令t  tan x

，则

x  arctan t, dx dt

;

1 t

2

dt

2dx dt

1  t



1  t

(1  t)(1  t

2 )

1  tan x

t 1 1 1 t 1

1 1

) (  )

( 222(1 t)(1 t

2 ) 2 1

t

1

1

 t

2 1

t 1 t

t

t 1

1

dt dt dt)

dt 1

  (



(1 t)(1 t

2 ) 2

1 t

1 t

2

1 t

2

1 1

 [ln 1 t  ln(1 t

2 )  arctan t]  C

2 2

dx 1 1

 [ln 1 tan x  ln(1 tan2 x)  x]  C.

1 tan x 2 2

dx

1

★★(5)

1  sin x  cos x

x

思路：万能代换！

解：令t  tan

，则sin x 

2t

1  t

2

, cos x 1  t

2

1  t

2

, dx 2dt

;1  t

22

2dt

 t

2

1 t

2

dt

 ln 1 t  C  ln 1 tan

x

 C

 21t

1 t

2

1 

1 t

2 1 t

2

dx

(6)

★★5  2 sin x  cos x

思路：万能代换！

解：令t  tan

x

2

，则sin x 2t

1  t

2

1  t

2

1  t

2

, dx 2dt

;1  t

2

, cos x 

2dt

dx dt

1  t

2

22

5  2 sin x  cos x

3t  2t  2

2t

1  t 5  2

1  t

2 1  t

2

3t  1

arctan(

而

)  C

213t  2t  2 3

(t  )2  (

5

2

5

3t  1

5 5

2)  1

()5

3 3

dt 1 dt

1

3t  1

d (5

)

1

x

3 tan 1

dx 1

2

)  C.

arctan(

5  2 sin x  cos x

5 5

38

(7)

★★★★

(5  4 sin x) cos x

2t

1  t

2dx

思路一：万能代换！

1  t

2

, cos x 1  t

2x

解：令t  tan

2

，则sin x 2dt

;1  t

2, dx 

2dt

2

2(1  t

2 )dt

dx

1  t

 

2t

1  t

2

(5t

2  8t  5)(1  t

2 ) (5  4 sin x) cos x

(5  4 )

1  t

2

1  t

2

2 4

 (  )dt

5t

2  8t  5 (5t

2  8t  5)(t

2  1)

而

4

(5t

2  8t  5)(t

2  1) (5t

2  8t  5)(t  1)(t  1)

4 At  B C D

，等式右边通分后比较两边分子t

的同

令

  

(5t

2  8t  5)(t  1)(t  1) 5t

2  8t  5 t  1 t  1

4

，

5

A  5C  5D  0

A= 

C  1

B  13C  3D  0

2

,

16

;解之得：

 A  13C  3D  0

7

9

B=

D   8

 16



B  5C  5D  4

4 1

9 1

  20t  7

1

1

 

22(5t  8t  5)(t  1)(t  1) 8 5t  8t  5

16 t  1 16 t  1

次项的系数得：

1 1 9 1

1

10t  8

9 1

     

16 t 1 16 t 1 4 5t

2  8t  5 8 5t

2  8t  5

1 11

dx 9 1

1

10t  8

7

 (  )dt

  

(5  4 sin x) cos x 16 t 1 16 t 1

14 5t

2  8t  5 8 5t

2  8t  5

1 9 7

1 10t  8

dt  dt

dx 1 1

dt 

 

dt 

(5  4 sin x) cos x 16

t 1 16

t 1 4

5t

2  8t  5 8

5t

2  8t  5

1 9 1 7 5t  4  ln t 1  ln t 1  ln(5t

2  8t  5)  arctan()  C

16 16 4 24 3

x

5 tan  4

1 x 9 x 1 x x 7

2

)  C   ln tan 1  ln tan 1  ln(5 tan2  8 tan  5)  arctan(

16 2 16 2 4 2 2 24 3

思路二：利用代换t  sin x

！

dx 

解：令t  sin x，x <

，则

2

, cos x 1 t

2

1 t

2

39

dt

2dx dt dt

1 t

 (5  4 sin x) cos x

(5  4t) 1 t

2

(5  4t)(1 t

2 )

(5  4t)(t

2 1)

dt

(5  4t)(t

2 1) (5  4t)(t 1)(t 1)

1 1

1 A B C

，等式右边通分后比较两边分子t

的同次项的系数得：

令

  

2(5  4t)(t 1) 5  4t t 1 t 1

A 

16



A  4B  4C  0

9

1

9B  C  0

解之得:

B 

1

16

1

1

1

1

1

t 1



18 (5  4t)(t

2 1) 9 5  4t 18 t 1 2

1 

C  

2

1 1 1 1

dt  dt

dt 16 1

dt 

 

(5  4t)(t

2 1) 9

5  4t 18

t 1 2

t 1

4 1 1

 ln 5  4t  ln 1 t  ln 1 t  C

9 18 2

 A  5B  5C  1





4 1 1

  ln 5  4 sin x ln 1 sin x  ln 1 sin x  C.

