2024年5月10日发(作者：)

∑上下标含义

∑是一个求和符号，下标表示从第几个数开始求和，一般用i=1表示，

上标表示加到第几个数，一般用n表示。如果下标是i=1,上标是n，就表

示从第一个数加到第n个数。即将所有的数求和。

其实求和符号，包括它的上下标，是要结合数列来理解的。设{an}是

一个数列，a1表示数列的第一个数，a2表示数列的第二个数，……，依

此类推，an表示数列的第n个数。求这个数列所有项的和，这时就可以

用求和符合来表示，上标n就表示求所有项的和，而下标i=1就表示从第

一个数开始求和。即求1至n，所有项的和。可以记做∑(i=1,n)ai.

因为求所有数的和是最常见的，所以有时可以省略上下标，即∑ai

也可以表示从求数列{an}所有项的和. 可以写成∑ai=a1+a2+……+an. 最

简单的例子是∑i=1+2+…+n=n(n+1)/2. 这里的i也可以用其它字母表示，

如j, k，都是很常被使用的。

有时候我们还会看到一些下标是i=0的情况，那又是怎么回事呢？其

实很简单，i=0就对应a0, 有时数列是有a0这个项的。比如数列

1,2,4,8,…2^(n-1)，它的第一项其实是a1=1=2^0，第n项是an=2^(n-1)，

所有项的和记做∑(i=1,n)2^(i-1)。也可以理解为第一项是a0=1=2^0，

第n-1项是a_(n-1)=2^(n-1)，所有项的和就记做∑(i=0,n-1)2^i. 可以

发现，如果把上标记为整数q, 下标记为整数p，那么求和公式中，项的

数量等于q-p+1. 因此∑(i=1,n)2^(i-1)中有n-1+1=n项；∑(i=0,n-

1)2^i中也有n-1-0+1=n项. 两种不同的求和表示方法中有相同的项数，

而且第一项和最后一项相同，保证了两种求和的表示方法结果是一样的。

再举一个比较具体的例子，比如有限数列“1,2,3,……,100".如果要

求前36个数的和，那么上标就是36,下标则是k=1,因此记做∑(k=1,36)k.

假如下标改成k=0,就要记做∑(k=0,35)(k+1)，表示的仍是求这个有限数

列的前36项的和.而如果只是把下标改成k=0，其它不变的话，那么就是

∑(k=0,36)k，注意了，现在求得的结果虽然和这个有限数列的前36项和

相同，但其含义已经有所区别了，它求的是“0+1+2+…+36”，其实已经

有37个项了。当然，我们也可以选择从其它项求起，比如

∑(k=30,35)k=30+31+32+33+34+35+36，它求的是从30到35这六个项的

和。

最后是一种比较特殊的情况，就是有下标而没有上标的情况，这里的

下标往往都有特殊的含义，比如在求n阶行列式整式形式时，就要用到只

有下标的求和符号，下标是j1j2…jn，表示对所有n元排列，这方面的

知识，必须有行列式知识基础才能理解和掌握。比较简单有：只有下标

cyc时，表示轮转求和，比如∑(cyc)x^2y=x^2y+y^2z+z^2x；而只有下标

sym时，表示对称求和，比如

∑(sym)x^2y=x^2y+x^2z+y^2z+y^2x+z^2x+z^2y。

或者看完老黄的文章，你会越看越迷糊，没关系，你本来就是迷糊的

嘛，多看几遍，看到清醒，这方面的知识，你就永久地掌握起来了。