2024年5月10日发(作者：)

求和∑上下标含义

∑是一个求和符号，下标表示从第几个数开始求和，一般用

i=1表示，上标表示加到第几个数，一般用n表示。如果下标

是i=1, 上标是n，就表示从第一个数加到第n个数。即将所

有的数求和。

其实求和符号，包括它的上下标，是要结合数列来理解的。设

{an}是一个数列，a1表示数列的第一个数，a2表示数列的第

二个数，……，依此类推，an表示数列的第n个数。求这个

数列所有项的和，这时就可以用求和符合来表示，上标n就表

示求所有项的和，而下标i=1就表示从第一个数开始求和。即

求1至n，所有项的和。可以记做∑(i=1,n)ai.

因为求所有数的和是最常见的，所以有时可以省略上下标，即

∑ai也可以表示从求数列{an}所有项的和. 可以写成

∑ai=a1+a2+……+an. 最简单的例子是

∑i=1+2+…+n=n(n+1)/2. 这里的i也可以用其它字母表示，

如j, k，都是很常被使用的。

有时候我们还会看到一些下标是i=0的情况，那又是怎么回事

呢？其实很简单，i=0就对应a0, 有时数列是有a0这个项

的。比如数列1,2,4,8,…2^(n-1)，它的第一项其实是

a1=1=2^0，第n项是an=2^(n-1)，所有项的和记做

∑(i=1,n)2^(i-1)。也可以理解为第一项是a0=1=2^0，第n-1

项是a_(n-1)=2^(n-1)，所有项的和就记做∑(i=0,n-1)2^i.

可以发现，如果把上标记为整数q, 下标记为整数p，那么求

和公式中，项的数量等于q-p+1. 因此∑(i=1,n)2^(i-1)中有

n-1+1=n项；∑(i=0,n-1)2^i中也有n-1-0+1=n项. 两种不同

的求和表示方法中有相同的项数，而且第一项和最后一项相

同，保证了两种求和的表示方法结果是一样的。

再举一个比较具体的例子，比如有限数列“1,2,3,……,100".

如果要求前36个数的和，那么上标就是36, 下标则是k=1,

因此记做∑(k=1,36)k. 假如下标改成k=0, 就要记做

∑(k=0,35)(k+1)，表示的仍是求这个有限数列的前36项的和.

而如果只是把下标改成k=0，其它不变的话，那么就是

∑(k=0,36)k，注意了，现在求得的结果虽然和这个有限数列

的前36项和相同，但其含义已经有所区别了，它求的是

“0+1+2+…+36”，其实已经有37个项了。当然，我们也可以

选择从其它项求起，比如

∑(k=30,35)k=30+31+32+33+34+35+36，它求的是从30到35

这六个项的和。

最后是一种比较特殊的情况，就是有下标而没有上标的情况，

这里的下标往往都有特殊的含义，比如在求n阶行列式整式形

式时，就要用到只有下标的求和符号，下标是j1j2…jn，表

示对所有n元排列，这方面的知识，必须有行列式知识基础才

能理解和掌握。比较简单有：只有下标cyc时，表示轮转求

和，比如∑(cyc)x^2y=x^2y+y^2z+z^2x；而只有下标sym时，

表示对称求和，比如

∑(sym)x^2y=x^2y+x^2z+y^2z+y^2x+z^2x+z^2y。

或者看了老黄的文章，你会越来越迷茫。没关系，你迷茫了。

多读几遍，看到自己是清醒的，你就永久掌握了这些知识。