2024年4月13日发(作者：)

2023届金山区高考数学一模

一

､

填空题



y

sin

2x

4

的最小正周期是_________

1. 函数

2. 已知集合

A{1,0,1,2}

，

B{x|0x3}

，则

AB

___________

3. 若

x0

，则

x

2

x

的最小值为___________.

2

2,0

，则

p

的值为___________.

4. 已知抛物线

y2px(p0)

的焦点坐标为

5. 已知一个圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的侧面积为________．

6. 已知

f

x

x

2

x

，则曲线

yf

x

x

在

x0

处的切线方程是___________.

7. 若

x0

时，指数函数

y

m

2

3

的值总大于1，则实数

m

的取值范围是___________.

8. 已知

m

是实数，

i

是虚数单位，若复数

z

6

mi

1

2i

的实部和虚部互为相反数，则

z

___________.

9. 从

7

个人中选

4

人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排

2

人，第二天和第三天均安排

1

人，且人员不

重复，则一共有___________种安排方式（结果用数值表示）.

π

y

3sin

2

x

23sinxcosx

cos

2

x,x

0,

2

的值域为___________.

10. 函数

11. 若集合

A

x,y



xy

xy20

，

B

x,y



xa

y2a1

a1

，且

222

2

A

B



，则实数

a

的取值范围是___________.

12. 设

a

n

是由正整数组成且项数为

m

的

增数列，已知

a

1

1

，

a

m

100

，数列

a

n

任意相邻两项的差的绝对值

a

n

中任意序数不同的两项

a

s

和

a

t

，在剩下的项中总存在序数不同的两项

a

p

和

a

q

，使得

m

不超过1，若对于

a

s

a

t

a

p

a

q

，则

a

i

1

i

的最小值为___________.

二

､

选择题

13. 已知直线

l

1

:3x

a2

y60

，直线

l

2

:ax

2a3

y20

l//l

，则“

a9

”是“

12

”的（ ）

A.

充分非必要条件

C.

充要条件

B.

必要非充分条件

D.

既非充分也非必要条件

14.

已知角

的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（

）

A

.

sin

,cos

,tan

C

.

sin

2

,cos

,tan

2

B.

sin

,tan

,cos

D.

cos

2

,sin

,tan

2

15.

已知正四面体

ABCD

的

棱长为

6

，设集合

ΩP|AP27

，点

P

平面

BCD

，则

Ω

表示的区域的面积

为（

）

A.

B.

3

C.

4

D.

6

16.

对于函数

yf

x

，若自变量

x

在区间

a,b

上变化时，函数值

f

x

的取值范围也恰为

a,b

，则称区间

a,b

是函数

yf

x

的保值区间，区间长度为

ba

.

已知定义域为

R

的函数

yg

x

的表达式为

g

x

x

2

1

，给出下列命题：

①

函数

yg

x

有且仅有

4

个保值区间；

②

函数

yg

x

的所有保值区间长度

之和为

3

5

.

下列说法正确的是（

）

2

B.

结论

①

不成立，结论

②

成立

D.

两个结论都不成立

A.

结论

①

成立，结论

②

不成立

C.

两个结论都成立

三

､

解答题

17.

如图，在四棱锥

P

ABCD

中，已知

PA

底面

ABCD

，底面

ABCD

是正方形，

PAAB

.

（

1

）求证：直线

BD

平面

PAC

；

（

2

）求直线

PC

与平面

PBD

所成

的

角的大小

.

18.

近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点

.

某直播平台第

1

年初的启动资金

为

500

万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达

40%

，每年年底把除运营成本

a

万元，再将

剩余资金继续投入直播平合

.

（

1

）若

a100

，在第

3

年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？

（

2

）每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第

6

年年底㧅除运营成本后资金达到

3000

万

元？（结果精确到

0.1

万元）

19.

在

ABC

中，设角

A

､

B

､

C

所对的边分别为

a

､

b

､

c

，且

acosB

b4c

cosA0

.

（

1

）求

cosA

；



（

2

）若

BD2DC,AD1

，求

c2b

的最大值

.

x

2

y

2

20.

