2024年4月13日发(作者：)

《微积分A》（上）第4、5章公式

积分常用公式

一．基本不定积分公式：

1．

dxxC

2．

xdx

1

x

1

(

1

)

1

3．

1

dx

lnx

C

x

xx

a

x

4．

adx



C

(a0,a1)

lna

x

5．

edx

e

C

7．

cosxdxsinxC

9．

cscxdx

6．

sinxdxcosxC

8．

secxdx



2

1

cos

2

x

dxtanxC

2

1

sin

2

x

dxcotxC

10．

secxtanxdxsecxC

12．

11．

cscxcotxdxcscxC

1

1

x

2

dx

arcsinx

C

（或

1

1

x

2

dx



arccosx

C

1

）

13．

1

1

x

2

dx

arctanx

C

（或

1

1

x

2

dx



arccotx

C

1

）

15．

coshxdxsinhxC

14．

sinhxdxcoshxC



二．常用不定积分公式和积分方法：

1．

tanxdxlncosxC

2．

cotxdxlnsinxC

3．

dx1x

arctan

C

a

2

x

2

aa

4．

dx1x

a

ln

C

22

2ax

a

x

a

5．

secxdxlnsecxtanxC

7．

6．

cscxdxlncscxcotxC

8．

dx

a

2

x

2

22

arcsin

x

C

a

dx

x

2

a

2

lnx

x

2

a

2

C

9．

xa

2

x

22

axdxaxarcsinC

22a

x

xadx

2

22

10．

a

2

xalnx

2

22

x

2

a

2

C

11．第一类换元积分法（凑微分法）：

1

《微积分A》（上）第4、5章公式

g(x)dx

g(x)dx

f[

(x)]

(x)dx

f[

(x)]d[

(x)]

为为为为为为为为

为为为为

t

(x)

F[

(x)]C

12．第二类换元积分法（典型代换：三角代换、倒代换、根式代换）：

为

x

(t)

g[

(t)]

(t)dtf(t)dtF(t)CF[

1

(x)]C

注：要求代换

(t)

单调且有连续的导数，且“

换元须还原”

13．分部积分法(典型题特征：被积函数是两类不同函数的乘积，且任何一个函数不能为另一个函数凑微分)

udvuv

vdu

1

u

2

x2u2

令

utan

，则

sinx

，，

cosx

dx

du

2

1

u

2

1

u

2

1

u

2

14．万能置换公式（针对三角有理函数的积分。

“尽管万能但往往很繁，尽量不用”

）：

15．有理真分式

p

n

(x)

(n

m)

分解定理：

Q

m

(x)

k

(1). 分母

Q

m

(x)

中如果有因式

(xa)

（

k

为正整数），则分解式中有下列

k

个最简分式之和：

A

k

A

1

A

2

（

A

1

,A

2

,



,A

k

都是常数）





x

a

(x

a)

2

(x

a)

k

(2) 分母

Q

m

(x)

中如果有因式

(x

px

q)

（

k

为正整数），其中

p4q0

，则分解式中有下列

k

个

最简分式之和：

2k2

M

k

x

N

k

M

1

x

N

1

M

2

x

N

2





x

2

px

q(x

2

px

q)

2

(x

2

px

q)

k

（

M

1

,M

2

,



,M

k

，

N

1

,N

2

,



,N

k

都是常数）

三．积分时常用的三角恒等变换公式：

1．

sin

x

cos

x

1

3．

1cotxcscx

22

22

2．

1tan

x

sec

x

4．

sinx

2

22

1

cos2x

2

1

[sin(

)

sin(

)]

2

5．

cosx

2

1

cos2x

2

6．

sin

cos

7．

cos

cos

1

[cos(

)cos(

)]

2

2