2024年4月18日发(作者：)

旋转矩阵的推导

旋转矩阵是一种用于描述三维空间中旋转变换的数学工具。它是一个

3×3的矩阵，可以将一个向量绕某个轴旋转一定角度。在计算机图形

学、机器人学、物理学等领域广泛应用。

旋转矩阵的推导可以通过以下步骤进行：

1. 定义坐标系

首先需要定义一个三维坐标系，通常选择右手坐标系。其中x轴指向

右侧，y轴指向上方，z轴指向观察者。

2. 定义旋转轴和旋转角度

接下来需要定义一个旋转轴和旋转角度。旋转轴可以是任意一个向量，

但必须与x、y、z三个坐标轴不共面。旋转角度通常用弧度表示。

3. 计算单位向量

将旋转轴除以其长度得到单位向量u，即：

u = a / ||a||

其中a为旋转轴向量。

4. 计算矩阵元素

根据罗德里格斯公式（Rodrigues' formula），可以将任意绕u轴的

θ角度的旋转表示为以下形式：

R = I + sinθ[u]× + (1-cosθ)[u]×[u]×

其中I为3×3的单位矩阵，×表示向量的叉乘运算。[u]×表示一个以u

为轴的反对称矩阵：

[u]× =

0 -uz uy

uz 0 -ux

-uy ux 0

其中ux、uy、uz为u向量的三个分量。

5. 计算旋转矩阵

将上述公式代入，可得到绕任意轴旋转θ角度的旋转矩阵R：

R =

cosθ + u_x^2(1-cosθ) u_xu_y(1-cosθ)-u_zsinθ u_xu_z(1-

cosθ)+u_ysinθ

u_yu_x(1-cosθ)+u_zsinθ cosθ+u_y^2(1-cosθ) u_yu_z(1-

cosθ)-u_xsinθ

u_zu_x(1-cosθ)-u_ysinθ u_zu_y(1-cosθ)+u_xsinθ

cosθ+u_z^2(1-cosθ)

其中ux、uy、uz为单位向量a/||a||的三个分量。

通过上述步骤，就可以得到任意绕任意轴旋转一定角度的旋转矩阵。

在实际应用中，可以将该矩阵与需要变换的向量相乘，从而实现旋转

变换。