2024年6月3日发(作者：)

抛物线y=ax

2

+bx+c的位置与系数a、b、c的关系

知识导航：

第一类：一目了然看图类：a、b、c、△

1、a的正负

抛物线开口方向。

2、a、b的符号共同决定对称轴的位置（左同右异）：

对称轴在y轴的左侧

a,b同号；对称轴在y轴的右侧

a,b异号；

b=0时

对称轴为y轴

3、c的符号

抛物线与y轴的交点位置

4、△的符号

抛物线与x轴交点的个数

第二类：a、b关系看轴类

b

5、通过对称轴直线x=

与 1或-1等的关系，探究2a+b、2a-b等的符号

2a

第三类：给x赋值看y类

6、通过x=1看y的符号可确定a+b+c符号，也就是看（1，a+b+c）这个点在x轴上方还

是下方或者在x轴上；同理有（-1，a-b+c）（2，4a+2b+c）（-2，4a-2b+c）等

11

7、通过x=看y的符号可确定a+2b+4c符号；x=-呢

22

第四类：神奇式子尝试类

像2c>3b这样神奇的式子，在图象中找一个等式和一个不等式，等量代换进行消元，这个

不等式可能需要做几次尝试后才能解决问题。

第五类：特殊位置探索类

函数的增减性、图象与x轴y轴的交点、顶点的位置等有痕迹可循，去认真探索解决问题

的途径。

1、二次函数y=ax

2

+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=-1.则ab>0，ac>0，a-b+c>0，

b

2

-4ac>0，2a+b>0

y

2

y

-

o

1

o

x

x

2、已知抛物线y=ax+bx+c如图所示，对称轴是直线x=-1.则①abc＞0；②b=2a；

③a+b+c＜0； ④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0

3、已知抛物线y=ax

2

+bx+c如图所示，对称轴是直线x=1。则①b＞0；②c<0；

③4a+2b+c＞0；④（a+c）

2

＜b

2

4、已知抛物线y=ax

2

+bx+c如图所示，则①abc＞0 ②b

2

-4ac＞0 ③2a+b＞0 ④a+2b+4c＜0

5、如图，抛物线y=ax

2

+bx+c如图所示，则①a+b>m(am+b)(m≠1) ②8a+b

2

>4ac

6、如图，抛物线y=ax

2

+bx+c如图所示，则

a>0、b>0、c<0、△>0;2a+b>0；

a+b+c>0、a-b+c<0、4a+2b+c>0；(a+c）

2

2

;

a+b>m(am+b)(m≠1)；8a+b

2

>4ac；a-4>0

7、如图所示，抛物线y=ax

2

+bx-2与x轴交于（x

1

,0）（x

2

,0）两点,且0

1

<1，1

2

<2，

则①3a+b<0, ②a+b>2, ③a+2b>0,④2a+b<1

bb1

提示：3a<-b进而

<3;a+b-2>0看x=1;a>-2b进而

>;4a+2b-2<0

a2a4

8、满足a﹤O，b＞0，c=0的函数y=ax

2

+bx+c的图象是图中的（ ）

9、已知二次函数y＝(m－2)x＋m－m－2的图像经过原点，则m的值是

10、抛物线y=3x

2

+（m-2）x+m-2，当m= _____ 时，图象的顶点在y轴上；当m= _____ 时，

图象的顶点在x轴上；当m= _____ 时，图象过原点

c

11、在同一坐标系中，函数y=ax

2

+c与y=（a﹤c）的图象可能是图中的（ ）

x

22

12、如图，抛物线y=ax

2

+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四

象限，设P=a+b+c，则P的取值范围是（ ）

A．﹣3＜P＜﹣1 B．﹣6＜P＜0 C．﹣3＜P＜0 D．﹣6＜P＜﹣3

提示：由（﹣1，0）和（0，﹣3）得a﹣b+c=0，﹣3=c， ∴b=a﹣3，

∴P=a+b+c=a+a﹣3﹣3=2a﹣6，下面找a的取值范围：

∵顶点在第四象限，∴a＞0， 根据左同右异可得b=a﹣3＜0， ∴a＜3， ∴0＜a＜3，

13、已知二次函数y=ax

2

+bx+c且 a<0，a-b+c>0,则一定有△___0

14、已知抛物线y=ax

2

+bx+c如图所示。则①abc<0；②2a+b>0；

③b

2

-4ac>0； ④a+b+c<0; ⑤4a-2b+c<0

15、已知抛物线y=ax

2

+bx+c如图所示。则①当-1≤x≤3时y<0；②2a+b=0；

③b

2

-4ac>0； ④9a+3b+c=0

16、已知抛物线y

1

=ax

2

+bx+c如图所示，顶点为A（1，3），与x轴交于点B（4，0），直

线y

2

=mx+n经过A、B两点。①abc>0；②2a+b=0；③方程ax

2

+bx+c=3有两个相等的实数根；

④a-b+c=0; ⑤当1

1

2

17、已知抛物线y=ax

2

+bx+c过点（-1，0），（0，2），顶点在第一象限，设P=4a+2b+c，

则P的取值范围是_____________

18、已知抛物线y=ax

2

+bx+c如图所示，设M=4a+2b,N=a-b，则M、N的大小关系是____

1

19、如图所示，抛物线y=ax

2

+bx+c与x轴交于点（-3，0），对称轴为直线x=-,则下列

2

结论正确的有_________

1

①abc>0；②3a+c>0；③当x<0时y随x的增大而增大；④方程cx

2

+bx+a=0的两个根为

、

3

b

2

4ac

1

；⑤<0；⑥若m、n(m2

4a

2

遇到好题随时补充