2024年2月21日发(作者：)

8.5 二阶系统频域与时域性能指标比较

闭环系统的性能（稳定性、快速性和准确性），可用时域性能指标、开环或闭环频域性能指标来描述。对于一般高阶系统，比较时域和频域性能指标十分困难，但对于二阶系统这不难做到。

二阶系统框图如图8-5-1所示。

R(s)2wns(s2wn)Y(s)图8-5-1 二阶闭环系统框图

其开环传递函数可表达为

2wn

G(s)s(s2wn)或其表达为

G(s)wn/(2)K

s[s/(2wn)1]s(s1)式中

KKVwn/(2)开环增益（即速度消差系数）

=1/(2wn)-时间常数。 结构参数换算关系为

wnK/

12K闭环传递函数可表达为

2wn

T(s)22s2wnswn 二阶系统有两结构参数：固有频率wn和阻尼比（或开环增益K和时间常数），其性能完全取决于这两结构参数，因此无论时域或频域性能指标均且仅与这两参数有关。以下将对描述二阶系统稳定性、快速性、准确性的闭环频域性能指标，开环频域性能指标，时域性能指标与结构参数wn和之间的关系进行总结和比较。

1.二阶系统的闭环频域性能指标

二阶系统的闭环频率特性曲线如图8-5-2所示。

20logMr20logT,dB030wrwnw图8-5-2 二阶系统的闭环频率特性曲线

（1）谐振峰值Mr——相对稳定性指标（阻尼比为02/2的二阶欠阻尼系统）。

Mr最小闭环系统，相对稳定性好。当二阶欠阻尼系统的阻尼比02/2时，系统的谐振峰值为

MrA(wr)1212 （8.5.1）

谐振峰值Mr与反应系统相对稳定性的阻尼比唯一相关、一一对应，因此两者均反映闭环系统的相对稳定性。谐振峰值Mr与阻尼比的关系如图8-5-3所示。

（2）谐振频率wr——快速性指标（阻尼比为02/2的二阶欠阻尼系统）。

当阻尼比在02/2时，系统的谐振频率为

wrwn122 （8.5.2）

当阻尼比一定时，wrwn。wn反映二阶系统的快速性，因此wr也反映其快速性。

(3)幅频宽即带宽wB（w3dB）——闭环频域快速性指标（适用于任何二阶系统）。

由式（7.6.1）得

wBwn(221)21(221) （8.5.3）

式（8.5.3）对任何阻尼比0均适用。由式可知，当02/2时，wBwn；当2/2时，wBwn；当2/2时，wBwn。

式（8.5.3）表明，对于一定的阻尼比,wBwn。wn反映二阶系统的快速性，故wB也反映其快速性。

式(8.5.3)描述的幅频宽wB/wn与阻尼比关系如图8-5-4所示。该图表明，在0.30.8范围内，wB与呈近似线性关系，可近似表达为

wB1.851.19 （8.5.4）

wn1.61.51.41.3wB1.2wn1.165432100.10.20.30.40.50.60.7Mr10.90.8 线性近似wB1.191.85wn0.70.60.10.20.30.40.50.60.70.80.91图853谐振峰值Mr与阻尼比

