2024年6月14日发(作者：)

第四章力学量用算符表达与表象变换

1 1

4.1 ）设

A

与

B

为厄米算符，则—

AB BA

和

AB

一

BA

也是厄米算符。由此证明，任何一个算符

F

均可

2 2i

分解为

F

=F . • iFF

与

F_

均为厄米算符，且

F =2 F F ,

1

1

^2i

F

-

F

证：

i)

1

AB BA

1 11 B A A B BA AB AB BA

1 -AB BA

为厄米算符。

ii)

扌

AB

一

BA

二

—B A - A B

二 丄

BA - AB

1

二丄

1

AB - BA -2i

二

1

（

AB - BA ）

也为厄米算符。

iii）

令

F

二

AB

，则

F

二

AB = B A

；

= BA

,

且定义

F

T

F

「

F

由

i） ,ii

）得

F . = F , F_

= F_

，即

卩

F

和

F_

皆为厄米算符。

则由（1）式，不难解得

F iF

4.2）设

F （x, p）

是

x, p

的整函数，证明

'p,F

:

x

整函数是指

F(X, p)

可以展开成

F(X,p) =

v

C

mn

X

m

p

n

。

m,n =0

证： (1)先证

p,x

m

L

-mi x

m

4

, X, p

n

]

二

ni

pn/

。

p,x

m

] =

x

m

4

lp,x

「

p, x

m4

x

i x

m4

x

m

^ ip,xk p,x

m

Q x

2

--2i x

m4

x

m

：

b, x

殳

2

b,x

m

；

x

3

=-3i x

m4

■ 'p,x

m

^x

3

二…

=-m -1i

乂心■

b,x

m

—z x

m

_

--m -1 i x

m4

-i x

m

J

二

mi x

m4

同理，

2i 2i

1

(1)

X, p

n

.1 - p

n

二

X, p Z- X, p

n J

Ip

=i*p

n

' + p

n

~ IX, p

】

p + X, p

n

~

】

p

2

= 2i%

n

」+

k, p

，

】

p

2

n

=n

卷

p

n

」

现在，

Ip,F ]= |P, hC

mn

X”

=送

C

mn

b,X

m

Ip

"

Q

Q

C

mn

-mi x

mJ

p

n

m,n

兰

而

:F 7

-i —— C

mn

-mi x

mJ

p

n

。

-X

m,n £

X, F

丄

X,

V

C

mn

X

m

|

m,n=0

Q

Q

「

°o

pnl

GO

C

mn

X X, p

m,n =0

m n

二 '

C

mn

X

m

ni d

」

m,n =0

CX

m

ni p

°

mn

n

m,n =0

&,F I - i

亠

F

cp

4.3）定义反对易式

A,^ - AB BA

，证明

A

B

,

C

亠

A

B,

C

-A,C l.B A, BC -

A, B l.c -

B

'-

A

,

C

1.

证：

A

B

,

C

丄

A

B,

C

〔-

A,

C

B

=ABC - ACB ACB - CAB

二

A BC CB - AC CA B

二

A

B,

C

I - A,c 1 B

A, BC I - A, B C B A, c l - ABC - BAC BAC - BCA

- iAB BA C - B AC CA 1= A,B

丨

C - B

〔

A, C 1.

4.4 ）设

A

,

B

,

C

为矢量算符，

A

和

B

的标积和矢积定义为

AB

=" A

：

■,

:

, = x, y, z

,； 一：为 Levi-civita 符号，试验证