2024年5月27日发(作者：)
T0拓扑空间的拟连续性与交连续性
冯华容;寇辉
【摘 要】By means of convergence,we introduce quasicontinuous sapces
and meet-continuous sapces based on directed main results
are as follows:(1) A T0 space is quascontinuous if and only if it is locally
strongly compact,if and only if its open set lattice is a hypercontinuous
complete lattice,if and only if it soberfication is a quasicontinuous dcpo;(2)
A directed space is meet-continuous iff its closed set lattice is a frame;(3) A
T0 space is a c-space if and only it is quasicontinuous and meet-
continuous.%本文在定向空间的基础上通过收敛的方式定义了拟连续空间和交连
续空间,推广了Domain理论中的相应结果.主要结果如下:(1)一个T0空间是拟连续
的,当且仅当它是局部强紧的,当且仅当它的开集格在集包含关系下是超连续格,当且
仅当它的sober化是拟连续dcpo;(2)一个定向空间是交连续的当且仅当它的闭集
格在集包含关系下是一个Frame;(3)一个T0拓扑空间是c-空间当且仅当它既是交
连续的又是拟连续的.
【期刊名称】《四川大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2017(054)005
【总页数】6页(P905-910)
【关键词】定向空间;拟连续性空间;交连续空间;c-空间
【作 者】冯华容;寇辉
【作者单位】四川大学数学学院,成都610064;四川大学数学学院,成都610064
【正文语种】中 文
【中图分类】O198.1
拟连续dcpo[1-13]是Gierz 和Lawson[8]于1981提出的一类重要序结构. 该序结
构具有许多与连续dcpo相似的性质, 尤其是与连续dcpo 一样存在对应的对偶定
理: 拟连续dcpo 范畴与分配超连续格范畴对偶等价. 交连续性是Domain 理论的
另一重要性质. 传统的交连续性定义在dcpo 交半格上, 但在Domain 理论中绝大
多数序结构本身不存在交运算. 文献[10]注意到传统交连续性的这一缺陷, 在普通
dcpo上定义了交连续的概念, 并证明: 一个dcpo 是连续的当且仅当它既交连续又
拟连续. 目前该推广已成为 Domain 理论中交连续的标准定义[7].
由于拟连续性和交连续性是基于dcpo 上Scott 拓扑给出的, 因此一个自然的想法
是: 是否可在更一般的T0空间上定义拟连续性和交连续性? 最近,文献[13]定义了
一类新的拓扑空间——定向空间, 并证明了由定向空间构成的范畴具有cartesian
闭性, 赋予Scott 拓扑的一般偏序集范畴是该范畴的真子范畴. 由于定向空间与偏
序集赋予Scott 拓扑具有许多相似的特征, 因而在定向空间上引入拟连续性和交连
续性具有可能性. 本文基于定向空间的性质, 利用收敛性定义了拟连续空间和交连
续空间, 并得到如下主要结果: (1) 一个T0空间是拟连续的当且仅当它是局部强紧
的，当且仅当它的开集格在集包含关系下是超连续格，当且仅当它的sober 化是
拟连续dcpo; (2) 一个定向空间是交连续的当且仅当它的闭集格在集包含关系下是
一个Frame; (3) 一个T0拓扑空间是c-空间当且仅当它既是交连续的又是拟连续
的. 因此, 本文所引入的拟连续与交连续性是对Domain相关理论的扩展.
下面介绍本文所需的有关Domain理论和拓扑学的一些基本概念和符号[1,2,7].
设(P,≤)为偏序集. 非空子集A称为定向的, 若∀x,y∈A, 存在z∈A, 使得x≤z且
y≤z.P称为定向完备偏序集(简称dcpo), 若P中任意定向集D都有上确界(记为
∨D). ∀A⊆P, 记↓A={a∈P:∃x∈A，a≤x},↑A={a∈P:∃x∈A,x≤a}. 设(X,O(X))是一
个拓扑空间, A⊆X.符号和Ao分别表示A的闭包和内部.