的关系曲线图854二阶系统幅频宽wB/wn

与阻尼比关系曲线

闭环控制系统希望的频域性能指标是：

（1）较小的谐振峰值，例如Mr1.4(以满足系统2相应的二阶系统阻尼比d0Blg1>0.39,.4图8-5-42，相对稳定性的要求。

（2）足够的幅频宽wB，在阻尼比满足相对稳定性的情况下，使系统有足够小的时间常数=1/，从而保证其快速性要求。

（wn）

2.二阶系统的开环频域性能指标

（1）相位裕度Pm——开环频域相对稳定性指标（任何二阶系统）。

按式(8.4.3)，相位裕度Pm与阻尼比的关系式为

Pmarctan241242 （8.5.5）

上式对0均适用。图8-4-8描述了两者的关系曲线。式（8.4.4）描述了两者在00.7的线性近似关系

Pm100或0.01Pm （8.5.6）

同理，相位裕度Pm与反映系统相对稳定性的阻尼比唯一相关。一一对应，因此两者均反映二阶系统闭环的相对稳定性。

（2）幅值穿越频率wc——开环频域快速性指标（适用于任何二阶系统）。

按式（8.4.2），二阶系统的幅值穿越频率wc与阻尼比的关系式为

wcwn44122 （8.5.7）

上式对0均适用。同理，当阻尼比一定时，wcwn，故wc也反映二阶闭环系统的快速性。

（3）开环增益（速度消差系数）K(KV)——准确性指标（任何二阶系统）。

开环频率特性函数中的增益

KKvwn/(2) （8.5.8）

是系统闭环准确性指标，见以下结论。

3.二阶系统的时域性能指标

二阶过阻尼或临界阻尼系统有由两个一阶环节组成，其时域响应均无超调，不存在相对稳定性问题。

在3.9节中已给出二阶欠阻尼系统的时域性能指标，现归纳如下：

（1）百分比超调量MP%——时域相对稳定性指标（二阶欠阻尼系统01）。

12MP%100e% （8.5.9）

（2）上升时间Tr、峰值时间TP、调节时间Ts——时域快速性指标（二阶欠阻尼系统01）。

在3.9节中已推得二阶欠阻尼系统的上升时间、峰值时间、调整时间分别为

Trarccoswn12 （8.5.10）

Ts3.4(0.05~0.02) (8.5.11)

wn

TPwn12 (8.5.12)

当阻尼比一定时，二阶欠阻尼系统的Tr,Tp,Ts均与固有频率的wn成反比，描述系统的快速性。

（3）开环增益（速度消差系数）K(Kv)——准确性指标（任何二阶系统）。

二阶系统开环传递函数中的增益为

KKvwn/(2) （8.5.13）

这是系统闭环的准确性指标。系统闭环在不同输入信号时的稳态作用误差（输入端）eass和稳态期望误差（输出端）ess为：阶跃输入，eassess0;斜坡输入，eassessA/KV;抛物线输入，eassess。

二阶系统频域性能指标与时域性能指标的比较归纳在表8-5-1中。

应用时必须注意，上述二阶系统的开环频域、闭环频域和时域性能指标，并不是对所有的二阶（欠阻尼、临界阻尼和过阻尼）系统均适用的。某些性能指标仅适用于阻尼比为为02/2的二阶欠阻尼系统，如闭环频域相对稳定性能指标——谐振峰值Mr、闭环频域快速性指标——谐振频率wr；某些指标适用于二阶欠阻尼系统(01)，如时域性对稳定性指标——百分比超调量MP%、时域快速性指标——上升时间Tr、峰值时间TP；某些性能指标则对任何二阶系统均适用，如时域快速性指标——调节时间Ts、闭环快速性指标——幅频宽（带宽）wB、开环频域相对稳定性指标——相位裕度Pm、开环频域快速性指标——幅值穿越频率wc、准确性指标——开环增益（速度消差系数）K(Kv)。当然，二阶系统的性能，根本上取决于其结构参数——固有频率wn和阻尼比（或开环增益K和时间常数）。

表8-5-1 二阶系统频域性能指标与时域性能指标的比较

特相关结构时域性能指标 闭环频域性能指标 开环频域性能指性 参数 标

相21

arctan2MrA(wr)(0pm0.707)对2MP100e1%4412221稳(01)(0)定

性

快wn(一定)

