2024年5月10日发(作者：)

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相交弦定理

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．

已知：求证：

证明：

例1已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm和16cm两段，第二条弦的长为32cm，

求第二条弦被交点分成的两段的长．

练习：1．如图：⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA=8，PB=9

（1）若PC=4，则PD= ，CD= ．

（2）若PC=PD，则CD=．

（3）若PC:PD=2:3，则PC=，PD=．

（4）若CD=18(PC

2．已知：如图AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=11，PA=3，OP=5，则⊙O的半径是．

3．已知：如图点C为弧AB的中点，点D为弦AB的中点，CD=1，AB=6，则⊙O的直径是．

4．已知：如图AB是直径，CD⊥AB于点P，PB=4，CD=12， 则PC=，PA=，OP=AC．

A

P

B

O

A

O

D

C

B

D

A

O

P

B

C

A

P

C

O

D

B

D

O

A

C

P

B

第2题 第3题 第4题

1

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例2如图，⊙O

1

和⊙O

2

相交于A、B两点，直线CF交弦AB于P，分别交⊙O

1

于C、D，交

⊙O

2

于E、F，求证：PC·PD=PE·PF．

A

O

1

C

P

E

B

D

O

2

F

例3如图：已知△ABC中，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于F、E，AD⊥BC，垂足为

D，AD交⊙O于G，交BE于H．求证：DG

2

=DH·DA．

A

F

G

H

E

C

B

O

D

练习：已知：P为CD的中点，AB为⊙O的直径，F为AB延长线上一点，AB与CD相交于P，PE⊥DF，

求证：AP·PB=DE·DF

C

A

O

P

E

D

B

F

2

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【课后盘点】

1．如图A、B、C、D为⊙O上的四个点，AC、BD相交于点E，延长BA、CD交于点P．

图中相似三角形有A．2对 B．3对 C．4对 D．5对（）

2．如图AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足是P，弦EF经过点P，则下列各式错误的是（ ）

A ．PE·PF=PA· PBB ．PE·PF=PC

2

C． PA·PB =

1

CD

2

D． BP·BA=EP·EF

4

3．如图⊙O的弦BA、CD交于点P，CP=2，DP=6，AB=10，则以AP、BP的长为根的一元二

次方程（）

A．x

2

+8x+12=0 B．x

2

+10x+12=0C．x

2

－10x+12=0 D．x

2

－10x+16=0

第1题 第2题 第3题 第7题

4．在⊙O中，弦BC垂直平分线OA，垂足为E，且OA=4，则BC的长为 （）

A．8 B．4

3

C． 2

3

D．16

5．已知⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足E，且AE=4cm，BE=9cm，则tan∠ACE=（ ）

A．

P

A

B

O

4923

B．C．D．

9432

6．已知P是⊙O内一点，OP=5， ⊙O的半径为13，AB是经过点P的弦，则AB的最小值是A．12

B． 16 C． 24 D．32（ ）

7．如图，AB是⊙O 的弦，P是BA上一点，PO=5，PB=6，PA=4，则⊙O的半径为．

8．⊙O的两弦AB、CD交于点E．

(1)若AE=3，BE=14，CE=6，则CD=；

(2)若AB=9，CD=6，EA=8，则EC=；

(3)若AE=18，AB=30，CE:DE=3:8，则CD=；

(4)若AE=EB，CE:ED=1:4，则AE:CE=；

(5)若CE=3cm，BE=5cm，则AC:BD=．

9．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足是P，

若PB=CD，AP=2，则CD=，⊙O的半径是．

第9题

第10题

10．如图，⊙O的半径OA与BC相交于点D，若OD=AD=3，BD:DC=2:3，则BC=．

3

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11．如图P为⊙O的弦AB上的一点，PC⊥OP交⊙O于点C，若PC=6，AP=4，求AB的长．

12． 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥OB于P，弦EF经过点P，CD=4

6

，AB=11，EP:PF=2:3，

求PB和EF的长．

13．如图，两弦AB、CD交于点M，且AC=CM=MD，MB=

14．如图，⊙O过点C且与⊙C相交于A、B，⊙O的弦CD交AB于点E．

求证：CA

2

=CE

2

+AE·BE．

4

D

1

AM=1，求圆的直径．

2

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加深巩固

1.如图，已知O为⊙O′上一点，⊙O和⊙O′相交于A，B，CD是⊙O的直径，交AB于F，DC的

延长线交⊙O′于E，且CF=4，OF=2，则CE的长为（ ）

A.12 B..8 C.6 D.4

第1题 第2题 第3题 第4题

2.已知：如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC的中点D，且EF∥AB，若AB=2，

则DE的长是（ ）

A. C. B. D.1

，则弦心距OF3.如图，⊙O的直径AB=10，E是OB上一点，弦CD过点E，且BE=2，DE=2

为（ ）

A.1 B. C. D.

4.如图，在平面直角坐标系中，⊙O′与两坐标分别交于A，B，C，D四点，已知：A（6，0），B（0，

﹣3），C（﹣2，0），则点D的坐标为（ ）

A． （0，2） B． （0，3） C． （0，4） D．（ 0，5）

5.如图，在直径为6的半圆

值为 _________ ．

上有两动点M、N，弦AM、BN相交于点P，则AP•AM+BP•BN的

第5题 第6题 第7题

6.已知如图，等腰△ABC内接于⊙O，∠B=∠ACB=30°，弦AD交BC于E，AE=2，ED=4，则⊙O

的半径为 _________ ．

7.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面

的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是 8 mm．

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