2024年4月21日发(作者：)

泡 沫 理 论

【内容摘要】 数学，是一门与我们的生活有着密切联系的学问。在任何时期，

数学对小至个人，大到世界的各个方面都起到了一定的推动作用。在本文中，我

们将从数学中的泡沫理论入手，通过文献查阅等方式谈一谈泡沫理论的起源、发

展及其应用，并由此阐述数学与人类文明的关系，以进一步地了解数学这门与我

们每个人都息息相关的学科。

【关键词】 泡沫理论 起源 发展 应用

纵观古今中外人类文明的发展史，任何时期、任何朝代，无论政治、军事,

还是经济、文化的进步，数学都无一例外地起着巨大的推动作用:爱因斯坦正是

受到数学家黎曼著作的影响才创造出相对论，从而深刻而长久地改变了我们当代

人的生活；量子力学创始人海森堡则运用了数学中的矩阵来描述物理量，从而建

立起量子力学的大厦；1917年数学家拉顿在积分集合研究中引用了一种数学变

换（拉顿变换），几十年后柯尔马克和洪斯菲尔德巧妙地运用拉顿变换，设计出

X射线断层扫描仪——CT，为医学诊断做出了巨大的贡献„„

再到如今世界上的伟大建筑，许多都与数学有着紧密的联系。在2008年的

北京奥运会上，最吸引眼球的建筑当属国家游泳中心——水立方了，她宛如一座

水晶宫殿，与鸟巢交相辉映。这座由“泡泡”和钢结构构成的巨大建筑，凭借着

其创新的设计，获得了2010年国际桥协杰出结构大奖。说到水立方的设计灵感，

它也来源于数学和物理学领域的“泡沫理论”。

一、泡沫理论的起源

泡沫理论的起源最早要追溯到公元4世纪，古希腊几何学家帕普斯（Pappus）

在《On The Sagacity of Bees》一文中提到蜜蜂具有理解几何对称性的灵性，

天生就知道如何用最少量的蜂蜡构建正六边形的蜂巢，紧接着他提出了一系列的

思考：蜜蜂是如何把平面等分割成等边长单元的呢？对于平面而言，为什么只有

等三边、等四边、等六边形能周期性地排布成平面，而其他等边则不行？蜜蜂为

什么选择面积恒定时周长最小的正六边形？另外，在肥皂泡问题上，肥皂泡总是

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试图最小化它们的表面积，以使它们的表面能量最小化。对于一个孤立的肥皂泡，

最佳的表面就是一个球面。公元320年，帕普斯首次对肥皂泡的球状结构进行了

数学分析。1884年，德国数学家施瓦茨（H. A. Schwarz）用微积分对此给出了

严格的证明。然而，肥皂泡的问题远没有被彻底解决，如当两个或多个肥皂泡聚

集在一起时，它们的结构又会如何变化呢？

1840年，比利时物理学家普拉托（J. Plateau）（又译为柏拉图）对最小表

面积问题着手进行实验研究，实验始于一次偶然：他的一个仆人把油溅到了盛有

水和酒精的容器中，普拉托注意到油在混合物中呈现完美的球形，后来他改用肥

皂溶液和甘油并把蘸湿的线框放入其中进行实验。在一系列实验之后，普拉托于

1873年指出，当肥皂泡沫聚集到一起时，首先，4个气泡形成一组相互作用的基

本单元（气泡大小为10μm-1cm），相交于一个交汇点（vertex，junction或node）；

每3个气泡围成一个凹三角形形成柏拉图通道（plateau border），则4个气泡

共形成4个柏拉图通道，其曲率半径为r

Pb

（大小为~1μm-1mm）。柏拉图通道长

度L

Pb

约为气泡大小的1/3，柏拉图通道要比交汇点薄一些，每两个气泡间形成

一个液膜，4个气泡共形成6个液膜，液膜间以及柏拉图通道间的夹角分别为

arccos(-1/2)=120°和arccos（-1/3）≈109.47°（图1）。这即是著名的柏拉

图规则（Plateau rule），即泡沫结构平衡法则。

柏拉图的结论如此简单，连他自己都感到吃惊，他说：“„„这些规则使得

我们得到一个非常值得关注的结论：那些香槟、啤酒和肥皂水中的泡沫很明显是

液体薄膜的结合体„„因此，尽管泡沫在人们看来是极其易变的，但它一定会受

到以上规则支配的。”

图1

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