2024年2月21日发(作者：)

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2020年全国硕士研究生入学统一考试

数学（二）试题及答案解析

（科目代码：302）

考生注意爭项

1.

答題前，考生须在试題册指定位置上填⅛*⅛⅛Λ和考生编号；在答题卡指

定位豈上填写报考单位、考生⅛Λ4∏考生编号，并涂写考生编号信息点。

2.

考生须把试.題册上的“试卷条形码”粘贴条取下，粘贴在各题卡的“试卷条 形码粘贴位置”框中。不按规定粘貼条形码而影响试.卷结果的，责任由考生 自负。

3.

选择題的答案必须涂写在暮题卡相应題号的选项上，非选择逖的咨案必须芳 写在答題纸指定位置的边框区域内。超出答題区域写的答案无效：在草稿纸、 试題册上答题无效。

字迹工整、笔迹清

（以下信息考生必须认真填写）

5.考试结束，将答题卡和试遜册按规定交回。

考生编号

考生姓名

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试

一、选择题：（1・8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求，请将选项前的字母填在答题纸上）

】.当Λ→0*,下列无穷小的阶数最高的是（〉

B.

JA

卜√φ

2屈5）=册壯訓第二类间断点个数为＜〉

A. 1

B. 2

C. 3

Qarcsin

仮.

2)

π

8

B.——

第】页戈17页

π

D.-

8

4•函数

f(x) = x2 In(I-x),当n≥3时./(^(O)= <

〉

n∖

A. -------

n-2

W-2

n∖

B.——

5∙对函数∕g）n

-Vw

y = 0

,给出以下结论

.r = 0

汀②竺

（0.0）=1： ® IiIn /(χ,y)=0:④Iimlim

f(x9y)(0 0)

∂x∂个数是（〉

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

6•函数/(x)在区间［-2,2］上可导.Π

∕XV)>∕(Λ∙)>0.则 < )

第2页戈17页

正确的 =0

B.

D.

7

•己如四阶短阵J = (αj不可逆山応的代数余子式/f12≠0^15α29α3^4为短阵畀的

列向虽组，/T为月的伴随矩阵.则方程组AX = O的通解为(》

tA. X = A “I +& √Z2 +A√z 3,其中仏M 2, & 3为任点常数

B.

x≈klal+k2a2-^kia49 其中

ki,k2,ki 为任意常数

C. * = ] + R2

knk29ki 为任总常数

D.

X = kla2∙^k2a3^-kiai9^φΛ∣,Λ2,Λ3为任总常数

&i殳/1为3阶矩阵,tz,,α2为矩阵/IWTI的线性无关的特征向S.α3为//的属丁特征值

仃

O 0、

-1的特征向量.则满足P

xΛP = 0-10的可逆矩阵P可为(〉

,0 O L

A∙

(al+a3,a2-a3)

B. (αι+α2Sr3)

C. (a】

+%F3,F2)

D.

(ai +^2,-α3.-α2)

二填空

(9JJ小题，每小;

4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置

上)

第3页；⅛

17页

ILsr = arctan[Λτ + sin(.r + y)h

则(IZI(OlX)= ∙

12•斜边长为2uWlL(∏ 2f∣J形丫板铅Il地沉没任水中』斜边与水而齐丫 •设血力加連

度为Q水的密度为C则该半板•侧所受的水压力为 ___________

t13.设

y =

y(x)满足

yβ + Iy + y = O,且y(0) = 0./(0) = I,则 £

V(ΛMV

= __

Q 0

-1

14.行列式

-1 1

-1

O

O

a

三、简答题(15-23小题，共94分•请将解答写在答题纸指定位置上，解答应 写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15.(本题满分10分)

求曲纯F =

产=(V > 0)的斜渐近线方程O

"0 + V)16.（本题满分10分）

□.知PA数/(x)连续

ILliI】、=Lg(X) = ∫'/(Xt )(JK 求匕'(x),并证明

g'(.v)&x = 0

处 连续。

第4页：⅛

17页

17.（本题满分IO分）

求函数/（Λ∖j∕） = x+Sy的极值。1第5页丸17页

18.(本题满分10分)