(5  4 sin x) cos x 9 18 2

1  sin x

dx

注：比较上述两解法可以看出应用万能代换对某些题目可能并不简单！

(8)

★★★★dx(1  cos x) sin x

1  sin x 1 1

思路：将被积函数分项得，对两个不定积分分别利用代换t  cos x

和万能代换！

解：

 

(1  cos x) sin x (1  cos x) sin x 1  cos x

1  sin x

1

1

dx

dx 

dx 

(1  cos x) sin x (1  cos x) sin x 1  cos x

1

(1  cos x) sin xdx

，令t  cos x, x  (0,1

dx 

dt

1  t

22对积分dt

, sin x 

1  t

2

;

)

，则

dx  1  t

2

dt dt

(1  cos x) sin x

(1  t) 1  t

(1  t)(t

2  1)

(1  t)2 (t  1)

1 A B C

，等式右边通分后比较两边分子t

的同次项的系数得：

令

  

2(1  t) (t  1) t  1 1  t (1  t)2

40

1

A 

4

A  B  0

2 A  C  0

解之得：

B  

1

1

1

1

1

1

1

1

A  B  C  1



dt 

(1  t)2 (t  1)

4

t  1 4

1  t

1 1 1 1

 ln t  1  ln t  1    C

4 4 2 1  t

1

1

 4

(1  t)2 (t  1) 4 t  1 4 1  t 2 (1  t)2

1 

C  

2

1 11 1

1 1 dt  dt  dt

2

(1  t)2

1dx  ln 1  cos x  ln 1  cos x  

 C ;

1 1 1 1

(1  cos x) sin x 4 4 2 1  cos x

1

x 1 t

2

2dt

对积分dx

，令t  tan , c os x  , dx 

1  cos x 2 1 t

2

1 t

21

2dt

x

2dt

 dx 1 t

2

 tan  C ;

 dt  t  C

2 t

2

1 cos x

1 t

2

11 t

2

2

2

1 1

221 t 1 t

1

1 sin x 1 1 1 x

dx  ln 1 cos x  ln 1 cos x    tan  C

1

(1 cos x) sin x 4 4 2 1 cos x 2

3

1 x 1 x x

 ln tan  tan2  tan  C.

2 2 4 2 2

★★(9)

dx

1 

3 x  1

思路：变无理式为有理式，变量替换t 

3 1 x

。

解：令t 

3 1 x

则

1 x  t3, dx  3t

2dt;



1

dt 

3

t

2  3t  3ln t 1  C 

 3

 3

(t 1)dt  31 t

1 t 1 t 2

1

3 x 1

3

3

2

(1 x)

 33 1 x  3ln

3 1 x

1  C.

2

dx 3t

2dt t

2dt

★★(10)

1 

1  ( x )3

x

dx

思路：变无理式为有理式，变量替换t 

x

。

41

解：令t x，x  t

2 , dx  2tdt;

3 3

1  (

x ) 1  (t)

2

3

t 2

t)dt dx 

2tdt  2

(t  t  1)tdt  2

(t

1  t

1  x

1

42

321

22

3

 t  t  t  C  x  x

2

 x  C.

2 3 2 3

x  1  1

dx

★★(11)

1 x  1

思路：变无理式为有理式，变量替换t 

x 1

。

解：令t  x 1，则x 1  t

2 , dx  2tdt;

x 1 1 t 1

2tdt  2

t

2  t

dt  2

t

2  t

dt  2(t  2  2

)dt



dx   

1 t 1 t 1 t 1 t

1 x 1

 2 tdt  4 dt  4 

1

dt  t

2  4t  4 ln t 1  C  x  4

1 t

x 1  4 ln(

x 1 1)  C

★★★(12)

dx

4 x  x

思路：变无理式为有理式，变量替换t 

8

x

。

解：令t 

8 x , x  t8, dx  8t7dt;

t3

t

5

t5  t3  t3  t  t  

 

dx



4 x  x

t

2

 t

4

dt

81 t

2

dt 81 t

2

dt 8

(t t

)dt

1 t

2

 2t

4  4t

2  4 ln(1 t

2 )  C  2 x  44 x  4 ln(1

4 x )  C

8t7

★★★(13)

x3dx

1  x2

2

解：令

x  tan t, t

 ,则dx  sec

tdt.