当01时：速arccos性

Trwn12wcwnwrwn122(00.707)44122(0)wBwn(221)21(2

21)(0)3.4Ts(0.05~0.02)

wnTP

wn12 准

0eassessKKVwn/阶跃输入：(2确A斜坡输入：ee性

assssKV抛物线输入：eassess

8.6 时滞系统的稳定性分析

迄今为止，在应用奈奎斯特稳定判据对控制系统进行稳定性分析时，所涉及的频率特性函数均为jw的有理分式，但在工程中会遇到具有时滞（或称延时、时延、延迟等）环节的控制系统。本节介绍应用奈奎斯特稳定判据对时滞系统进行稳定性分析，并研究时滞环节对系统闭环稳定性带来的不利影响。

8.6.1 时滞系统

系统中信号传递有时间延迟的环节称为时滞环节，包含时滞环节的系统称为时滞系统。时滞环节的特点是她它的输出变量相对于输入变量存在时间上的滞后。流体在长管道中的流动、物料输送、电信号在长导线中的传递等，都有时间延迟。含有这类元件的系统都是时滞系统。对于一个具有控制系统，时滞可能由检测系统造成，也可能由控制元件、执行元件在造成，或者由他们共同造成。严格地说，控制系统中时滞是普遍存在的，只有大小的不同。时滞系统是时滞不能忽略的系统。时滞系统属于非最小相位系统。

图8-6-1所示为轧钢板机钢板厚度控制系统。电动机轴的旋转使轧车昆带动钢板以速度v运动，控制系统控制电动机的上下位移，从而控制两轧辊的间距，改变轧制的钢板的厚度。系统通过厚度检测进行反馈，形成闭环控制，从而减少钢板厚度误差。因轧辊间钢板厚度无法直接测量，因而造成测试信号与被控信号——即轧辊间距或钢板厚度有T=d/v的时滞。

d厚度检测速度v电动机控制器Gc(s)期望厚度图8-6-1 轧钢机轧辊控制系统

时滞环节的传递函数为

Gd(s)esT

式中T——时滞时间，T=d/v。

系统开环传递函数为

GH(s)Gc(s)G(s)Gd(s)Gc(s)G(s)esT

式中GH(s)——轧辊控制系统开环传递函数，即钢板厚度检测信号与钢板厚度输入信号间的传递函数；

Gc(s)——控制器传递函数；

G(s)——轧辊间距（钢板厚度）与控制器输出信号间的传递函数；

Gd(s)——时滞环节，即钢板厚度检测信号与轧辊间距（钢板厚度）间传递函数。

系统开环频率特性函数为

GH(s)Gc(jw)G(jw)ejwT （8.6.1）

具有时滞环节的系统频率特性函数式（8.6.1），与假设无时滞环节的频率特性函数Gc(jw)G(jw)的幅频特性相同，但相频特性增加了相角滞后

dwT

亦即，两者开环频率特性伯德图的幅频特性曲线相同，但有时滞环节时系统的相频特性曲线，较无时滞环节系统的下移wTrad/s，这将较少系统闭环的相位裕度和幅值裕度，给稳定性带来不利影响。

8.6.2 应用奈奎斯特稳定判据分析时滞系统的稳定性

以下通过实例，介绍奈奎斯特稳定判据分析时滞系统稳定性的方法，以及时滞系统对系统稳定性的影响。

例8-6-1 已知具有时滞环节的液面控制系统框图如图8-6-2所示。设时滞时间Td/v1s。分析系统稳定性。

作动器R(s)时滞10s1储液容器3.15G(s)30s1GA(s)=esTY(s)液位浮子Gf(s)=1(s2/9)(s/3)1（b）图8-6-2 具有时滞环节的液面控制系统

解 系统开环传递函数为

GH(s)GA(s)G(s)Gf(s)esT

31.5esT(s1)(30s1)(s2/9s/31) 系统开环伯德图如图8-6-3所示。图（a）为MATLAB得到，无时滞环节；图（b）中同时给出有和无时滞环节的相频特性曲线，两者幅频特性曲线相同。

如图8-6-3（a）所示，无时滞时，系统的幅值交界（穿越）频率，即幅值特性曲线与0dB线相交时的频率为wc0.836rad/s，系统的相位裕度为pm35.6，系统闭环稳定。

