2024年4月20日发(作者：)

湖南省新高考教学教研联盟2023届高三下学期4月第二次联

考数学试题

一、单选题

2

1

．已知集合

Axx7x100

，

B

xN3x5

，则

AIB

（

）



A

．

2,5

B

．

3,5

C

．

3,4,5

D

．

2,3,4,5

2

．已知

i

为虚数单位，

z3i

，则复数

A

．第一象限

B

．第二象限

z

在复平面内对应的点所在的象限为（

）

zi

C

．第三象限

D

．第四象限

r

r

r

rr

r

r

r

3

．已知向量

a

，

b

满足

abb2

，且

b1

，则向量

a

在向量

b

上的投影向量为



（

）

A

．

1B

．

1

r

C

．

b

r

D

．

b

2

4

．已知函数

f

x

alnxx

在

x1

处的切线与直线

xy10

垂直，则

a

的值为

（

）

A

．

2

B

．

1

C

．

1D

．

2

5

．已知各项为正的等比数列

a

n

的公比为

q

，前

n

项的积为

T

n

，且

T

7

T

6

T

8

，若

b

n

lga

n

，

数列

b

n

的前

n

项的和为

S

n

，则当

S

n

取得最大值时，

n

等于（

）

A

．

6B

．

7C

．

8D

．

9

6

．蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，

鞠最早系外包皮革、内实米糠的球

.

因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，

类似今日的足球．

2006

年

5

月

20

日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第

B

，

C

，

D

，一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点

A

，四面体

ABCD

的体积为

（

）

2

，

BD

经过该鞠的中心，且

ABBC1

，

AB

BC

，则该鞠的表面积为

6

A

．

2π

7

．已知

a

A

．

abc

B

．

16π

C

．

8π

D

．

4π

7

24

c1

，

be

b

7ln7

，

3

（

e

为自然对数的底数），则（

）

7

e

B

．

acb

C

．

cba

D

．

cab

试卷第1页，共4页

8

．已知

A

2,0

，点

P

为直线

xy50

上的一点，点

Q

为圆

x

2

y

2

1

上的一点，则

PQ

A

．

1

AQ

的最小值为（

）

2

B

．

52

2

2

52

2

2

C

．

112

2

D

．

112

4

二、多选题

9

．以下说法正确的是（

）

A

．

78

，

82

，

83

，

85

，

86

，

87

，

89

，

89

的第

75

百分位数为

88

B

．相关系数

r

的绝对值接近于

0

，两个随机变量没有相关性

1



C

．

x

2

的展开式中常数项为

15

x



D

．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立

10

．已知直三棱柱

ABC-A

1

B

1

C

1

中，

ACB90

，

AA

1

2AC2BC22

，

M

，

N

，

Q

分别为棱

A

1

B

1

，

A

1

C

1

，

AC

的中点，

P

是线段

B

1

C

1

上（包含端点）的动点，则下列说法

正确的是（

）

A

．

QP//

平面

MNA

B

．三棱锥

PMNA

的体积为定值

22

3

6

uuuruuuur

C

．

APC

1

B

1

的最大值为

4

D

．

M

，

P

三点的平面截三棱柱所得截面的周长为

13101

若

P

为

B

1

C

1

的中点，则过

A

，

x

2

y

2

11

．已知双曲线

C:

2

2

1

a

0,b

0

的左、右焦点分别为

F

1

、

F

2

，过

F

2

作斜率为

ab

，

ABBF

1

，

P

为线段

7

的直线与双曲线的右支交于

A

、

B

两点（

A

在第一象限）

AB

的中点，

O

为坐标原点，则下列说法正确的是（

）

A

．

AF

1

2AF

2

C

．

△AF

1

F

2

的面积为

7a

2

2

B

．双曲线

C

的离心率为

2

D

．直线

OP

的斜率为

7

7

12

．已知函数

f

x

满足：

①

f

ax

为偶函数；

②

f

cx

f

cx

2d

，

ac

．

f

x

是

f

x

的导函数，则下列结论正确的是（

）

A

．

f

x

关于

xc

对称

B

．

f

2x

的一个周期为

2ca

试卷第2页，共4页

C

．

f

f

x

不关于

c,d

对称

D

．

f

f

x

关于

xa

对称

三、填空题

13

．人群中患肺癌的概率约为

0.1%

，在人群中有

15%

是吸烟者，他们患肺癌的概率约

为

0.5%

，则不吸烟者中患肺癌的概率是

________

．（用分数表示）

14

．已知函数

f

x

sin

2

x

3

sin

2

x



0

，

xR

，若

2

π

1

f



，且

f

x

24

2

π

在

0,

上单调递增，则

的值为

________

．

8

15

．已知抛物线

C

：

y

2

2px

，

O

为坐标原点，过抛物线的焦点

F

的直线与抛物线交于

A

，

B

两点（点

A

在第一象限），且

AF6

，直线

AO

交抛物线的准线于点

C

，

△AOF

与

△ACB

的面积之比为

4

：

9

，则

p

的值为

________

．

16

．函数

f

x

e

asinx

1

asinx

a1

．若

x

0

R

，使得

f

x

0

a

3ln

a

成立，则



3

整数

a

的最大值为

________

．（参考数据：

ln20.7

，

ln31.1

，

ln51.6

）

四、解答题

17

．在

VABC

中，内角

A

，

B

，

C

所对的边长分别为

a

，

b

，

c

，且满足

a

3b

6bsin

2

A

B

0

．

2

(1)

求证：

a3bcosC0

；

(2)

求

tanA

的最大值．

18

．已知数列

a

n

的前

n

项和为

S

n

，且

S

n

na

n

．

(1)

求数列

a

n

的通项公式；

(2)

设数列

b

n

的前

n

项和为

T

n

，且

2

b

n

n

2



a

n

1

，若

T

n

b

n

对于

nN

*

恒成立，

求

的取值范围．

19

．如图，在四棱锥

P

ABCD

中，底面

ABCD

是菱形，

AC

与

BD

交于点

O

，

BAD60

，

PAAB2

，

PAAC

，平面

PAC

平面

PBD

，

M

为线段

PB

上的一点．

试卷第3页，共4页

(1)

证明：

PA

平面

ABCD

；

(2)

当

AM

与平面

PBD

所成的角的正弦值最大时，求平面

MAC

与平面

ABCD

夹角的余弦

值．

20

．一个不透明的盒子中有质地、大小相同的球

5

个，其中红球

3

个，黄球

2

个，每次

不放回的随机从盒中取一个球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球．

(1)

求盒子中恰剩

2

个红球的概率；

(2)

停止取球时，记盒子中所剩球的个数为

X

，求

X

的分布列与数学期望．

x

2

y

2

6

21

．已知椭圆

E

：

2

2

1

a

b

0

经过点

0,2

，且离心率为．

F

为椭圆

E

的

ab

3



左焦点，点

P

为直线

l

：

x3

上的一点，过点

P

作椭圆

E

的两条切线，切点分别为

A

，

B

，连接

AB

，

AF

，

BF

．

(1)

求证：直线

AB

过定点

M

，并求出定点

M

的坐标；

(2)

记

△AFM

、

△BFM

的面积分别为

S

1

和

S

2

，当

S

1

S

2

取最大值时，求直线

AB

的方

程．

x

2

y

2

参考结论：点

Q

x

0

,y

0

为椭圆

2

2

1

上一点，则过点

Q

的椭圆的切线方程为

ab

x

0

xy

0

y

2

1

．

a

2

b

22

．已知函数

f

x

kxcosxsinx

．

(1)

若

k1

，求

f

x

在

0,

上的单调性；

(2)

若存在

t0

，对

x

0,t

，恒有

f

x

x

，求实数

k

的取值范围．

试卷第4页，共4页

参考答案：

1

．

C

【分析】化简集合

A

，

B

，后由集合交集定义可得答案

.

2

【详解】

x7x1002x5A

x2x5

，

B

3,4,5

，则

AIB

3,4,5

.