设(X,O(X))是一个T0拓扑空间, 其上特殊化序定义如下:∀x,y∈X,x≤y⟺易证, T0空
间赋予特殊化序后为偏序集, 所有开集均是上集, 所有闭集均是下集, 且x.
本文中所有T0空间都看作赋予特殊化序的偏序集.
定义2.1 设P是一个偏序集.
(1) 记Bv(P)={P↓x:x∈P}以Bv(P)为子基生成的拓扑称为P的上拓扑, 记为v(P).
(2) 子集U⊆P称为Scott开集, 若U=↑U并且对于任意定向集D⊆U,∨D⊆U,意味
着D∩U≠∅. 由所有Scott开集构成一个拓扑, 称为Scott拓扑, 并记为σ(P).
显然, 上拓扑v(P)弱于Scott拓扑σ(P).
定义2.2 设X是一个T0拓扑空间
(1) X的一个网是指一个映射ξ:J→X，这里J是一个定向集. 通常,我们把一个网表
示为(xj)或(xj)j∈J. 设x∈X, 称(xj)收敛到x或x是(xj)的极限, 记为(xj)→x或
x≡lim(xj), 若(xj)终在x的每一个开邻域, 即, 任给x的开邻域U, 存在j0∈J,xj∈U
对所有j≥j0成立.
(2) W是X上的一个滤子,x∈X,称x是W的一个极限点, 或者W收敛于x, 若x的
全体邻域N(x)⊆W.
T0拓扑空间X的每个定向集D都可看成X的一个网. 若D收敛到x, 则记为D→x.
令D(x)={(D,x):x∈X,D是X的定向子集并且D→x}.容易证明, 若D是赋予Scott
拓扑的dcpo P的一个定向集, 则D→x当且仅当x≤∨D.
定义2.3[3] 设X是一个T0空间. 子集U⊆X称为定向开集, 若∀(D,x)∈D(X),x∈U
意味着D∩U≠∅.
显然, 开集是定向开集. 记所有定向开集为d(X).
定义2.4[13] 设(X,O(X))是一个T0拓扑空间.称X为定向空间, 如果每个定向开集
都是开集, 即对任意U⊆X,U是开集当且仅当对任意定向集D,若D→x,x∈U则
D∩U≠∅.
每个偏序集赋予Scott 拓扑是定向空间, 而关于上拓扑则不一定是定向空间.
定义2.5 设(X,≤)是一个偏序集,2X是X的幂集.
(1) ∀G,H∈2X
↑H⊆↑G;
(2) 设N(F)是由X的子集构成的非空集族, 若对任意F1,F2∈N(F), ∃F∈N(F),使F1，
F2≤F,即↑F⊆↑F1∩↑F2,则称N(F)是X的定向集族;
(3) 设G,H是X的两个非空子集, 若对X的任意定向集D, 当∨D∈↑H, 有
D∩↑G≠∅, 则称G way below H, 记作G≪H.
定义2.6 设P是dcpo, x∈P. 记pin(x)={F⊆P：F有限且F≪x}. 称P为拟连续
domain, 若∀x∈P,pin(x)是定向集族, 且∀y∈P, 当xy时, 存在F∈pin(x)使得
y∉↑F.
引理2.7(Rudin引理) 设N(D)是偏序集P的一个非空定向有限子集族, 则存在定向
集D⊆∪F∈N(D)F, 使得对任意F∈N(D),D∩F≠∅.
命题2.8 设P是dcpo, 则以下两条等价:
(1) P为拟连续Domain;
(2) ∀x∈P, ∀U∈σ(P), 若x∈U, 则存在有限集F⊆P, 满足x∈intσ↑F⊆↑F⊆U,这里
intσA表示A关于Scott拓扑的内部.
