2024年5月1日发(作者：)

一局游戏在两个游戏人之间如下交替进行：游戏从一空堆开始。当轮到一个游戏人时，他

可以往堆中加进1，2，3或4枚硬币。往堆中加进第100枚硬币的游戏人为得胜者。确定

在这局游戏中是游戏人A还是游戏人B能够确保取胜。取胜的策略是什么？

在学术论坛有

博士家园，组合图论论坛

确保取足5个硬币即可

例题：两个人玩移火柴的游戏，桌子上有1000根火柴，每个人每次可以拿走1-7根火柴，

拿走桌子上最后那根火柴的算输，问第一个人第一次要拿多少根火柴才能保证赢

7根。以后对方拿几根，你都要拿够凑足8根的数。1000根和8根性质是一样的。

从抢30到NIM游戏的取胜策略

（一）倒推法

抢30是我国民间的一个两人游戏，具有很强的对抗性和娱乐性。抢30游

戏通常有两种玩法。

（1）两人从1开始轮流报数，每人每次可报一个数或两个连续的数，谁先

报到30，谁就为胜方。

（2）两人从1开始轮流报数，每人每次可报一个数或两个连续的数，同时

把两个人报出的所有数累加，谁先使这个累加数最先达到30，谁就为胜方。

解决最个问题的一般策略是用倒推法。

以（1）为例，要抢到30，必须抢到27；要抢到27，必须抢到24。如此倒

推回去，可得到一系列关键数30、27、24、21、18、……9、6、3。

根据以上分析，抢30游戏本身并不是一个公平的游戏，初始数和先后顺序

已经决定了最后的结果，因为只有后报数者才能抢到3的倍数，后报数者有必

胜策略。

（二）关键因子

所有这些关键数都是3的倍数。3是两个报数者年内能够报出的最大数与最

小数的和。在类似游戏中，我们把游戏者所能用到的最大数和最小数之和称之

为关键因子k，关键数就是k的倍数.。在抢30的游戏中，关键因子k等于3。

又例如，抢100报数游戏中，如果每人可报数为1至9个连续的自然数，

谁先报到100谁就是胜利者。这里的关键因子k就是可报最大数9和可报最小

数1的和，即k=10。

报数获胜的策略就是：（1）让对方先报数；（2）

每次报数为关键因子

减去对方所报数。这样自己每次所报数都是关键数。

如果对方一定要先报，你只能期待对方不懂策略或者大意出错了。

（三）不平衡因子

在上述的抢30或者抢100的游戏中，最后数30是关键因子3的整数倍，

最后数100是关键因子10的整数倍。我们可以把这样的游戏称为平衡游戏，也

就是最后报数与关键因子相除余数为0。如果最后报数与关键因子相除有余数，

这个游戏就可以称为不平衡游戏，其余数就是不平衡因子。

抢数不平衡游戏也是不公平的游戏，先报数者有必胜策略。先报数者的获

胜策略就是先消除不平衡因子，使其变成一个平衡游戏，先报数者随后就成为

平衡游戏的后报数者。

例如，在抢30游戏中，两人从1开始轮流报数，每人每次可报1到3个连

续的数，谁先报到30，谁就为胜方。在这里，关键因子是4，不平衡因子是

2。

又例如，抢100报数游戏中，如果每人可报数为1至10个连续的自然数，

谁先报到100谁就是胜利者。在这里，关键因子是11，不平衡因子是1。

在不平衡游戏中，如果先报数者不懂得游戏策略，懂得这个策略的后报数

者需要不断计算不平衡因子，以便最后获胜。

（四）更多例子

报数游戏里的最后数都是些比较小的数，因此用倒推法比较容易得到策略。

当我们把数变得大一些的时候，就变成了小学奥赛题。如果掌握上述讨论中的

关键因子和不平衡因子的计算，奥数题也变得迎刃而解了。

下面就是两个奥数例题。

（1）2008个空格子排成一排，第一格放有一个棋子。两人做游戏，轮流移

动这枚棋子。每个人每次可前移1到5个格子，谁先把棋子移到最后一格，谁

就是获胜者。问怎样的策略才能保证获胜。

（2）桌上放着一堆火柴，共有5000根。两个人轮流从中取火柴，每人每

次取的火柴根数为1到8根，谁取了最后一根谁就输。问怎样的策略才能保证

获胜。

（五）进一步扩展到NIM游戏