设西数√

(.v)的定义域为(0, + 00)且满足2∕(Λ

)+疋彳+卜 护寻・求＜(∙d并求Illl线

y≈ f(x∖y = y =

£及y轴所创图形绕X轴旋转所成旋转体的体积。

19.(本题满分10分)

设平而D illH线x = tx≈Zy = x 与X轴Bl成，il

第6页戈17页

。口∫∫ClXdy

20.(本題满分Il分)

设曲数 /

(.v) = ∫

e" ch.

(1)证明:存在⅞e(l,2> /(⅞)=(2-⅞X;

<2>

证明：存在77∈(1,2),

/(2)=1Π2∙77√.

21.(本题滴分11分)

设/(.v) Ur导，且曲线y = /(x)(x>0)经过坐标原点.只上任意•点财处的 切线与X轴交TT,又An垂直X轴与点P,已知曲线y = /(x),直线MP以及Λ:轴所鬧 图形面积与∖MTP血积之比恒为3:2,求满足上述条件的曲线力程。第7页艾17页

22.（本題满分Il分）

设二次型

/(.Vrx2,Λv) = .rl +Xj +XJ

+2ΠXIX2 +2αrlX: +

2ax2x3 经可逆线性变换

勺=P y2

β2化为二次型g（y』2必）+y； ÷4vf+2^2.

(1>

求a；

<2>求可逆如阵P.

23.（本题满分Il分）

IaAhl阶矩阵，P =（4

Aa∖其中a是非零向虽且不楚A的待征向乩

<1>证明P为可逆建阵.

（2）若A2a+Aa-6a = 0.^lAP.并判断/（是否相似于对角阵。第8页戈17页

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题答案

1.【答案】D

【解析】选项

A, (∫θ (/ -1)√∕) = -1 ~x(x→O

选项

B, (∫jn(l÷√F√∕)) = ln(l+√?") ~Λ∙^(.V→O)

选项G (f+s,1 r2sin∕√r)

2=Sin(Sin2 x)COSX -X?(X ->()")

JD

选项

D, (J； 'Jsiιf∕d∕) = JSin (I -COSK) sin.v ~ cv(.v ToJ

iλ,2.

【答案】C

【解析】间断点为X=-1,0,1,2,

Iim

/(x) = 8为无穷间斯点.Iiln./(.v)二一--为町去间斷,"・

x→-! JrTO

2f

Iim

f(x) = ∞为无穷间断点Jim

f(x)≈∞为无穷间断点•

x→l x→2

3.

【答案】A

[解析】= 2f' arcsin

4xd arcsin Vr = (arcsin

>∕x∖ ' =

JoJx(Ii)

Jo

4.

【答案】A

V , 0

【解析】∕"(x) = hW(l-Λr)√+C:IdZ(I-X)2x+C：IfZ(Ir)2 ∕(0) =

Ca In-2,iπ,cλZ)(I-x)2 IJ=O =

n(n -

1)(-1)^(-Ir(M -3)! = ~

Λ5.【答案】B

【解析】]iιn∕(r°)-∕(°∙0) =

=U①对;

第9页丸17页

Iim

A(Λ∖y) =

Iim

Xy =

(X..Γ>→

则

Iim Iim

f(x^y) =0,③与④对;

.ι→0

Λ→0

•(P)T(Oxh

人(0丿)-1

Ilm ---------------

=IiIn

≠1,②⅛→o

FTO υ- 0

错.

于足止确的个数为3个.