定义2.9[8] 设P为偏序集,在P上定义二元关系如下: ∀x,y∈P,x 里intv 表示关于上拓扑的内部算子. 完备格P称为超连续格, 若 ∀x∈P,x=∨{y∈P:y 在本文中, 若无特殊说明, 所有拓扑空间都要求具有T0分离性. 为引入拟连续空间,下面先将dcpo上的一些概念推广到T0空间上. 定义3.1 设X是一个T0空间, G,H是X的两个非空子集, 称G way below H(记作 G≪H), 若对X的任意定向集D, 当存在h∈H满足D→h∈H时有D∩↑G≠∅. 特别地,{y}≪H简记为y≪H,G≪{x}简记为G≪x.显然G≪H⟺∀h∈H,G≪h. 记X( 命题3.2 设X是一个T0拓扑空间,G,G′,H,H′∈2X value=""/>(〗∅},下述各条性质成立: (1) G≪H⟺G≤H; (2) G≤G′≪H′≤H⟺G≪H. 证明 (1).∀x∈↑H,∃h∈H,使h≤x. 由X是T0空间, 有{x}→h. 又G≪H, 所以 {x}∩↑G≠∅, 即x∈↑G, 从而↑H⊆↑G, 故G≤H. (2) 对任意定向集D⊆X, 设D→h∈H. 由H′≤H, 故存在h′∈H′, 使h′≤h, 则 D→h′∈H′. 又G′≪H′, 所以D∩↑G′≠∅. 由G≤G′, 有↑G′⊆↑G, 从而D∩↑G≠∅,即 G≪H. 引理3.3 设(X,O(X))是一个T0拓扑空间,D(M)⊆2X是在≤下为定向集族. 则 FM={A⊆X:∃M∈D(M),↑M⊆A}是一个滤子. 证明 任给A,B∈FM, 则存在M1,M2∈D(M)使得↑M1⊆A,↑M2⊆B. 因为D(M)是定 向的, 所以存在M∈D(M)使得↑M⊆↑M1∩↑M2⊆A∩B,从而 A∩B∈{A⊆X:∃M∈D(M),↑M⊆A}. 特别地, 我们记FM:={A⊆X:∃M∈D(M),↑M⊆A}, 表示由定向族D(M)生成的滤子. 如果滤子FM收敛于m, 则称定向族D(M)收敛于m, 记为D(M)→m. 由滤子收敛的定义有下述结果. 命题3.4 设(X,O(X))是一个T0拓扑空间, D(M)⊆2X是一个定向集族. 则D(M)→m 当且仅当任给m的开邻域U, 存在A∈M使得A⊆U. 对任意x∈X, 记fin(x)={F∈X( 定义3.5 一个T0空间X称为拟连续空间, 若下述两条成立: (1) X是定向空间; (2) 对任意x∈X,fin(x)是定向集族且收敛到x. 引理3.6 设D(F)是T0空间X的一个非空定向有限子集族, 若G≪H且D(F)→h∈H, 则存在F∈D(F)使得F⊆↑G, 即,G≤F . 证明 反证法. 若∀F∈D(F)，F↑G, 则F↑G≠∅. 显然{F↑G:F∈D(F)}为非空定向有限 集族. 由Rudin引理知, 存在定向集D⊆U{F↑G:F∈D(F)}, 使得 ∀F∈D(F),D∩(F↑G)≠∅.设U是h的开邻域. 由于D(F)→h, 故存在F∈D(F)使得 F⊆U, 从而U∩D≠∅, 即D→h. 因为G≪H, 所以D∩↑G≠∅. 即存在d∈D, 使得 d∈↑G. 此与d∈∪F∈D(F)F↑G矛盾. 命题3.7 一个定向空间X是拟连续的当且仅当对任意x∈X, 存在定向族 D(x)⊆fin(x)使得D(x)→x. 证明 由定义3.5, 必要性显然成立. 下证充分性. 设x∈X,G,H∈fin(x), 且存在定向族 D(x)⊆fin(x)使得D(x)→x. 则由引理3.6, 存在F∈D(x)使得G,H≤F. 从而fin(x)是定 向的. 由D(x)⊆fin(x),D(x)→x必有fin(x)→x. 