故选：

C

2

．

A

【分析】根据复数的除法运算算出

z

，即可判断答案

.

zi

3

i



3

2i

7

9iz3

i

z

79



【详解】

∵

，

∴

的对应点为

,

，在第一象限，

z

i3

2i

3

2i



3

2i

13

zi

1313

故选：

A

．

3

．

C

r

r

【分析】由已知可求得

ab1

，然后根据投影向量的公式，即可得出答案

.

r

r

rr

r

rr

2

b1

a

【详解】因为，

bbabb2

，



r

r

所以

ab1

，

r

r

a

b

r

r

r

所以，向量

a

在向量

b

上的投影向量为

b

故选：

C

．

4

．

B

【分析】由题可得

f

1

1

，即可得答案

.

【详解】因

xy10

的斜率为

1

，则

f

1

1

f

x

故选：

B

．

5

．

B

【分析】设

a

n

首项为

a

1

，由题可知

a

1

,q0

，则数列

b

n

为等差数列，后由

T

7

T

6

T

8

，

可得

a

7

1,0a

8

1,0q1

，即可得答案

.

【详解】设

a

n

首项为

a

1

，因等比数列

a

n

各项为正，则

a

1

,q0

，

rr

b1b

r

r



b

.

b

11

a

2

x

f

1

a21

a1

．

x

答案第1页，共17页

a

b

n

b

n

1

lg

n

lgqn

2,n

N

，则数列

b

n

为等差数列

.

a

n

1



Ta

T

6

T

7

T

6

T

8

67

T

7

T

7

a

8

，又由题可得

T

6

,T

7

0

，则

a

7

1,0

a

8

1

0

q

a

8

1

lgq

0

，即数列

b

n

为递减等差数列

.

a

7

则数列

b

n

前

7

项为正数，则当

S

n

取得最大值时，

n

等于

7.

故选：

B

6

．

D

【分析】取

AC

中点

M

，连接

BM

、

OM,DN

，易得

AC

为圆面

ABC

的直径，

OM

平面

ABC

，进而得到

DN

平面

ABC

，然后根据四面体

ABCD

的体积为

求表面积

.

【详解】如图，取

AC

的中点

M

，连接

BM

与球

O

交于另一点

N

，连接

OM

，

DN

，

2

，可求外接球半径并

6

易知

AC

为圆面

ABC

的直径，

OM

平面

ABC

，

因为

O

，

M

分别为

BD

，

BN

的中点，所以

OM//DN

，

所以

DN

平面

ABC

，

112

∵

V

D

ABC



1

1

DN

，

∴

DN2

，

326

即

OM

∴

BM

2

，在

Rt△ABC

中，

ABBC1

，

2

2

，

∴

BOR1

，

∴

球

O

的表面积为

S4πR

2

4π

．

2

故选：

D

．

7

．

A

【分析】对

b

e

b

7ln7

两边取对数，构造函数

g

x

xlnx

利用其在

0,

上的单调性可

答案第2页，共17页

1

1

得

bln7

．法一令

f

x

lnx

x

，求导利用

f

x

在

0,

上的单调性可得

ab

可

2

x

7

c1

得答案；法二利用不等式放缩可比较

a,b

的大小，对

3

两边取对数得出

c

再做差

bc

可

e

得答案

.

【详解】对

b

e

b

7ln7

两边取对数，

ln

be

b

ln

7ln7

lnbbln7ln

ln7

，

而

g

x

xlnx

在

0,

上单调递增，

∴

bln7

．

2

1

1

1

1

法一：令

f

x

lnx

x

，

f

x



1

0

，

2

x

2

x

∴

f

x

在

0,

单调递減，

∴

f

7

f

1

0

，即

ln7

法二：

a

又

3

c

1

1

1

24

7

，

∴

ab

；

2

7

7

24

2lne

2

ln7b

；

7

77

c

log

3

1

，

ee

7

77

∴

b

c

ln7

log

3

1

ln

log

3

0

b

c

，

∴

abc

．

e

ee

故选：

A

．

8

．

D

【分析】令

得答案

.