已知椭圆

Γ:

2

2

1(a

b

0)

的左

､

右焦点分别为

F

1

､

F

2

.

ab

（

1

）以

F

2

为圆心的圆经过椭圆的左焦点

F

1

和上顶点

B

，求椭圆

Γ

的离心率；

（

2

）已知

a5,b4

，设点

P

是椭圆

Γ

上一点，且位于

x

轴的上方，若

△PF

1

F

2

是等腰三角形，求点

P

的坐

标；

（

3

）已知

a2,b3

，过点

F

2

且倾斜角为

π

的直线与椭圆

Γ

在

x

轴上方的交点记作

A

，若动直线

l

也过点

F

2

2

且与椭圆

Γ

交于

M

､

N

两点（均不同于

A

），是否存在定直线

l

0

:x=x

0

，使得动直线

l

与

l

0

的交点

C

满足直线

AM

､

AC

､

AN

的斜率总是成等差数列？若存在，求常数

x

0

的值；若不存在，请说明理由

.

21.

若函数

yf

x

是其定义域内的区间

I

上的严格增函数，而

y

是

I

上的“弱增函数”.若数列

a

n

是严格增数列，而

f

x

x

是

I

上的严格减函数，则称

yf

x

a

n

是严格减数列，则称

a

n

是“弱增数列”.

n



（

1

）判断函数

ylnx

是否为

e,

上的“弱增函数”，并说明理由（其中

e

是自然对数的底数）；

（

2

）已知函数

yf

x

与函数

y2x

2

4x8

的图像关于坐标原点对称，若

yf

x

是

m,n

上的“弱增函

数”，求

nm

的最大值；

（3）已知等差数列

a

n

是首项为4的“弱增数列”，

a

S

设且公差d是偶数.记

n

的前

n

项和为

n

，

T

n

S

n

2

(n

2

n

TT

m

，求

所有可能的值. 是正整数，常数

2)

，若存在正整数

k

和

m

，使得

km1

且

k

2023届金山区高考数学一模

一

､

填空题



y

sin

2x

4

的最小正周期是_________

1. 函数

【答案】

【分析】利用正弦的周期公式直接求解即可

【详解】

y

sin

2

x

故答案为：

2.

已知集合

A{1,0,1,2}

，

B{x|0x3}

，则

AB

___________

【答案】

{1,2}

【分析】利用交集的定义进行求解

.

【详解】因为

A{1,0,1,2}

，

B{x|0x3}

，

所以

AB{1,2}

.

故答案为：

{1,2}

.

3.

若

x0

，则

x

【答案】

22

.

【分析】根据基本不等式，即可求解

.

【详解】因为

x0

，则

x

所以

x

4

的最小正周期为

2

，

2

2

的最小值为

___________.

x

2

22

≥

2x



22

，当且仅当

x

时，即

x2

时，等号成立，

x

xx

2

的最小值为

22

.

x

故答案为：

22

.

4.

已知抛物线

y

2

2px(p0)

的焦点坐标为

2,0

，则

p

的值为

___________.

【答案】

4

【分析】利用抛物线的标准方程得到焦点坐标，从而求得

p

值.

【详解】因为抛物线

y

2

2px(p0)

，

所以抛物线的焦点坐标为

p

,0

，

2

又因为抛物线

y

2

2px(p0)

的焦点坐标为

2,0

，

所以

p

2

，则

p4

.

2

故答案为：

4

.

5.

已知一个圆锥的底面半径为

3

，高为

4

，则该圆锥的侧面积为

________

．

【答案】

15

【分析】求出圆锥的母线长即可得侧面积．

【详解】由题意底面半径为

r3

，高为

h4

，则母线长为

l

所以侧面积为

S

rl

3515

．

故答案为：

15

．

6.

已知

f

x

xx

，则曲线

yf

x

在

x0

处的切线方程是

___________.

2

r

2

h

2

5

，

【答案】

yx

【分析】首先求出原函数的导函数

f

'

x

，然后将切点处的横坐标

x0

代入导函数中求出直线的斜率

kf

0

，

2

再将切点的横坐标代入，求出切点的纵坐标，最后用点斜式

yy

0

k

xx

0

求出切线方程

.

【详解】因为

f

x

2x1

，

f

x

xx

，所以

f

0

0,f

0

1

，

即切点为

0,0

，斜率为

k1

，代入点斜式直线方程

yy

0

k

xx

0

中

则曲线

yf

x

在

x0

处的切线方程是

yx

.

故答案为：

yx

.

7.

若

x0

时，指数函数

ym

2

3

的值总大于

1

，则实数

m

的取值范围是

___________.

【答案】

m2

或

m>2

【分析】根据指数函数的性质以及单调性，即可得到关于

m

的不等式，求解不等式即可得到结果

.

【详解】由已知可得，

m

2

30

且

m

2

31

.

又

x0

时，

y1

，

即

m

2

3



x



x

1

m

2

3

，

0

所以有

m

2

31

，即

m2



m2

0

，

解得

m2

或

m>2

.