人(OJ)-人(0∙0)

6•【答案】B

【解析】因为f∖x) > f(x) > 0,所以以卫〉1

.所以上也-ι>o,

/(x)

记F(X)十丁⑴,则

/(A)

F(X) > 0. F(O) = /(0),F(-l} = √(-l),

因为F(X)单调增,所以F(O) > F(-l),

BP /(0)>√(-l)5

即

7.【答案】C

【解析】因为M不可逆,所以rH)<4,

又因为上12

工°，所以∕(∕0≥3,所以r(∕l) = 3,r(∕i ') = 1,

又因为J12 ≠0,所以ana39a4线性无关，

又囚为AA ∙ = (K所以川 =

0的通解

,X = AIaI +⅛2α3+⅛3α4,ft中你 匕、心为任童常数•

8•【答案】D

【解析】山题知A(al +α2) = α1 ÷α3,A(-a3) = -(-α3),

I 0 O

令P二((Zl+幺2・一口3，口 则厂咕P= 0-10.

-0 0 1

9•【答案】-√2

第IO页共17页

√∕2+l

【解析】交换枳分次序得

(CA7J；

Jx' + 1* = J： Cq

Jx' + l√r = £

X2 Jx' + I(Zr

=打

√77L∕(F +1)=扌(2

屁

1).

11.

【答来】(π-∖)dx-dy

【解析】± = Jarctan(Aτ÷Sin(A-÷^)) =

^÷x√y÷cos⅛X^÷√r)

1 +g+ sing))，

则血(On

≈(π-Y)dx-dy.

12.

【答案】Ipgα

【解析】水压力为

F = £

P^(CI-y)∙ 2yιly = 2∕^χ∫θ

(U -y) ∙

ydy =

313.

【答案】1

【解析】/ + 2∕+v = 0的特征方程为√+2r + l = 0.则r = -l为二重根,

微分方程的通解为J = (Cl +CW

由

MO) = OJ'(0) = 1

得CI = O,c2 = L

则

J = -Ye'xJθ y(χ)Nv = Jo

Xe^dX =

14.【答案】α4

-4a2

第11页共17页

-1

1

【解析】

O

a

1 0 0

a

0

=a

1

a

a

—

-1 1

a

-1

O

a

1 -1

a

5

=—£7

1

6Γ

∖a

.

a

0

a

2a

-1 1

15•【解析】只考虑X>0的情形:

k = Iim —= Iim —-_- =Iim ——=-

XT2 X (1

一

(1 +

与“

X

h

X

=IiIn

Λ→÷x>

匕严 -x(l +x)T

6?(1 +A*)'

l÷xln

-1 = -IilTl

Xie

=-Iim

Xi 1 + xln

l+.v

ΓLr

---- -

=—Iim

__L±£

,+x,π II 1

= LIim —1-Ia .<→÷≡o

t

=-Iinl '∏∕)=丄,于是,曲线的斜渐近线方程为y = -X +丄

∕JTO∙

/-

2e e 2e

16•【解析】当XHo时,

X(X) = ∫θ∕(χ∕)<∕/ ∫∫∕(ι∕M?/. XU) = Λ∫t

当

X=OlI4,

r、

/∕u

- [ f(ιι)du —0

Xn)-—= Iim

第12页共17页

JrfO

X

Λ->0 工第13页共17页

.x≠ 0,

所以

x=0,

Iim "(Λ) =

Iim

=1⅛4F+l=r^(O)

所以

g∖x)在X = O处连续•

/(X)

f (U)(JIt +

= IinI

丄

F*

f∖u)du + Iim

X 」Jf→0

XZ JO x→0

17•【解析】令彳

= 24/-X = O.

<χ,y)

B =丹

C = ⅛

∂x∂y

Oy

AC-B2 极值

无

极小

(0,0) 0

1

-1

-1

0

4

<0

>(1

黑故/⑴在C

丄］处取得极小值JI极小值/卩丄］=-⅛

6 12)

6 12 J 26

第14页共17页

导（&当

2

3 6 6 6

】9•【解析】令/ =

D

X

少（M.,

=F丄町討

COSF

= ⅛⅛^

= ∣∫;

SeC^tan^=ISeC^tan^

L 3止

4

一二

J：Um OsecO必

20 °

JwoSeC

财-茁

SeCs伏

7= -y∕l——P(SeC ^-I)SeC

OdO

2=I^-It^⅛^

SeC+sec3厂

3 —

=一4一/ + —In(SeC〃+Um〃)4

9 2 e

Z 0

= -√2-7+1ln(l + ^)

第M页共"页

2 2第M页共"页

7 = ^［√2 + ln(1 + √2)］.