2

3

x3dx

tant

sec2 tdt  tan3 t sec tdt  tan2 td sec t  (sec2 t 1)d sec t



sec t

  1 x2

1

1

3

 sec3 t  sec t  C 1 x2

 1 x2  C.

3 3

★★★(14)

思路：变无理式为有理式，三角换元。

a  x

dx

a  x

42

思路：将被积函数

a  x

a  x

变形为

a  x

a  x

22后，三角换元。

 ;

则

dx  a cos tdt

；

解：令

x  a sin t, t

2

a  xa  x a  a sin tdx 

dx 

a cos tdt  a

(1  sin t)dt

22a  x

a  x

a cos t

x

 at  a cos t  C  a arcsin a2  x2

 C.

a

a  xa  x a x

dx 

dx 

dx dx

222222a  x

a  x a  x a  x

注：

另一种解法，分项后凑微分。



1

1 x

dx 

d (a2  x2 )  a arcsin

a2  x2

 C

x

22

a2  x2

a

1 ( )

a

a

a

dx

3

(x  1)2 (

x  1)4

★★★(15)

思路：换元。

x 1 2

 t

，则

dx  dt.

解：令

2(x 1)

x 1



dx

(x 1)2 (x 1)4

3

3

dx

(

x 1

2

) (x 1)

x 1

1 1

2

3

1

( )dt  

t

3

dt   t

3

 C

3 2

2 2 2

t

2

1

3 x 1

 

3

 C.

2 x 1

总习题四

★1、设

f (x)

的一个原函数是

e

2 x

，则

f (x)  ( ).

(D) 4

e2x

(A)

e

2 x

(B) -2

e2x

(C) -4

e2x

知识点：原函数的定义考察。思路分析：略。

解：(B)。

★2、设

dx

。

xf (x)dx  arcsin x  C

，则f (x)

知识点：原函数的定义性质考察。

43

思路分析：对条件两边求导数后解出

f (x)

后代入到要求的表达式中，积分即可。

解：对式子xf (x)dx  arcsin x  C

两边求导数得：

1

 x

1  x2 ; , f (x) ,xf (x) f (x)

x 1  x2

1  x2

dx

1  x2 dx 

1

1  x2 dx2  

1

1  x2 d (1  x2 )  

1



x(1  x2 )3

 C

f (x) 2 2 3

1 1

x

 ln

★★3、设

f (x

1)

22

x2

 2

，且

f ((x))  ln x

，求(x)dx

。

知识点：函数的定义考察。

思路分析：求出

f (x)

后解得(x)

，积分即可。

x2  1  1 t  1 (x)  1

2

x2

 ln , f (t)  ln , f ((x))  ln ,

解 ： f (x

 1)  ln

22x  2 x  1  1 t  1 (x)  1

(x)  1

又 f ((x))  ln x,(x)  1

=x,x  1

(x)  ;

x 1 

x  1

2

dx  (1 dx  x  2 ln x  1  C

(x)dx 

x 

x ) 11

f (x)

的 原 函 数 ， 当

x>0

时 ， 有

f (x)F(x)  sin2 2x

， 且

F (0)  1

，

★ ★ ★

4、 设

F(x)

为

F (x)  0

试求

f (x)

。

知识点：原函数的定义性质考察。

思路分析：注意到

dF (x) f (x)dx

，先求出

F (x)

，再求

f (x)

即可。

解： f (x)F (x)  sin2 2x； f (x)F (x)dx  sin2 2xdx

1

2 2

即

F (x)dF (x) 

sin 2xdx,  (F (x)) 

sin 2xdx,

2

1

(F (x))2  2sin2 2xdx 

(1 cos 4x)dx  x  sin 4x  C;

4

12

 x 

sin 4x  1; (x  0.)

又

F (0)  1, C  1; (F (x))

4

1

又

F (x)  0, F (x) x  sin 4x  1,

4

2

2

sin 2x

又

f (x)F (x)  sin 2x, f (x) 

。

1

x  sin 4x 1

4

 2

44

5、求下列不定积分。

知识点：求不定积分的综合考察。思路分析：具体问题具体分析。

★★(1)

x

2

 5xdx

思路：变无理式为有理式，变量替换t 

2  5x

。

2  t

, dx  

dt,

解：令t 2  5x

，则

x 5 5

22t

2  t 2t 2 2 2 12

4

t  ( dt)  

(2t  t )dt   ( t  t )  C



x

2  5xdx 

5 5 25 25 3 5

2

30x  8

4

(2  5x)5

 C  

 (2  5x)3 (2  5x)3  C.

