一元函数与多元函数的差异与统一

2024年4月5日发(作者：)

安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文

一元函数与多元函数的差异与统一

作者:蔡平梅 指导老师:杨翠

摘要

本文通过对一元函数到多元函数的基本性质的分析，以二元函数为例，与一元函数进行比较，再推

广到多元函数的方法，具体讨论了在某些特定条件下一元函数与多元函数的统一性，并且较为系统的比较

了二者在极限，连续，微分，积分等方面的差异.归纳了一元函数中表达概念间的关系的命题的正确性在多

元函数中能否得以保持的规律.

关键词

极限 连续 微分 积分 统一 差异

1 引言

有关函数的概念，我们已经有了较深刻的认识，首先我们来回顾一下函数的定义：给定

两个实数集

D

和

M

，若有对应法则

f

，使对

D

内每一个数

x

，都有唯一的一个数

yM

与

它相对应，则称

f

是定义在数集

D

上的函数.其中

x

为自变量，

y

为因变量.一元函数就是

自变量只有一个的函数，有两个或两个以上的自变量的就叫多元函数.

一元函数是两个数集之间的关系，而多元函数则是有序数组（二元数组，三元数组，„„，

n

元数组）的集合与数集之间的函数关系.多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元

函数的许多性质，但也由于自变量的变化范围由一维空间扩展到了

n

维空间（

n2

），是

研究问题更加复杂化，研究方法更加多样化.

在研究多元函数的内容时，需要经常与一元函数相关内容做比较，即比较两者之间的差

异与统一.由已知一元函数的某些概念、公式引出多元函数的相关内容.在实际中，有时也可

以正好相反，可以把多元函数的某些概念、性质应用到一元函数中.而这些都是在两者相互

比较中实现的.比如，多元复合函数的偏导数的链法则，就可以应用到一元函数中.

进而在极值、极限、微分、积分等方面就一元函数与多元函数的差异与统一展开详述，

以使得在以后数学分析与高等代数的学习过程中更好的区分这两类函数，才能加深在数学分

析与高等代数的学习中对这两类函数的极限、微分、积分等方面性质的理解，掌握以及运用.

目前，关于一元函数与多元函数的差异与统一性的研究都已经取得了较为丰富的结果，

然而在大学的《数学分析》或《高等数学》的教材中，只是做了简单的叙述.对于二者的差

异与统一问题，我们还要进行具体系统的讨论.

本文通过对一元函数到多元函数的基本性质的分析，以二元函数为例，与一元函数进行

比较，再推广到多元函数的方法，具体讨论在某些特定条件下一元函数与多元函数的统一性，

并且比较二者在极限，连续，微分，积分等方面的差异.进而归纳一元函数中表达概念间的

关系的命题的正确性在多元函数中能否得以保持的规律.

2 一元函数与多元函数的统一性

多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也由于自变量的变

化范围由一维空间扩展到了n维空间（

n2

），是研究问题更加复杂化.下面我们具体讨论

论二者的统一性.

2.1 极限与连续的关系

由多元函数的连续和有极限的定义中我们可以看出，这两个概念都是用多元法给出的.这

样，一元函数

f



x



yM

在点

x

0

处连续的表达式

limf



x



f



x

0



，就可以换成多元函

xx

0

数

f



P



在点

P

0

处的表达式（点

P

和点

P

0

为多维空间的点），

limf



P



f



P

0



.从而就

PP

0

使得一元函数在一点连续则有极限的结论在多元函数中仍然成立，即“连续



有极限”的

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1

安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文

关系在多元函数中依然成立.

2.2 关于微分

(1)“可微



可导” 的关系在多元函数中仍然成立

在多元函数中，由于可微这一概念是用多元法给出的，

f



x,y



在点



x

0

,y

0



处可微，

即有

zAxByo(



)

（其中





有如下定理.



x



2





y



）成立.再由偏导数的定义，我们

2

定理2.2.1

（可微的必要条件）若二元函数

f

在其定义域内一点



x

0

,y

0



处可微，

则

f

在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且

Af

x



x

0

,y

0



,Bf

y



x

0

,y

0



.

由上述定理我们很容易发现，“可微



可导”的关系在多元函数中也成立.

（2）二者可微性之间的关系

多元函数微分学中很重要的一个内容，就是弄清多元函数与一元函数在极限，连续，微

分等问题上的关系.关于连续，极限的问题，我们在之前已经讨论过.现在，我们讨论一元函

数可微性与多元函数可微性之间的关系.下面以二元函数为代表，再推广到多元函数中去.

定理2.2.2

一元函数

F



x



f



x,y



，对

yU



y

0

;



0



（某个



0

0

），

F



x



在

xx

0

可微（

F



y



f



x,y



对

xU



x

0

;





，

F



y



在

yy

0

可微），一元函数

G



y



f



x

0

,y



在

yy

0

可微（

G



x



f



x,y

在

xx

0

可微）；且

f

x



x,y



（或

0



f

y



x,y



）在



x

0

,y

0



连续，则二元函数

f



x,y



在



x

0

,y

0



可微.

证明：不妨设

f

x



x,y



在



x

0

,y

0



连续.而对

yU



y

0

;



1





1

0



，

F



x



f



x,y



在

xx

0

可微

则有

f



x

0

x,y



f



x

0

,y



f

x



x

0

,y



xo



x



，

y

可改记为

yy

0

y



y



1



，

则

f



x

0

x,y

0

y



f



x

0

,y

0

y



f

x



x

0

,y

0

y



xo



x



又

G



y



f



x

0

,y



在

yy

0

可微，同理

f



x

0

,y

0

y



f



x

0

,y

0



f

x



x

0

,y

0



yo



y



而

f



x

0

x,y

0

y



f



x

0

,y

0



f



x

0

x,y

0

y



f



x

0

,y

0

y



f



x

0

,y

0

y



f



x

0

,y

0



f

x



x

0

,y

0

y



xo



x



f

y



x

0

,y

0



yo



y



f

x



x,y



在



x

0

,y

0



连续，故f

x



x

0

,y



在yy

0

连续

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