20.证明：<1>

令F(X) = (2-χ∖f(χ∖ 曲题/(∣) = O.Λ(I) =

O.Λ⑵=0,

囚为F(X)在［1,2］上连续，在(1.2)可导，

所以由罗尔定理可知北w(1.2)使FG) = 0.

即

f(ξ) = (2-ξy

2,(2)令^(X) = InX,/(x),g(x)在［1,2］上连续,在(1,2)可导,且g'(χ)=0,

所以由柯西中值定理可知

存在片∈

(1,2),便得樂 =¾~¾,W∕⑵=ln2.

〃訐.

g(〃)g(2)-g(l)

z21.【解析】设所求曲线方程为y = J(X).任•点AZ坐标为(Xj),

MP V

由题tan/? = / = -—

•即TP =—.

TP y

三角形MT的血积为：

S = LMPXTP =

9

X=Z

×y×

Jr 2/

曲边三角形OMp的山i积S = £ J (X>Zv,

山两

IiieIZ

比为常数

W^7 = ∣j^ >(Λ->ZY,

两边关于T求导衍 ⅛⅛⅛∙ =

-J (Xμψy> =

-y1

厂

3 3

,2w令

PG)=⅛M∕

= PV原方程化为VP如,

Jv 3

(Jy

= ∙∣∕√,即"y^--τIP =O。

3

「' ay .

■ " -J

丄

由J—P=O> 得“

=Ca•即b =

C肿.从而G +C2 =牛,

dy 3

•丄

3

第15页共17页

山曲线过原点，JlXeO = 0,代入f9C2=0.

所求曲线为^=ICIX.

山G的任点性•曲线可衣示为y = Cχ∖C为任盘常数。

22.【解析1（1）设

<1

a a>

a 1

a

<1 1 0、

1 1 0

・由题意可知

W

Q

1>

<0 0 4

r(∕l) = r(Z?). Itnr(^) = 2,故厂(M) = 2,于是可得a≈-∖

(3)对于二次型/

f(xi ,x2 9X3)=X^+X2 +

xl -XIX2 -

x2x3 一

XIX3

= (xi・卜2・十討十缶

(1 1

= IXI・£兀2・£*3

+x3

-宁 T(2 -

兀3)'

4

1

取A= 0

0

对于二次型g, gS，必"J=X + M +4处+2儿儿=S

+必），W第16页共17页

(

(

‘可=yi+y2}

■二；

1 0 -1

Z

2 =

2>⅛

% 7

,得g = Z21 +

∑2 .取马0 0 1

1

=

、Z3 = >⅛

0

丄0

丿

< 2 )

2丿

2

2、

v3

< 、

Z

、

Vl

取尸=MT

4

•存在变换

兀2

=P

y≥

便得 /

CYl •勺∙

XJ

v3

O

^CVl . y2 J3 )•

23.证明:<1) H为"是非0向量,Il不是力的特征向量,

所以Acι≠^λ为任盘实数，

所以，P = (a9 Aa)的2列向量不成比例，

所以心加 线性无关，从而R(P) = 2,所以P可逆。

<2； ∣l∣于

∕1P =

A((L Aa) = (Aa, A a)= (Λa,6a-A(J)=

(t∕,

-I)

Aa

fθ Q

所以AP=P &

U

T丿

I fo 6

又因为/M逆，所以P^AP .

丄

f 0

所以，B= 又∖B-λE∖ = Or所以，才+八6 = 0

从而A=-3, A2 =2

所以B的2个特征值互不相同，从而〃可对角化 乂』与B相似，所以/对对角化。

第16页共17页

化为