【详解】设

M

x,0

,Q

x

1

,y

1

，令

则

1

2

1

1

1

AQMQ

，可得

M

点的坐标为

,0

，则

PQAQ

PQMQ

，即可

2

2

2

1

AQMQ

，

2

2

1

x

1

2

y

2

2

1

x

x

1

2

y

x

2

1

4

8x

x

3

1

4

4x

2

y

3

2

1

x

1

2

y

1

2

1x

1

1

1

，则

M

,0

PQAQ

PQMQ

.

2

2

2

如图，当

P,Q,M

三点共线时，且

PM

垂直于直线

xy50

时，

PQMQ

有最小值，为

1

5

PM

，即直线

xy50

到点

M

距离，为

2

112

.

4

2

故选：

D

答案第3页，共17页

9

．

ACD

【分析】求出选项

A

中数据的第

75

百分位数，即可判断

A

，根据相关系数的知识可判断

1



B

，求出

x

2

的展开式中常数项可判断

C

，根据必然事件、不可能事件的概念可判断

x



D.

【详解】对于

A

，

∵

0.7586

，

∴

第

75

百分位数为

6

87

89

88

，故

A

正确；

2

对于

B

，相关系数

r

的绝对值接近于

0

，表示两个变量之间几乎不存在线性相关关系，故

B

错误；

1

对于

C

，常数项为

Cx

2

15

，故

C

正确；

x

24

6

2

对于

D

，由必然事件和不可能事件的定义，可得

D

正确．

故选：

ACD

．

10

．

AC

【分析】

A

选项，通过证明平面

AMN

P

平面

QC

1

B

1

，可判断选项正误；

B

选项，注意到

C

1

B

1

P

平面

AMN

，则可判断选项正误；

uuuruuuuruuuruuuur

APCBCPCB

C

选项，

11111

，据此可判断选项正误；

D

选项，由题可知过

A

，

M

，

P

三点的平面为平面

ACPM

，即可判断选项正误

.

【详解】

A

选项，连接

QC

1

，

QB

1

，因

N

，

Q

分别为

A

1

C

1

，

AC

的中点，

AC

P

A

1

C

1

，则

AQNC

1

,AQ

P

NC

1

，即四边形

AQC

1

N

为平行四边形，则

AN

P

QC

1

.

因

M

，

N

分别为棱

A

1

B

1

，

A

1

C

1

的中点，则

NM

P

C

1

B

1

.

答案第4页，共17页

因

NM

平面

ANM

，

AN

平面

ANM

，

NM∩ANN

，

QC

1

平面

QC

1

B

1

，

C

1

B

1

平面

QC

1

B

1

，

QC

1

∩C

1

B

1

C

1

，则平面

AMN

P

平面

QC

1

B

1

，

又

QP

平面

QC

1

B

1

，则

QP

P

平面

MNA

，故

A

正确；

B

选项，因

C

1

B

1

P

MN,C

1

B

1

平面

AMN

，

MN

平面

AMN

，则

C

1

B

1

P

平面

AMN

，

又

PC

1

B

1

，则

P

到平面

AMN

距离等于

C

1

到平面

AMN

距离，又

N

为

AC

中点，则

C

1

到平面

AMN

距离等于

A

到平面

AMN

距离，则

1

11

V

P

MNA

V

C

1

MNA

V

A

1

MNA

V

A

A

1

MN

S

V

A

1

NM

AA

1

，又

S

V

ANM

ANNM

，

1

3

22

2

，故

B

错误；

3

uuuruuuuruuuuruuuruuuuruuuuruuuuruuuruuuuruuuruuuur

C

选项，

APC

1

B

1

AC

1

C

1

PC

1

B

1

AC

1

C

1

B

1

C

1

PC

1

B

1

C

1

PC

1

B

1

，当

P

和

B

1

重合时，

则

V

P

MNA



uuuruuuur

APC

1

B

1

最大为

4

，故

C

正确；

D

选项，注意到

PM

P

A

1

C

1

P

AC

，则过

A

，

M

，

P

三点的平面为平面

ACPM

，

则截面周长

为

ACCPPMMA

，又

AC2,PM1,CPCC

1

2

C

1

P

2

3,

AMAA

1

2

A

1

M

2

10

，则周长为

106

，故

D

错误

.

