2024年5月2日发(作者：)

主理想环上的扭模 总是用D表示一个主理想整环。 定义 设M为D模如果对任何Mm

都存在Dr使0rm则称M为扭模。对于D中的元a定义0amMmaM。对于D中的素元

p1iippMM称为M的p零化子模。 定理 设M为D扭模则ppMM素元。 证对于任意的

Mmannsrsrppm11 其中ip为素元存在Dqi满足

1221sssrsrrsrsrrrsrpppqpppqppq 令mppppqmsiirsriririi111111则ipiMm所

以sppsMMmmm11。由m的任意性可知ppMM素元。若对于素元pqpqpMMm即存在

不同的素元sppp1满足0mpi0krkmpksmmm1所以011mppkrkr。由于存在Drq使

111srsriprpqp于是011mprpmqpmsrsri。这说明0qpqpMM。所以ppMM素元。 定义 设

M为D扭模如果对于D中的素元ppMM则称M为p模。 定理 设M为p模则MMMii1其

中xDMiipxi21i xDkp表示由x生成的循环子模满足DpDxDkpk/21kxDp表示由210xxxx

生成的满足关系1iixpx21i的子模等价地xDp为由//2pxpxxnnxpx/生成的M的子模。 证

存在域pDD/上的线性空间序列11nnnnpMppMppM。由线性空间的性质可知存在线性

空间的直和分解VVVpM21满足/11iiiiipMppMpV21i1nnnpMpV。令iB为iV的基

21iBBBnn。则B为pM的基。对于iBx21i任取一固定的满足xypi1的元素y记为1ipx。

令1iiiBxpx生成的M的子模为iM。现证i的元素无关。若有不同的n个元素inBxx1满足

0//1111innipxapxa且Dpaik则有0//1111111nninniixaxapxapxap所以pDaknk1。令/papak。

则0////2211innipxpapxpa。////22112inniipxpapxpap0//11nnxpaxpa所以Dpak2nk1。重复

以上步骤可知Dpaik矛盾i的元素无关。所以1iiBxipxDMi21i。令B对于x任取一固定

的满足xxp1的元素1x记为px任取一固定的满足12xxp的元素2x记为2px如此下去归纳

地nnpxpxp1。记2pxpxx生成的M的子模为xD现证模族xxD无关。若有不同的元素nxx1

满足0//11snnspxapxa且Dpask则有//11snnsspxapxap011nnxaxa所以pDak。令/papakk。

则//111spxpa0//1snnpxpa。于是////11111snnsspxpapxpapnnxpaxpa//110所以Dpak2。重

复以上步骤可知Dpask矛盾因此模族BxxD无关。现证MMM21无关。如果

01xxxniiMx。令1ijijijipxaxijiBxDpaijini1sjjjpybxByjDpbsj不妨令sn则

11xxxpnn0jjjjijnjybxa。所以pDajn pDbj。所以0022xpxpnnn。

jjjjijnjjijnjnnypbxpaxaxxxp//1120。所以Dpajn2pDajn1nk1Dpbj2。0003313xpxpxpnnnnn。

重复此过程可知Dpaijini1Dpbnj。矛盾MMM21无关。现证MMMii1。对n作归纳证明

MMNNpMiin1。当1n时由B的定义有NpM。假设NpMn则对任意1npMx pMxpn由归

纳假设存在1nnpMpy满足yxpn所以存在iniMz满足yzpn。于是0/nnpzxp即/nnpMpzx。

由归纳假设存在Nw满足wpzxn/。所以Npzwxn/NM。所以MMMii1。 主理想环上有

限生成模的循环分解 定义 设M为D模如果存在的M子集S满足xMSx其中x表示由x

生成的M的循环子模则称M是可循环分解的称xMSx为M的一个循环分解。等价的定

义为M是可循环分解模如果M存在一组无关的生成元组S。 自由模是可循环分解的。

但是一般模不一定可循环分解前面定理中的xDp就不是可循环分解模。 定理 有限

生成的D模是可循环分解模且无关生成元组元素的个数有限。 证由于有限生成模都

是自由模和扭模的直和模而自由模都是可循环分解的所以我们只需要对扭模M证明

定理。令 annMaMsrsrMppa11其中ip为素元。则 11srsrMpMpMaMM 由p模分解定

理每一个iipriMpM都为有限生成ip模所以ipM不可能含不是有限生成的子模ipD所以

xDMninipxnp可循环分解。如果nn元素个数无限则1xDppMnnxnipni为无穷维线性空

间。假设nxx1为M的一个有限生成元组annkrikpx则ippMi由nririxpxpn11生成矛盾。

所以nn元素个数有限。 定义 设M为有限生成的D模nxx1为M的一个无关的生成元组

相应的循环分解为nxxM1anniidx。称每个annix为这个循环分解的一个分解理想称每

个id为这个循环分解的一个分解因子。称n为这个循环分解的长度称零分解因子的个

数为循环分解的秩称所有非零分解因子的乘积为分解的特征因子。如果两个分解因

子id和jd互素则称无关的生成元组jinjixxxxxx1kx??表示删去此元素为nxx1的一

个合并组称相应的循环分解为原分解的一个合并分解。如果某个分解因子id为两个

互素元的乘积即abdi1sbra则称无关的生成元组iinisbxraxxxx??1为nxx1的一个分裂组

称相应的循环分解为原分解的一个分裂分解。如果循环分解的所有分解因子都不能