命题3.8(插值性) 设X是一个拟连续空间,x∈X,H∈X( F⊆X使得H≪F≪x. 证明 考虑集族Φ={G∈X( 续空间(见定义3.5), 集族fin(x)定向从而非空. 任取F∈fin(x), 则F≪x. 同 理,∀y∈F ,Gy∈X( 接下来证Φ为定向集族. 设Gi∈Φ, 则存在Fi∈X( 是拟连续的, 集族fin(x)定向, 故存在F∈fin(x), 使得F1F2≤F. 由命题3.2, G1,G2≪F. 任给y∈F, 由X的拟连续性, fin(y)定向且fin(y)→y.由引理3.6, 存在 Fy∈fin(y)使得G1,G2≤Fy. 令E=∪y∈FFy, 则E≪F≪x并且E⊆↑G1∩↑G2. 从而Φ 为定向集. 再证Φ→x. 任取x的开邻域U, 由命题3.4及拟连续性, 存在W∈fin(x)使得W⊆U. 同理, 对任意w∈W, 存在Gw∈fin(w)使得Gw⊆U. 令G=∪w∈WGw, 则G≪F≪x 且G⊆U, 故Φ→x. 最后, 由已知条件H≪x和引理3.6, 存在G∈Φ, 使得G⊆↑H, 从而由Φ的定义, 存在 有限集F⊆X使得H≪F≪x. 设X为一个T0空间. 对任意F∈X( 定理3.9 设X是一个拟连续空间, 则有以下性质: (1) 任给F∈X( (2) 任给X的开集U, 若x∈U, 则存在F∈X( {F:F∈X( 证明 (1).设F⊆X是一个非空有限子集, D⊆X是一个定向集且D→x∈F.由插值性(命 题2.8),∃F′∈X( D∩F≠∅. 故F是定向开集. 因为拟连续空间是定向空间, 所以F是开集. 下证 F=(↑F)°. 显然,F⊆(↑F)o. 任给y∈(↑F)o及定向集D⊆X. 若D→y, 则D∩↑F≠∅. 从而 F≪y,y∈F. (2).设U⊆X是开集且x∈U. 由拟连续性及命题3.4,∃F∈fin(x)使得F⊆U. 从而 x∈F⊆↑F⊆U . 结合(1)可得, {F:F∈X( 接下来, 我们给出拟连续空间的等价刻画. 定义3.10 一个T0空间称为局部强紧的, 若对任意x∈U及x的任意开邻域U, 存 在F∈X( 容易看出, 局部强紧空间的非空子集U是开集当且仅当 U=∪{(↑F)o:F⊆U且F有限}. 定理3.11 (X,O(x))是一个T0拓扑空间, 则下述各条等价: (1) X为拟连续空间; (2) 对任意x∈X, 存在定向集族D(x)⊆fin(x)使得D(x)→x; (3) X是局部强紧空间; (4) 开集格O(X)是超连续分配格; (5) X的sober化XS是拟连续dcpo. 证明 (1)⟺(2).由命题3.7可得. (1)⟺(3).(1)⟺(3)由定理 3.9 可得. 下证(3)⟺(1). 首先证明X是一个定向拓扑空间. 反 证法. 假定U是定向开集, 但不是开集. 故存在x∈U, 任给F∈X( x∈(↑F)o⊆↑F, 则↑FU. 此时, 因U=↑U, 故FU≠∅. 令={FU：F∈X( 由于X是局部强紧的, 至少存在一个非空有限集F使得x∈(↑F)o. 因此, 是非空有限 集族. 任给F1U,F2U∈, 由x∈(↑F1)o∩(↑F2)o有, 存在非空有限集G使得 x∈(↑G)o⊆↑G⊆(↑F1)o∩(↑F2)o从而GU⊆↑(F1U)∩↑(F2U)o. 因此, 是定向的. 由 Rudin引理, 存在定向集D⊆∪, 使得对任意FU∈,D∩(FU)≠∅. 由于 {(↑F)o:F∈X( 故D∩U≠∅, 这与D⊆∪矛盾. 故U必是开集, 即, X是定向空间. 下证X为拟连续空间. 记B(x)={F∈X( 的定向集族. 显然,∀F∈B(x), F≪x. 