故答案为：

m2

或

m>2

.

8.

已知

m

是实数，

i

是虚数单位，若复数

z

【答案】

22

【分析】利用复数的运算化简，结合题意求出

m

的值，再用模长公式计算即可

.

【详解】由题意

z

6

mi

的实部和虚部互为相反数，则

z

___________.

1

2i

6

mi(6

mi)(1

2i)6

2m

(m

12)i



，

1

2i(1

2i)(1

2i)5

因为实部和虚部互为相反数，所以

62mm120

，解得

m2

，

此时

z22i

，则

z

故答案为：

22

9.

从

7

个人中选

4

人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排

2

人，第二天和第三天均安排

1

人，且人员不

重复，则一共有

___________

种安排方式（结果用数值表示）

.

2

2

(2)

2

22

，

【答案】

420

【分析】分别确定第一天、第二天、第三天值班的人，结合分步乘法计数原理可求得结果

.

【详解】从

7

个人中选

4

人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排

2

人，第二天和第三天均安排

1

人，且

人员不重复，

211

由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为

C

7

C

5

C

4

2154420

.

故答案为：

420

.

10.

函数

y

3sinx

23sinxcosx

cosx,x

0,

的值域为

___________.

2

22

π



【答案】

1,4

π



fx

2sin2x

【分析】由三角恒等变换得





2

，再整体代换求解值域即可

.

6



22

【详解】

y

3sinx

23sinxcosx

cosx

3?

1

cos2x1

cos2x

3sin2x

22



3sin2x

cos2x

2

2sin

2x

2

，

6



π

π5π

π

因为

x

0,

，所以

2x



,

，

2

6

66

π



1

π



sin2x



,12sin2x

所以，所以





2

1,4

，

6



2

6



所以函数

y

3sinx

23sinxcosx

cosx,x

0,

的值域为

1,4

.

2

22

π



故答案为：

1,4

11.

若集合

A

x,y



xy

2

xy20

，

B



x,y



xa

y2a1

22

a

2

1

，且

A

B



，则实数

a

的取值范围是

___________.

【答案】

11

,

1

7



【分析】化简集合

A

x,y

2xy1

，其表示两平行线线上及其中间部分的点

(

如阴影部分所示

)

，集合

B

，即表示该圆与阴影部分有交点，表示以

M

a,2a1

为圆心，

a

2

1

为半径的圆及其圆内的点，而

A

B

可利用直线与圆的位置关系来解决此题

.

【详解】因为

A

x,y



xy

2

xy20

x,y

2xy1

，

所以集合

A

是被两条平行直线

xy2,xy1

夹在其中的区域，如图所示，

B

x,y



xa

y2a1

2

22

2

a

2

1

，

其中

xa

y2a1

a

2

1

由

a

2

10

，解得

a1

或

a1

，

当

a1

时，

B

表示点

(1,3)

或

1,1

，

当

a1

时，

B

表示以

M

a,2a1

为圆心，

a

2

1

为半径的圆及其内部的点，

其圆心在直线

y2x1

上，

依题意

A

B



，即表示圆

M

应与阴影部分相切或者相交，

，

a

2

1

，

当

a1

时，显然满足题意，当

a1

时，不满足题意，

当

a1

时，因为

A

B

所以

dr

，即

a

2a

2

1

2

所以

a1



7a11

0

，

所以

11

a1

；

7

当

a1

时，因为

A

B

所以

dr

，即

，

a

2

1

，

a

2a

1

1

2

所以

7a

2

20

，无解；

综上，头数

a

的取值范围足

故答案为：

11

,

1

.

7

11

,

1

7



12.

设

a

n

是由正整数组成且项数为

m

的增数列，已知

a

1

1

，

a

m

100

，数列

a

n

任意相邻两项的差的绝对值

不超过

1

，若对于

a

n

中任意序数不同的两项

a

s

和

a

t

，在剩下的项中总存在序数不同的两项

a

p

和

a

q

，使得

a

s

a

t

a

p

a

q

，则

a

i

的最小值为

___________.

i

1

m

【答案】

5454

【分析】本题为数列的新定义题，由已知可推出，当

2km

时，

a

k

a

k

1

或

a

k

a

k

1

1

，根据

a

1

1

，可推

出数列

a

n

前

6

项，结合题意，应有

a

7

3

，

a

8

4

，

a

9

5

，…，

a

m

6

98

，中间各项为公差为

1

的等差数

列时，可使得

m

值最小，同理推出数列后

6

项，即可得出最小值.