如图8-3-6（b）所示，有时滞时，在wc0.836rad/s处，相位角滞后dwcT0.836rad/s1s180/47.9。因此有时滞系统的相位裕度pm35.647.912.3,系统因时滞而变得不稳定。

为使系统稳定，保证必要的相位裕度。必须较少开环增益。但这将增加稳态误差，降低系统的控制精度。

因此时滞环节ejwT会使系统开环伯德图的相频特性曲线，较无时滞时随频率下移wT。这将减少系统闭环的相位裕量和幅值裕量，从而降低系统的相对稳定性，甚至可能使系统变得不稳定。为满足稳定性的要求，不得不减少系统开环增益，付出了增加稳态误差，降低控制精度的代价。

3020100102030405060700.1近似曲线实际曲线有时滞(w)无时滞1.0w/(rad/s)1060100140180220260300340GH/dB（b）有和无时滞环节的相频特性曲线比较（幅频特性曲线相同）图8-6-3 液面控制系统开环伯德图(w)

8.7 小结

本章介绍了基于复变函数俯角原理的奈奎斯特稳定判据，奈奎斯特稳定判据根据反馈控制系统的开环频率特性曲线，来判定系统闭环的绝对稳定性。并且根据反馈系统开环频率特性，引入了反馈控制系统的两种相对稳定性指标——幅值裕量Kg和相位裕量pm。

本章还对二阶系统的频域性能指标(闭环频域性能指标：谐振峰值Mr、谐振频率w、幅频宽w；开环频域性能指标：rB

相位裕度p、幅值交界频率w)mc及时域性能指标：超调量Mp、上升时间Tr、峰值时间Tp、调节时间Ts进行讨论，对三类性能指标之间及其与系统结构参数之间的关系进行比较。

本章最后总结讨论了具有时滞环节的控制系统的稳定性问题。

作为总结，表8-7-1列出了15种典型传递函数的伯德图、这时控制系统的分析和设计来说是没用的。在进行反馈控制系统校正设计时（第9章），掌握受控对象G(s)和控制器

表8-7-1 典型传递函数的伯德图

序号

1

G(s)

伯德图

04590序号

4

G(s)

K

s伯德图

K

1s10dB/decKdB相位裕量1wM0dB901800dB120dB/dec180w20dB/dec

2

K

(1s1)(2s1)

5

K

s(1s1)0M200dB11M18020dB/dec9018012w40dB/dec0dB11w40dB/dec

3

K

(1s1)(2s1)(3s1)0

0206

K

s(1s1)(2s1)M0dBM902018018040dB/dec1110dB11/227012360dB/decw1w27060dB/dec

序号

7

G(s)

伯德图

20dB/dec90K(as1)

s(1s1)(2s1)序号

10

40G(s)

伯德图

40dB/decMK(as1),(a1)

Ms2(1s1)1800dB11800dB111201a240dB/decw1

11

K

s3a20dB/dec1w40dB/dec

8

K

s2M18040dB/decwM60dB/dec0dB1802700dBw

9

K

2s(1s1)60dB/dec

12

40dB/decM180K(as1)

s3M1800dB1w10dB1/aw40dB/dec27027060dB/dec

序号

13

G(s)

K(as1)(bs1)

2s伯德图

60dB/dec9020dB/dec序号

15

wG(s)

伯德图

M140dB/dec180270K(as1)

s2(1s1)(2s1)M18014011112ab

0dBa20w6040

14

K(as1)(bs1)

s(1s1)(2s1)(3s1)(4s1)20

40604020

190M1803140dB112701211a4060wb

Gc(s)模型后，就可以根据GcG(s)查阅表8-7-1，利用表中的信息确定或预测系统的性能，从而决定采纳或更改控制器Gc(s)的设计。

习题

8-1 复变函数F1(s)和F2(s)的零——极点分布如图题8-1(a)和(b)所示。假设s平面内的封闭曲线如图题8-1(a)和(b)所示。试定性地画出F1(s)平面和F2(s)平面内相应的封闭曲线。

jws平面jw00(a)s平面内表示的复变函数F1(s)和封闭曲线(b)s平面内表示的复变函数F2(s)和封闭曲线题图81s平面内表示的复变函数F1(s),F2(s)和封闭曲线

