2024年4月12日发(作者：)

偏回归系数

偏回归系数是指能够从随机样本中得到的和回归系数之间的差，

反映了真实值和预测值之间的偏差，这种差别取决于两种相关性：先

验概率和预测误差。

通过对学生的测试，我发现偏回归系数经常出现在以下几种题型

中： 1.给定一个观测值x1，若x1的均值为1，方差为0，标准误为

0，那么称x1的均值为x。这道题里面， x1的均值为1，方差为0，

那么，它的值就是1，而不是一个具体的数字，也就是说，这个观测

值x1不等于x1。由此可见， x1与x1之间存在着关系，但又不是具

体的某个数。这个不是数字的x1到底代表什么？这时候我们需要一

个指标来描述它，这个指标就是偏回归系数，也叫均方差或均值标准

误。 2.已知y=x+1， x代表原来的数据x1， y代表新增加的数据y，

如果x1在变动过程中没有变化，即x1不随时间变化，那么， y就

是原来的数据x1。这道题里面，新增加的数据y等于x1，也就是说，

y是x1的加减号，也就是说， x1和y是线性相关的，即x1的任何

变动都会影响到y。

偏回归系数给了我们一个非常直观的信息：要不要使用回归系数。

要不要使用回归系数？这是一个老生常谈的问题，没有人否认它的重

要性，但是每个人看待这个问题的角度、出发点和所站的高度都不同。

要使用回归系数，前提是假设x1在变动过程中保持不变。而事实上，

这种假设是很难成立的，大多数时候， x1在变动过程中不是在变小

就是在变大，甚至在整个过程中处于波动状态。这时候，如果还是坚

- 1 -

持“假设x1在变动过程中保持不变”，实际上已经背离了回归系数最

初的含义，把它当作自变量不再管，完全忽视它对因变量y的影响。

然而，对这个问题还有一些争论，主要集中在三个方面： 1.什

么情况下可以忽略x1对y的影响； 2.哪些变量影响y； 3.可以忽

略x1对y的影响吗？是不是在做最小二乘法时就可以忽略x1对y的

影响？ 在现实中，我们经常需要对因变量和自变量进行平滑处理，

这个时候如果x1的变动使得因变量y产生波动，那么，这个时候不

仅应该计算x1对y的影响，还应该计算x1的偏回归系数。 这样做

虽然会使得x1的变动对因变量y产生更大的影响，但是，这样做的

结果是使得x1的变动对因变量y产生的影响更加接近于x1的真实变

动，更加有利于对因变量y的控制。

- 2 -