125

375

75

2

★(2)

dx

x x2  1

(x  1)

思路：变无理式为有理式，变量替换

x  sec t

。

解：令

x  sec t, 0  t 



1

dt 

dt  t  C  arccos  C

2sec t tan t x

x

x 1

dx

2

sec t tan t

，则

dx  sec t tan tdt

。

2x

3x

★★★(3)

dx

9x

 4x

2

x

2x

( )

x

2x

3x

3

后换元或凑微分。

=

3

思路：将被积函数

x x

变为

x

2

2

9 421  (

x

)

x 2

1 

[( ) ]

33

2

x

2

x

2

， 则

dt 

。

解：令t ( ) ( ) ln dx

3 3 3

2

x

x x

( )

dt 1 1 1

23 1

3

 )dt

9x

 4x

dx 

2

dx 

ln 2  ln 3

1  t

2

2(ln 3  ln 2)

(t 1 t

1

x 2

[( ) ]

1 

3

2x

( )  1

1 t  1 1

3

ln  C  ln

2 C.

x2(ln 3  ln 2) t  1 2(ln 3  ln 2)

(

)  1

3

45

xxln

3  2

 C

2(ln 3  ln 2)

3x  2x

2

1

x

★★(4)

6

a x6

dx(a  0)

思路：凑微分。

解：

x2

6 6

1

6

1

6

3

1

6

1

3 2

3 3

a xdx 

3

a xdx 

3

a (x)dx , 令t  x ,

3t  a

a6  x6

dx 

3

(a3 )2  t

2

dt  

6a3

(t  a3

t  a3

)dt  

6a3

ln

t  a3

 C

x2

1 1 1 1 1 1

1

  ln

6a3

★★(5)

x3  a3 1 x3  a3

 C 3ln

3 C.

x3  a3 6a x  a3

dx

x(1  x)

dx dx

思路：将被积函数进行配方后换元或先凑微分再换元。

解：方法一：



x(1  x)

2 2

1 1

1

x ,

，则

d sec t t an t

令

x  sec t, dt;

2

2

2 2

1

sec t tan t

dx

2

dt 

sec tdt  ln sec t  tan t  C

1

tan t

x(1  x)

2

0

 t 

(x 1

)2  (

1

2

)

 ln 2x  1  2

x2  x

 C.

方法二：

令t 

d x d x

dx

 2 21  x

x(1  x)

1  ( x )2

dx

x(1  x)

 2

dt

;

1  t

2

2再令t  tan z, z

，则

dt  sec zdz,

2

x，



46

 2 dz  2 sec zdz  2 ln sec z  tan z  C

 sec z

x(1  x)

dx sec2

z 2 ln 1  x  x  C  ln 2x  1  2 x2  x

 C.

★★★(6)

x(2  xdx

10

)思路：倒代换！

12t

解：令

x  ，，则

dx  

dt,

 

(dt

x(2  x10 )

2t10 1

1

2

dt)

2 

10

t

t110

 

ln(2t10

1)  C 1

ln(

x

)  C.

20 20 x10  2

7 cos x  3sin x

(7)

★★★★x  2 sin x

dx 5 cos

1

t

dx



t 1

 

t9

1 

10

2t10 1

dt10

1 

20

2t10 1

d (2t10 1)

思路：大凡被积函数的分子分母皆为同一个角的正余弦函数的线性组合的形式的积分，一般思路是将被积

函数的分子写成分母和分母的导数的线性组合的形式，然后分项分别积分即可。

解： 7 cos x  3sin x  5 cos x  2 sin x  (5 cos x  2 sin x)7 cos x  3sin x 5 cos x  2 sin x  (5 cos x  2 sin x)

dx 

dx5 cos x  2 sin x 5 cos x  2 sin x

(5 cos x  2 sin x)d (5 cos x  2 sin x)

[1  ]dx 

dx 

5 cos x  2 sin x 5 cos x  2 sin x

d (5 cos x  2 sin x)

 dx 

 5 cos x  2 sin x

 x  ln 5 cos x  2 sin x  C.

ex (1  sin x)

★★★★(8)

1  cos x

dx

思路：分项积分后对前一积分采用分部积分，后一积分不动。

ex (1  sin x) ex ex sin x ex x

x

解：

1  cos x

dx 

(  )dx 

(

 e

tan

2

)dx

x

  cos x

1 cos x 1

2 cos2

2

xxxx2x x

xdx  e tan dx  e sec d  e tan dx

  x2 2 2 2

2 cos2

2

x xx xx ex d tan  ex tan dx  ex tan  ex tan dx  ex tan dx

 2

2 2

2 2

x

 ex tan  C.

