2024年4月26日发(作者：)

最小生成树matlab代码

在Matlab中，最小生成树可以通过Kruskal算法和Prim算法来实现。本文将分别介

绍两种算法的代码实现，并对其进行详细解析。

Kruskal算法

Kruskal算法是基于贪心算法的最小生成树算法。其基本思想是将边按照权值从小到

大进行排序，然后逐个加入到树中，直到树连通为止。如果加入一条边使得形成环，则不

加入该边。

定义一个函数Kruskal(weight,n)来实现Kruskal算法。参数weight是一个n*n的矩

阵，表示图的邻接矩阵；n表示图中节点的个数。该函数的返回值为最小生成树的边集。

function edges=Kruskal(weight,n)

%初始化

[rows,cols,vals]=find(weight);

edge_num=length(rows);%边数

edges=zeros(n-1,2);%初始化，存放最小生成树的边

%边按照权重从小到大排序

[~,idx]=sort(vals);

rows=rows(idx);

cols=cols(idx);

%初始化并查集

par=1:n;

rank=zeros(1,n);

%依次加入边

n_edge=0;%表示已加入的边数

for i=1:edge_num

%如果两个节点已经在同一连通块中，则不能加入当前边

if FindPar(par,rows(i))==FindPar(par,cols(i))

continue;

end

%将当前边加入到最小生成树中

n_edge=n_edge+1;

edges(n_edge,:)=[rows(i),cols(i)];

%将两个节点合并

Union(par,rank,rows(i),cols(i));

%如果当前已经加入足够的边，则退出循环

if n_edge==n-1

break;

end

end

FindPar函数和Union函数是实现并查集的两个函数，用于判断是否形成环以及将两

个节点合并。具体代码如下：

%查找节点的祖先

function par=FindPar(par,idx)

if par(idx)==idx

par=idx;

else

par=FindPar(par,par(idx));

end

%将两个节点合并

function Union(par,rank,x,y)

x_par=FindPar(par,x);

y_par=FindPar(par,y);

if rank(x_par)>rank(y_par)

par(y_par)=x_par;

else

par(x_par)=y_par;

if rank(x_par)==rank(y_par)

rank(y_par)=rank(y_par)+1;

end

end

Prim算法

Prim算法也是一种贪心算法，基本思想是从任意一个点开始，找到与该点相邻的最短

边，然后将这个边连接的点加入到集合中，继续寻找与该集合相邻的最短边。重复此过程，

直到所有节点都被加入到集合中为止。

%循环直到所有节点都被访问

for i=1:n-1

%找到距当前集合最近的节点

[~,idx]=min(weight(visited==1,visited==0),[],2);

idx=find(visited==0,1)+idx(1)-1;

%将该节点加入到集合中

visited(idx)=1;

edges(i,:)=[idx,find(weight(idx,:)==min(weight(idx,visited==1)))];

end

%构造一个邻接矩阵

n=4;

weight=[0,3,4,2;

3,0,5,999;

4,5,0,6;

2,999,6,0];

%使用Kruskal算法求解最小生成树

edges_Kruskal=Kruskal(weight,n);

%使用Prim算法求解最小生成树

edges_Prim=Prim(weight,n);

可以看到，两个算法得到了相同的最小生成树。在本文中，我们介绍了如何在Matlab

中实现最小生成树算法。最小生成树是图论中的一个重要概念，它可以帮助我们解决许多

实际问题。在电信领域中，最小生成树可以用来优化通信网络的布置，以降低通信成本；

在城市规划中，最小生成树可以用来规划城市环路，以便减少交通拥堵等。

Kruskal算法和Prim算法是目前应用较广泛的最小生成树算法。由于其思路简单且易

于实现，因此在实际应用中得到广泛的应用。无论是Kruskal算法还是Prim算法，其时间

复杂度均为O(mlogm)，其中m为边数。

在实际应用中，还有一些其他的最小生成树算法，例如Boruvka算法、

Reverse-Delete算法等。这些算法在不同的情况下可能会有不同的效率表现，因此我们需

要根据具体问题的特点来选择合适的算法。在实际应用中，我们也需要考虑到算法的时间

复杂度、内存占用等因素。

在Matlab中实现最小生成树算法时，我们也可以通过一些工具箱来简化程序的编写。

Matlab自带的Graph and Network Algorithms Toolbox就提供了许多有用的函数和工具，

可以帮助我们更方便地进行图论计算。

最小生成树算法是图论中的一个重要研究方向，应用十分广泛。在实际应用中，我们

需要结合具体问题来选择合适的算法，并根据实际情况考虑算法的时间复杂度、内存占用

等因素。利用Matlab提供的工具和函数，可以大大简化程序的编写，提高效率和准确性。