【详解】因为数列

a

n

任意相邻两项的差的绝对值不超过

1

，

a

1

1

，所以

0a

2

2

，

又

a

n

是由正整数组成且项数为

m

的增数列，所以

a

2

1

或

a

2

2

，

当

a

2

2

时，

a

4

a

3

2

，此时

a

1

a

2

3a

3

a

4

，

这与在剩下的项中总存在序数不同的两项

a

p

和

a

q

，使得

a

s

a

t

a

p

a

q

矛盾，

所以

a

2

1

，类似地，必有

a

3

1

，

a

4

1

，

a

5

2

，

a

6

2

，

由

a

s

a

t

a

p

a

q

得前

6

项任意两项之和小于等于

3

时，均符合，

a

i

1

m

i

a

1

a

2

a

m

要最小，则每项尽可能小，且

m

值要尽量小，

则

a

5

a

6

4a

1

a

7

，

a

7

3

，

同理，

a

8

4

，

a

9

5

，…，

a

m

6

98

，当

a

n

中间各项为公差为

1

的

等差数列时，可使得

m

值最小，且满足

已知条件.

由对称性得最后

6

项为

a

m

a

m

1

a

m

2

a

m

3

100

，

a

m

4

a

m

5

99

，

则

a

i

a

1

a

2

a

m

的最小值

S

i

1

m

199

99

2

4

100

3

1

2

99

5454

.

【点睛】对于数列

的

新定义题，关键在于读懂题意

.

根据题意，可得出当

2km

时，

a

k

a

k

1

或

a

k

a

k

1

1

，

根据已知，可推出数列的前

6

项以及后

6

项，

进而推得中间项和取的最小值应满足的条件

.

二

､

选择题

13.

已知直线

l

1

:3x

a2

y60

，直线

l

2

:ax

2a3

y20

，则

“

a9

”

是

“

l

1

//l

2

”

的（

）

A.

充分非必要条件

C.

充要条件

【答案】

C

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可

.

【详解】若

a9

，则两直线方程分别为

l

1

:3x7y60

和

l

2

:3x7y

满足两直线平行，即充分性成立，

若

l

1

//l

2

，

当

a0

时，两直线分别为

l

1

:3x2y60

和

l

2

:3y20

，

此时两直线不平行，不满足条件

.

B.

必要非充分条件

D.

既非充分也非必要条件

2

0

，

3

3

a

2

6

，

当

a0

时，若两直线平行则

a

2a

3

2

3

a

2

由

得

3

2a3

a

a2

，即

a

2

8a90

，

a

2a

3

所以

a9

或

a1

，

3

a

2

6

，不满足条件

.

当

a1

时，

a

2a

3

2

则

a1

，即

a9

，

则

“

a9

”

是

“

l

1

//l

2

”

的充要条件，

故选：

C

14.

已知角

的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（

）

A.

sin

,cos

,tan

C.

sin

2

,cos

,tan

2

【答案】

D

【分析】对于

ABC

，举反例排除即可；对于

D

，利用三角函数的基本关系式即可判断

.

【详解】对于

A

，令

B.

sin

,tan

,cos

D.

cos

2

,sin

,tan

2

π

22

，则

sin

,cos

,tan

1

，

4

22

所以

cos

2

122

，即

cos

2

sin

tan

，故

A

错误；

,sin

tan



1

222

π

1

2

，则

tan

1,cos

sin

，即

tan

2

cos

sin

，故

B

错误；

4

2

2

对于

B

，令

2

3

1

π

113



对于

C

，令

，则

sin

2



,cos

,tan

2

，



6

42

2

3

3

所以

cos

2

,sin

2

tan

2



3

4

11

43

1

，即

cos

2

sin

2

tan

2

，故

C

错误；

12

对于

D

，因为角

的终边不在坐标轴上，所以

cos

0

，

sin

0

，

tan

0

，

所以

tan

sin

，即

sin

cos

tan

，则

sin

2

cos

2

tan

2

，

cos

所以

cos

2

,sin

,tan

2

一定成等比数列，故

D

正确

.

故选：

D.

15.

已知正四面体

ABCD

的棱长为

6

，设集合

ΩP|AP27

，点

P

平面

BCD

，则

Ω

表示的区域的面积

为（

）

A.

B.

3

C.

4

D.

6

【答案】

C

【分析】过点

A

作

AO

平面

BCD

于点

O

，利用正四面体的特点求出

BO,AO

的长，从而得到

OP2

，即得到

其表示圆及其内部，则得到其表示的区域面积

.

【详解】过点

A

作

AO

平面

BCD

于点

O

，