由局部强紧性的定义, {(↑F)o:F∈X( 是x的开邻域基, 因此B(x)→x. 由命题3.7, X是拟连续空间. (3)⟺(4).首先, 开集格O(x)关于集包含关系是一个分配的完备格. 任给U∈O(X), 不 妨设U≠∅, 则由(4)有U=∪{(↑F)o:F⊆且F∈X( μF={V∈O(X):∀a∈F,VX↓a} 则μF是O(X)关于上拓扑v(O(X))的开集. 显然, 任给V∈O(X), V∈μF当且仅当 F⊆V. 因此, μF是U在开集格O(X)关于上拓扑的开邻域.令 Up[(↑F)o]={W∈O(X):(↑F)o⊆W},则U∈μF⊆Up[(↑F)o], 即,U属于(↑F)o生成的主 滤子关于开集格上拓扑的内部. 故由定义2.9, 开集格O(X)是一个超连续格. (4)⟺(5). 由于超连续分配格的谱空间是拟连续dcpo, 拟连续dcpo的开集格是超连 续的, 且开集格的谱空间是该拓扑空间sober化, 所以(4)和(5)等价,参见文献[7-9]. (4)⟺(3).设x∈U∈O(X). 则由O(X)是超连续格, 存在V∈O(X)使得x∈V W1,W2,…,Wn∈O(X)使得 U∈{W∈O(X):∀1≤i≤n, WWi}⊆{W∈O(X)：V⊆W}. 任取ai∈UWi(i=1,2,…,n), 并令F={ai:i=1,2,…,n}.下证V⊆↑F. 反证法. 假定 ∃u∈V↑F, 则F⊆X↓u, 从而X↓uWi(i=1,2,…,n). 故V⊆X↓u, 与u∈V矛盾. 因此, x∈V⊆↑F⊆U. 得证. 文献[9]已证明, 一个dcpo是拟连续的当且仅当其Scott拓扑是超连续格, 因此拟 连续dcpo是拟连续空间的一个特殊子类. 交连续性是Domain理论中一个重要的性质, 是拟连续与连续之间的纽带: 一个 dcpo是连续的当且仅当它既是交连续的又是拟连续的. 本节中, 我们将把交连续性 推广到定向空间, 并证明一个既是交连续的又是拟连续的空间恰好就是c-空间. 首先, 我们看交连续的原始定义. 定义4.1[7] 设P是一个dcpo交半格. 称P是交连续的, 若对任意x∈P及定向集 D⊆P, x∧∨D=∨d∈Dx∧d. 文献[10]把上述定义推广到一般的dcpo上, 现已成为Domain理论中交连续的标 准定义[7]. 定义4.2 设P是一个dcpo. 称P是交连续的, 若对任意x∈P及定向集D⊆P, x≤∨D⟺x∈clσ(↓D∩↓x). 这里, cl(↓D∩↓x)表示↓D∩↓x关于Scott拓扑σ(P)的闭包. 任意dcpo上交连续、拟连续及连续之间的关系如下. 定理4.3[10] 一个dcpo是连续的当且仅当它既是交连续的又是拟连续的. 接下来, 我们把交连续推广到定向空间上. 定义4.4 设X是一个定向空间. 称X是交连续的, 若对任意x∈X及定向集D⊆X, D→x⟺ 下面结论显然成立. 命题4.5 设X是一个定向空间. (1) 若X关于特殊化是一个dcpo且O(X)=σ(X), 则定义等价于定义4.2; (2) 在(1)的条件下, 若X还是交半格, 则定义还等价于定义4.1. 任给拓扑空间(X,O(X)), 记Γ(X)={A⊆X:XA∈O(X)}, 并赋予集包含序. 则Γ(X)是一 个完备格且对任意{Ai:i∈I}⊆ 定理4.6 设X是一个定向空间. 则下面三条等价: (1) X是交连续空间; (2) 任给x∈X及U∈O(X),↑(U∩↓x)是开集; (3) Γ(X)是一个Frame, 即,∀A∈Γ(X),∀{Ai:i∈I}⊆Γ(X),A∧∨i∈IAi=∨i∈IA∧Ai. 