分解成两个互素的元的乘积即该因子或者为零或者相伴于kpp为素元则称这组生成

元为M的一个初等生成元组称相应的循环分解为M的一个初等分解每个分解因子都

称为M的一个初等因子。如果分解因子满足1iidd等价于ann1ix annixni1则称这组生成

元为M的一个不变生成元组称相应的循环分解为M的一个不变分解ndd1称为M的不

变因子。 两组无关的生成元组nxx1与myy1称为同构的相应的循环分解是同构的如

果存在两组之间的1-1对应:1nxx1myy满足annix annixni1此时自然导出M的自同构。

两组无关的生成元组称为等价的相应的循环分解是等价的如果其中的一组同构于对

另一组做有限次分裂或合并得到的无关组。 注意以上定义中nxx1的分裂组

iinisbxraxxxx??1与iinibxaxxxx??1同构。 基本分解定理 有限生成D模的所有循环分

解无关生成组都是等价的所有的初等分解生成元组都是同构的且长度为所有循环分

解中最大的所有的不变分解生成元组都是同构的且长度为所有循环分解中最小的。

所以初等因子组不变因子组特征因子和秩在相伴的意义下唯一。 证首先证明所有的

初等分解都是同构的。设nxx1为有限生成模M的初等生成元组则零因子的个数为自

由模/MTorM的秩相伴于kpp为素元的初等因子个数为线性空间1kpkpMp/1kpkpMp

的维数所以所有的初等分解都是同构的。显然任何一个循环分解都可有限次分裂成

为一个初等分解而每个形如DpDn/p为素元的模都不能再分解为两个非平凡子模的

直和所以所有循环分解都是等价的且初等分解的长度为所由循环分解中最大的。由

于分裂或合并不改变特征因子的相伴类所以所有分解的特征因子都是相伴的。 现证

所有不变分解都是同构的。设nxx1为有限生成扭模M的不变生成元组如果M的秩为r

则0idnrni1。因此不妨设M为扭模。1iidd0idni1。令M的初等生成元组为srssrxxxx11111

其中annjitijipxniiittt211jit如果jix不存在。显然annndM1121121ststtppp。即nd只依赖

于初等因子。同理ann11ndM2222121ststtppp其中1M为以srssrxxxx21211为初等生成

元组的模。归纳可证1indisiitsttppp2121ni1。所以所有不变分解同构。 现证所有循

环分解都等价于不变分解。还只需对扭模情形证明。设nxx1为有限生成扭模M的无

关生成元组ndd1为对应的分解因子isiitsttipppd2121kp为素元0jit。如果ndd1互素则将

nxx1合并为nxxx12。如果ndd1不互素不妨设0111ntt则先将nxx1分裂为含2n个无关元

的生成组ntstnttsttxppxpxppxpnsnns21再合并为含n个无关元的生成组

ntstttsttxpppxpppnsnsn2。对每个满足01niitt的元素做以上过程则nxx1等

价于nnyxxy121其中nyy1的分解因子ndd1或者互素或者ndd1。如果ndd1互素则将

nnyxxy121合并为nnyyxx112。再对12nxx依次施行以上过程则可将原生成组化为一个

不变分解。而以上过程只会减少分解的长度而不变分解不能再合并所以不变分解的

长度为所有循环分解中最小的。 定义 设M为有限生成的D模生成元为nxx1零关系

为mzz1其中jjinjixaz1mi1则称矩阵nmjia为M在生成元组nxx1下关于以上表示的表示

矩阵。 定理 设M为有限生成的D模 rdd11iidd为M的任何一个表示矩阵的非零不可

逆不变因子序列则M的非零不变因子序列在相伴意义下为序列rdd1M的所有非零初

等因子就是任何一个表示矩阵的所有初等因子如果表示矩阵为方阵且行列式不为零

则该方阵的行列式就是M的特征因子。 证基本分解定理的推论。 例子 设A为有限

生成Abel群则同构于以下形式的群knnmZZZZ1如果要求每个in为npp为素数的形式

则分解唯一如果要求1iinn11ki则分解也唯一。kinn1为A的特征因子不依赖于具体分

解的选取。 例子 设A为域F上有限维线性空间V上的一个线性变换则V为多项式环F

模模作用定义为对任意VvFfvAfvf。令nvv1为V作为线性空间的一组基同时也是F模

的生成元组jjinjivaAv1ni1。把jjiva看成自由模inivF1中的元素jjivf其中jijiaf为F中的常

数项多项式于是iAvinivF1则V作为F模就为自由模inivF1商去零关系iiAvvni1的商

模。仍然用A表示矩阵nnjia则V作为F模在生成元组nvv1下的表示矩阵为方阵AIAI的

初等因子和不变因子就为模V的初等因子和不变因子A的最小多项式f就满足annfV

行列式AI就为模V的特征因子。存在V上的不变子空间的直和分解sVVV1满足A在每

个不变子空间iV上的表示矩阵为 10iikikiiiiiaaaaaB 其中

0111iikkikiaaafiii为的特征多项式iBI。如果要求每个if都为常系数多项式或者kpp为不

可约多项式的形式则所有的if为矩阵A的初等因子组。如果要求1iiff si1则所有的if为

矩阵A的不变因子组。 具体求的初等分解的方法。求出特征矩阵11srsrppAI其中irip

为不可约多项式 则方程组0XApki的解空间就是子模0kipM的坐标空间irk1令kid为

该子空间的维数则iriiiddd21。通过解方程组0XApki的解空间的基可以求出kipM的基

再由关系2iriiipMpMpM便可以求出itiizz1使得就是annjiz初等理想。