故选：

AC

11

．

AD

【分析】利用双曲线的定义求出

AF

2

、

AF

2

，可判断

A

选项；在

△AF

1

F

2

中，应用余弦定理

可得出关于

a

、

c

的齐次等式，可求得双曲线的离心率，可判断

B

选项；利用三角形的面积

公式可判断

C

选项；利用点差法求出直线

OP

的斜率，可判断

D

选项

.

【详解】如下图所示：

答案第5页，共17页

对于

A

选项，因为

ABBF

1

，所以，

AF

2

ABBF

2

BF

1

BF

2

2a

，

由双曲线的定义可得

AF

1

AF

2

AF

1

2a2a

，所以，

AF

1

4a2AF

2

，

A

对；

对于

B

选项，设直线

AB

的斜率为

7

，设直线

AB

的倾斜角为

，则

为锐角且

tan

7

，

sin

tan



7

cos

2

2

2

2

由

sin

cos

1

可得

cos

，则

cosAF

2

F

1

cos

π

cos



，

4

4

cos

0

在

△AF

1

F

2

中，由余弦定理得

cos

AF

2

F

1

即

2c

2

2ac6a

2

0

，

等式

2c

2

2ac6a

2

0

两边同时除以

a

2

可得

2e

2

2e60

，

因为

e1

，解得

e2

，

B

错；

对于

C

选项，因为

cosAF

2

F

1



2

，则

AF

2

F

1

为钝角，

4

2

AF

2

F

1

F

2

AF

1

2AF

2

F

1

F

2

222

4a

2

4c

2

16a

2

2



，

8ac4

2

14

所以，

sin

AF

2

F

1

1

cos

2

AF

2

F

1

1

，

4

4



111414

AF

2

F

1

F

2

sinAF

2

F

1

2a2c2a2a7a

2

，

C

错；

2244

x

xy

y

2

对于

D

选项，设

A

x

1

,y

1

，

B

x

2

,y

2

，则

P

12

,

1

，可得

2



2

S

△

AF

1

F

2

k

OP

y

1

y

2

0

y

y

2

2



1

，

x

1

x

2

x

x

12

0

2

答案第6页，共17页

因为

c2a

，则

bc

2

a

2

a

，

x

1

2

y

1

2



1

22

a

2

b

2

x

1

2

x

2

y

1

2

y

2

由

2

得



0

，

2

22

ab

x

2

y

2

1

22

b

a

2

y

1

2

y

2

y

1

y

2

y

1

y

2

b

2



k

AB

k

OP

7k

OP

2

1

，则

k

OP

7

，

所以，

22

x

1

x

2

x

1

x

2

x

1

x

2

a

7

则直线

OP

的斜率为

故选：

AD

．

7

，

D

正确．

7

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（

1

）定义法：通过已知条件列出方程组，求得

a

、

c

的值，根据离心率的定义求解离心率

e

的值；

（

2

）齐次式法：由已知条件得出关于

a

、

c

的齐次方程，然后转化为关于

e

的方程求解；

（

3

）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率

.

12

．

ABD

【分析】

A

选项，对

f

cx

f

cx

2d

两边求导可判断选项正误；

B

选项，由

①②

可知

f

x

的一个周期为

4ca

，即可判断选项正误；

C

选项，验证

f

f

cx

f

f

cx

是否等于

2d

即可判断选项正误；

D

选项，验证

f

f

ax

f

f

ax

是否成立可判断选项正误

.

【详解】

A

选项，由

f

cx

f

cx

2d

两边求导得

f

cx

f

cx

0

，即

f

x

关

于

xc

对称，故

A

正确；

B

选项，由

f

ax

为偶函数，知

f

ax

f

ax

f

x

f

2ax

.

又

f

cx

f

cx

2df

x

2df

2cx

，

f

x

2d

f

x

2c

a

则

f

2a

x

2d

f

2c

x

fx

2c

a

2d

fx

4c

a



f

x

f

x4ca

，即

f

x

的一个周期为

4ca

，则

f

2x

的一个周期为

2ca

，故

B

正确；

C

选项，注意到当

cd

时，

f

cx

f

cx

2cf

x

f

2cx

2c

.

答案第7页，共17页