8-2 设系统开环传递函数的奈奎斯特图分别如题图8-2(a)和（b）所示，试确定系统的闭环稳定性。

ImImw01wReP右=01Rew0wP=1右（a）图题82（b）

系统开环传递函数的奈奎斯特图8-3 系统开环传递函数如下，试绘制开环极坐标图，并利用奈奎斯特判据判断系统的闭环稳定性：

100;2s(s1)(s2s2)K(s1)

(2)G(s)H(s);s(s1)s(3)G(s)H(s)。10.2s(1)G(s)H(s)8-4

8-5

单位反馈系统的受控对象为G(s)=K/(s-1)。试利用极坐标图确定使系统稳定的K的取值范围。

对下列系统，试绘制其伯德图，求出相位裕量和幅值裕量，并判断系统闭环稳定性。

250;s(0.03s1)(0.0047s1)250(0.5s1)(2)G(s)H(s);

s(10s1)(0.03s1)(0.0047s1)100(3)G(s)H(s)。2s(s1)(s2s2)(1)G(s)H(s)8-6 系统的开环传递函数为

G(s)H(s)=4(s/31)

2s(2s1)(s/49s/72) 请在0.1到10的频率范围内，绘制开环伯德图，并验证增益裕量和相位裕量分别为16dB和30°。

8-7 单位反馈系统的传递函数为

G(s)K

s(s1)(s2)（1） 当K=4时，验证系统的增益裕量为3.5dB；

（2） 如果希望增益裕量为16dB，请求出对应的K值。

8-8 系统开环传递函数如下。试绘制其极坐标图，并用奈奎斯特判据判断闭环系统的稳定性。对于稳定的系统，通过考察极坐标图与实轴的交点，确定K的最大取值。

K;2s(ss4)

K(s2)(2)G(s)H(s)2。s(s4)(1)G(s)H(s)8-9 对未来的空间探索和空间利用而言，一项关键的技术就是开发能重复使用的(a)所示的是哥伦比亚航天飞机的照片，它可以想向太空运送大量的有效载荷，返回地球后还可以重发使用，它的大小与DC-9型运输机相似，净重为75000Kg。该航天飞机在机翼后沿装有升降副翼，在尾部装有特制的制动装置，它利用这些装置来控制飞机的飞行。图题8-9（b）给出了它的俯仰角控制系

统的框图，其中H(s)=0.5。

R(s)Gc(s)G(s)Y(s)H(s)(b)仰角控制系统图题 8-9

0.30(s0.05)(s21600)

G(s)2(s0.05s16)(s70)而控制器Gc(s)可以取为比例放大器或者其他合适的控制器。试求：

（1） 当Gc(s)2时，绘制系统开环伯德图的概略图，并估算闭环控制系统的稳定裕量；

（2） 当Gc(s)K1K2/s且K1/K20.5时，为使系统的增益裕量达到10dB,请确定K1的取值，并绘制这时开环伯德图的概略图。

8-10 已知单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)K;(K,T0)

s(Ts1)(s1)试根据奈奎斯特稳定判据，确定其闭环稳定条件：

（1） T=2时，K的取值范围；

（2） K=10时，T的取值范围；

（3） K，T的取值范围。

8-11 典型二阶环节的固有频率wn3，阻尼比0.7，试确定其幅值交界频率wc和相位裕量pm。

8-12 若单位反馈系统的开环传递函数为

Ke0.8sG(s)

s1试确定使系统稳定的K的取值范围。