2024年4月18日发(作者：)

什么是旋转矩阵有着怎样的性质

导读：我根据大家的需要整理了一份关于《什么是旋转矩阵有着怎样的性

质》的内容，具体内容：旋转矩阵解决的是如何组合集合中的元素以达到

某种特定的要求。那么你对旋转矩阵了解多少呢?以下是由我整理关于什

么是旋转矩阵的内容，希望大家喜欢!什么是旋转矩阵旋转矩阵是...

旋转矩阵解决的是如何组合集合中的元素以达到某种特定的要求。那么

你对旋转矩阵了解多少呢?以下是由我整理关于什么是旋转矩阵的内容，

希望大家喜欢!

什么是旋转矩阵

旋转矩阵是世界上著名的彩票专家、澳大利亚数学家底特罗夫研究的，

它可以帮助您锁定喜爱的号码，提高中奖的机会。首先您要先选一些号码，

然后，运用某一种旋转矩阵，将你挑选的数字填入相应位置。如果您选择

的数字中有一些与开奖号码一样，您将一定会中一定奖级的奖。当然运用

这种旋转矩阵，可以最小的成本获得最大的收益，且远远小于复式投注的

成本。

旋转矩阵的原理在数学上涉及到的是一种组合设计：覆盖设计。而覆盖

设计，填装设计，斯坦纳系，t-设计都是离散数学中的组合优化问题。它

们解决的是如何组合集合中的元素以达到某种特定的要求。其最古老的数

学命题是寇克曼女生问题：

某教员打算这样安排她班上的十五名女生散步：散步时三女生为一组，

共五组。问能否在一周内每日安排一次散步，使得每两名女生在一周内一

1 5

道散步恰好一次?寇克曼于1847年提出了该问题，过了100多年后，对于

一般形式的寇克曼问题的存在性才彻底解决。用1~15这15个数字分别代

表15个女生，其中的一组符合要求的分组方法是：

星期日：(1，2，3)，(4，8，12)，(5，10，15)，(6，11，13)，(7，9，

14)

星期一：(1，4，5)，(2，8，10)，(3，13，14)，(6，9，15)，(7，11，

12)

星期二：(1，6，7)，(2，9，11)，(3，12，15)，(4，10，14)，(5，8，

13)

星期三：(1，8，9)，(2，12，14)，(3，5，6)，(4，11，15)，(7，10，

13)

星期四：(1，10，11)，(2，13，15)，(3，4，7)，(5，9，12)，(6，8，

14)

星期五：(1，12，13)，(2，4，6)，(3，9，10)，(5，11，14)，(7，8，

15)

星期六：(1，14，15)，(2，5，7)，(3，8，11)，(4，9，13)，(6，10，

12)

旋转矩阵的性质

设是任何维的一般旋转矩阵:

两个向量的点积在它们都被一个旋转矩阵操作之后保持不变: 从而得

出旋转矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵: 这里的 是单位矩阵。 一个矩阵是

旋转矩阵，当且仅当它是正交矩阵并且它的行列式是单位一。正交矩阵的

2 5

行列式是 1;如果行列式是 1，则它包含了一个反射而不是真旋转矩阵。

旋转矩阵是正交矩阵，如果它的列向量形成 的一个正交基，就是说在任

何两个列向量之间的标量积是零(正交性)而每个列向量的大小是单位一

(单位向量)。 任何旋转向量可以表示为斜对称矩阵 A的指数: 这里的指

数是以泰勒级数定义的而 是以矩阵乘法定义的。A 矩阵叫做旋转的"生成

元"。旋转矩阵的李代数是它的生成元的代数，它就是斜对称矩阵的代数。

生成元可以通过 M 的矩阵对数来找到。

旋转矩阵的二维空间

在二维空间中，旋转可以用一个单一的角 定义。作为约定，正角表示

逆时针旋转。把笛卡尔坐标的列向量关于原点逆时针旋转 的矩阵是:

该矩阵的逆矩阵为：

表示较原来反方向旋转 ，也即顺时针旋转

顺时针旋转就直接计算- 即可。

旋转矩阵的三维空间

在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位一的实特征值。旋转矩阵指定

关于对应的特征向量的旋转(欧拉旋转定理)。如果旋转角是 ，则旋转矩

阵的另外两个(复数)特征值是 exp(i) 和 exp(-i)。从而得出 3 维旋转

的迹数等于 1 + 2 cos()，这可用来快速的计算任何 3 维旋转的旋转角。

3 维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵。因为只需要三个实数来指定

3 维斜对称矩阵，得出只用三个是实数就可以指定一个3 维旋转矩阵。

生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。关

于右手笛卡尔坐标系的 x-, y- 和 z-轴的旋转分别叫做 roll, pitch 和

3 5

yaw 旋转。因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转，它们的生成元很容

易表达。

绕 x-轴的旋转定义为: 这里的 x 是 roll 角。 绕 y-轴的旋转定义为:

这里的 y 是 pitch 角。 绕 z-轴的旋转定义为: 这里的 z 是 yaw 角。

在飞行动力学中，roll, pitch 和 yaw 角通常分别采用符号 , , 和 ;

但是为了避免混淆于欧拉角这里使用符号 x, y 和 z。

任何 3 维旋转矩阵 都可以用这三个角 x, y, 和 z 来刻画，并且可以

表示为 roll, pitch 和 yaw 矩阵的乘积。

是在 中的旋转矩阵 在 中所有旋转的集合，加上复合运算形成了旋转

群 SO(3)。这里讨论的矩阵接着提供了这个群的群表示。更高维的情况可

参见 Givens旋转。

角-轴表示和四元数表示

在三维中，旋转可以通过单一的旋转角 和所围绕的单位向量方向 来

定义。

这个旋转可以简单的以生成元来表达:

在运算于向量 r 上的时候，这等价于Rodrigues旋转公式：

角-轴表示密切关联于四元数表示。依据轴和角，四元数可以给出为正

规化四元数 Q:

这里的 i, j 和 k 是 Q 的三个虚部。

欧拉角表示(Euler角)

在三维空间中，旋转可以通过三个欧拉角 (,,) 来定义。有一些可能的

欧拉角定义，每个都可以依据 roll, pitch 和 yaw 的复合来表达。依据

4 5

"z-x-z" 欧拉角，在右手笛卡尔坐标中的旋转矩阵可表达为:

进行乘法运算生成:

因为这个旋转矩阵不可以表达为关于一个单一轴的旋转，它的生成元不

能像上面例子那样简单表达出来。

对称保持 SVD 表示

对旋转轴 q 和旋转角 ，旋转矩阵

这里的 的纵列张开正交于 q 的空间而 G 是 度 Givens 旋转。旋转

矩阵的性质

5 5