2

ex

47

f (x)

f

2 (x) f

(x)

★★★★6、求不定积分：

[

f

(x)

f

3

(x)

]dx

知识点：分部积分法考察兼顾凑微分的灵活性。

思路分析：分项后，第二个积分显然可凑现成的微分，分部积分第二个积分，第一个积分不动，合并同

种积分，出现循环后解出加一个任意常数即可。

2f

2 (x) f

(x)

(x)

f (x) f (x) f

解 ：

[

dx

f

(x)

f

3

(x)

]dx 

f

(x)

dx f

3

(x)

f (x)

f

2 (x) f

2 (x) f

2 (x)

f

2 (x) f

(x)

 

而

dx df(x) 

f

3

(x)

f

3

(x)

f

(x)d (

3

)

f(x) 

3f

(x)f

(x)

2 f (x) f

4

(x)  3 f

5

(x) f

(x) f

2 (x)

f

2 (x)

dx6

f

2

(x)

f

(x)

f

(x)

f

2 (x) f

(x)

f

2 (x) f (x)

dx

2

2dx 33

f (x)

f

(x)

f

(x)

f (x)

f

2 (x) f

(x)

f

2 (x) f (x)

f

2 (x) f

(x)

[

[ ]dx   3]dx

f

(x) f

3

(x) f

2

(x)

f

(x) f

3

(x)

1

f

2 (x) f (x)

f

2 (x) f

(x)

[ f

(x) f

3

(x)

]dx 2 f

2

(x)

 C.

1

n1 5

n

(n  1)

，求证：

In

 tan x  In2

，并求tan xdx

。

★★★★7、设

In

 tan

xdx，n  1

知识点：分部积分法考察，三角恒等式的应用，凑微分等。

思路分析：由要证明的目标式子可知，应将tann x

分解成tann2 x tan2 x

，进而写成

tann2 x(sec2 x  1)

，分部积分后即可得到

I

n2

。

证明：

In

 tann xdx  tann2 x tan2 xdx  tann2 x(sec2 x  1)dx

  

tann2 xd tan x 

tann2

1

n1 xdx tan x  I

n2

。

n  1

1 1 1

tan5 xdx  I5

 tan4 x  I3

 tan4 x  ( tan2 x  I1

)

4 4 2

1 1 1 1

 tan4 x  tan2 x  tanxdx  tan4 x  tan2 x  ln cos x  C

4 2 4 2

★★★8、

1  xdx  (B).

1  x

思路：化无理式为有理式，三交换元。

48

1

x

1  x

令

x  sin t, t

，则

dx  cos tdt

。

解：1  x

2

1  x2

1  xdx 

1  x

1  x

dx 

 arcsin x 1  x2  C.

1  x

x

★★★9、设不定积分I

1

x(1  xex

)dx

，若u  xe

，则有(D)

。

思路：

u=xex

，提示我们将被积函数的分子分母同乘以

ex

后再积分。

解：I

1

1  x2

1  sin t

cos t

cos tdt 

(1  sin t)dt  t  cos t  C

x(1  xex )dx 

ex x(1  xex )dx

x1  x ex (1  x)

又 du  (e  xex )dx  ex (1  x)dx;

du

I

1

 I2

,

选(D)

。

u(1  u)

10、求下列不定积分:

知识点：求无理函数的不定积分的综合考察。

思路分析：基本思路——将被积函数化为有理式。

dx

★★★★(1)、

x 1  x4

.

，则

dx  

思路：先进行倒代换，在进行三角换元 。

解：令

x 1

t

x

1  x4

dx

1

dt

。

2t

1

t 1

t  

dt

2

(

2

dt)

 dt

421  t

4

1t

1  t

1 

4

t

2

，则

dt

2  sec2 udu

。 令t  tan u, 0  u 2

dx

 

1



2

x

1  x4

1

 

 

sec udu

2 sec u 2

1  t

4

2

111

x

  ln sec u  tan u  C  

ln(

1  t

4

 t

2 )  C ln( )  C

2 2 2

1 1  x4

dt

241

 ln(

1 x 1

)  C

2 x2

1 sec2

udu

49