证明 (1)⟺(2).设x∈X,U⊆X是开集. 由于X是定向空间, 由定义2.4,只需证明 ↑(U∩↓x)是定向开集.任取定向集D⊆X,y∈X使得D→y∈↑(U∩↓x). 由y∈↑(U∩↓x), ∃z∈U∩↓x使得z≤y. 又由D→y有D→z. 因为X是交连续空间, 所以从而 U∩(↓D∩↓z)=↓D∩(U∩↓z)≠∅. 所以,D∩↑(U∩↓x)⊇D∩↑(U∩↓z)≠∅. (2)⟺(3).设A∈Γ(X),{Ai:∈I}⊆Γ(X).⊇显然成立. 下证A∧∨i∈IAi≤∨i∈IA∧Ai, 即⊆反 证法. 假定存在∉∪i∈IA∩Ai. 则存在x的开邻域U⊆X使得U∩∪i∈IA∩Ai=∅. 令 V=↑(U∩↓x), 则由(2), V也是x的开邻域. 注意到∅成立. 从而存在i0∈I,y∈X使得 y∈↑(U∩↓x)∩Ai0. 故存在z∈U,z≤x,y. 又因为闭集都是下集且x∈A, y∈Ai0, 所以 z∈U∩A∩Ai0. 此与假设U∩∪i∈IA∩Ai=∅矛盾. (3)⟺(1).设定向集D⊆X且D→x∈X. 则由从而得证. c-空间是由Erne,Ershov[3-6]引入的一类T0拓扑空间, 是连续dcpo的一种推广. 定义4.7 一个T0拓扑空间称为c-空间, 若 ∀x∈X,∀U∈O(x),x∈U⟺∃y∈X,x∈(↑y)o⊆↑y⊆U. 连续偏序集赋予Scott拓扑是c-空间, 但反过来并不成立. 比如实数集上赋予 Alexander拓扑是c-空间, 其拓扑严格细于Scott拓扑. 命题4.8 c-空间必是拟连续空间. 证明 由上述定义及定理3.2立即可得. 命题4.9 c-空间必是交连续空间. 证明 设X是一个c-空间. 由上述命题知, X是一个定向空间. 设D⊆X是一个定向集 且D→x∈X. 任给X的开邻域U, 则由定义4.7, 存在y∈X使得x∈(↑y)o⊆↑y⊆U. 故D∩↑y≠∅, 即,y∈↓D. 又y≤x, 所以y∈U∩↓D∩↓x, 即, 接下来我们证明交连续的拟连续空间是c-空间. 命题4.10 交连续的拟连续空间是c-空间. 证明 设X是一个交连续的拟连续空间. 设x∈X且U⊆X是x的开邻域. 由X的拟 连续性, 存在有限集F⊆X使得x ∈(↑F)o⊆↑F⊆U. 下证, 存在a∈F, x∈(↑a)o.反证法. 假定∀a∈F, x∉(↑a)o. 令F={a1,a2,…,an}. 由定理3.9,∀G ∈fin(x),∀1≤i≤n,G↑ai. 令Fi={G↑ai}, 则Fi是定向的非空有限集集族且Fi→x. 由Rudin引理, 存在定向集 Di⊆∪Fi, ∀G↑ai∈Fi,Di∩(G↑ai)≠∅从而Di→x且Di∩↑ai=∅. 由有, 存在 y1∈(↑F)o∩↓D1∩↓x, 从而D2→y1. 同理, ∃y2∈(↑F)o∩↓D2∩↓y1. 由归纳法, 当 1≤i≤n-1时, 存在∃yi+1∈(↑F)o∩↓Di+1∩↓yi. 从而, yn≤yn- 1≤…≤yi+1≤yi≤…≤y1. 由yn∈↑F, 必存在1≤i0≤n使得ai0≤yi0. 又yi0∈↓Di0, 所以yi0∈↓Di0∩↓ai0矛盾. 因此, 存在a∈F, X∈(↑a)o⊆↑a⊆U. 由定义 4.7, X是一 个c-空间. 综上, 我们得到本节的主要结果. 定理4.11 一个拓扑空间是c-空间当且仅当它既是交连续的又是拟连续的. 【相关文献】 [1] Abramsky S, Jung A. 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