2024年6月14日发(作者：)

维普资讯

第２８卷第１０期　

计算机应用　

Ｖｏ１．２８　Ｎｏ．１０　

２００８年１０月　

Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　

０ｃｔ．２００８　

文章编号：１００１—９０８１（２００８）１０—２６３３—０３　

基于图割与ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ的凹型目标快速提取算法　

田丽丽　，郭敏　，徐秋平　

（１．陕西师范大学计算机科学学院，西安７１００６２；２．武警工程学院教育技术中心，西安７１００８６）　

（ｇｕｏｍｉｎ＠ｓｎｎｕ．ｅｄｕ．ｅｎ）　

摘要：将图割理论与ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ模型有机结合，提出了一种凹型目标的快速提取算法。首先用图割算法对初始　

轮廓线迭代变形，使其在快速提取非凹型段目标边界的同时将轮廓线有效地置于梯度矢量流力场的“有效逼近域”　

内，然后用ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ算法继续对轮廓线迭代变形，提取凹型段目标边界。实验表明，该算法能快速、准确提取凹型目　

标。　、　

关键词：目标提取；活动轮廓模型；梯度矢量流；图割　

中图分类号：ＴＰ３９１．４１　文献标志码：Ａ　

Ｆａｓｔ　ｃｏｎｃａｖｅ　ｏｂｊｅｃｔ　ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｇｒａｐｈ　ｃｕｔｓ　ａｎｄ　ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ　

ＴＩＡＮ　Ｌｉ．１ｉ　，ＧＵＯ　Ｍｉｎ　，ＸＵ　Ｑｉｕ—ｐｉｎｇ　，　

ｆ　１．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｓｈａａｎｘｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ　Ｓｈａａｎｘｉ　７１００６２，Ｃｈｉｎａ；　

２．Ｉｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎａｌ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｃｅｎｔｒｅ，Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆＡｒｍｅｄ　Ｐｏｌｉｃｅ　Ｆｏｒｃｅ，Ｘｉ’ａｎ　Ｓｈａａｎｘｉ　７１００８６，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ　Ｇｒａｄｉｅｎｔ　Ｖｅｃｔｏｒ　Ｆｌｏｗ（ＧＶＦ）Ｓｎａｋｅ　ｍｏｄｅｌ　ｗｉｔｈ　ｇｒａｐｈ　ｃｕｔｓ　ｔｈｅｏｒｙ，ａ　ｆａｓｔ　ｃｏｎｃａｖｅ　ｏｂｊｅｃｔ　ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ　

ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｗａｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｆｉｒｓｔ　ｔｈｅ　ｉｎｉｔｉａｌ　ｃｏｎｔｏｕｒ　ｗａｓ　ｄｅｆｏｒｍｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｇｒａｐｈ　ｃｕｔｓ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｗｈｉｃｈ　ｃｏｕｌｄ　ｐｕｔ　ｔｈｅ　ｉｎｉｔｉａｌ　

ｃｏｎｔｏｕｒ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｖａｌｉｄ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｒｅｇｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＧＶＦ　ｆｉｅｌｄ　ｔｏ　ｅｘｔｒａｃｔ　ｎｏｎ－ｃｏｎｃａｖｅ　ｐａｒｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｏｂｊｅｃｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ．Ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　ａｃｔｉｖｅ　

ｃｏｎｔｏｕｒ　ｗａｓ　ｉｎｐｕｔ　ｔｏ　Ｓｎａｋｅ　ｍｏｄｅｌ　ａｎｄ　ｂｅｇａｎ　ｉｔｓ　ｅｖｏｌｖｅｍｅｎｔ　ｔｏ　ｃｏｎｃａｖｅ　ｐａｒｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｏｂｊｅｃｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　

ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ａｌｇｏｉｒｔｈｍ　ｃａｎ　ｃｏｎｖｅｒｇｅ　ｔｏ　ｃｏｎｃａｖｅ　ｏｂｊｅｃｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｆａｓｔ　ａｎｄ　ａｃｃｕｒａｔｅｌｙ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｏｂｊｅｃｔ　ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ；ａｃｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｏｕｒ　ｍｏｄｅｌ；Ｇｒａｄｉｅｎｔ　Ｖｅｃｔｏｒ　Ｆｌｏｗ（ＧＶＦ）；ｇｒａｐｈ　ｃｕｔｓ　

０　引言　

取新算法，该算法从给定初始轮廓线的邻域开始，迭代切割，　

更新邻域，最终将活动轮廓线收敛至目标边界。算法对初始　

目标提取是图像处理、模式识别、计算机视觉等领域中首　轮廓线不敏感，参数少而简单，抗噪能力强，在Ｏ（ｎ　）内快　

要解决的关键问题之一。由于图像中边缘与噪声同分布在高　

速收敛，能容易地将分割目标从２维扩展到更高维，但由于采　

频区域等原因使得目标提取较为困难。Ｋａｓｓ　Ｍ等人…提出　

用最小代价切割的原则而使得该算法无法提取凹型目标。　

的活动轮廓模型（Ｓｎａｋｅ）首次给出了基于能量最小化进行目　

基于以上思想，本文将图割理论与ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ模型有机　

标提取的基本框架：在图像感兴趣区域（目标）上给出初始轮　

结合，提出了一种凹型目标提取的快速方法。我们采用图割　

廓线，最小化一个能量函数，使轮廓线在图像中运动变形，最　

法和ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ算法依次提取凹型目标边界的非凹型段和凹　

终逼近该区域（目标）的边界。但该模型无法提取具有较高　

型段，这样既避免了长时间的ＧＶＦ力场计算与轮廓线的大范　

曲率的凹型目标，而且要求初始轮廓线比较接近真实目标的　

围迭代逼近，又弥补了最小代价切割无法提取凹型目标的不　

边界。Ｘｕ　Ｃ等人口　提出了梯度矢量流（Ｇｒａｄｉｅｎｔ　Ｖｅｃｔｏｒ　Ｆｌｏｗ，　

足，从而达到快速、准确提取凹型目标的目的。　

ＧＶＦ）的概念，比较成功地解决了凹型目标提取和初始轮廓线　

的设置问题，使得Ｓｎａｋｅ模型得到进一步完善。但上述问题　

１　算法原理　

的解决需要较大的时间消耗为代价，从而使得ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ模　

１．１图割基本理论　

型的应用受到限制。　

设Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）为一无向图，其中，　为顶点集，　为边集。对于　

２００１年Ｂｏｙｋｏｖ　Ｙ等人　首次将图割（ｇｒａｐｈ　ｃｕｔｓ）理论引　

连接顶点集　中ｘ，Ｙ）的一条边ｅ，可视为从　到Ｙ和从Ｙ到　两　

入图像分割领域，提出了新的基于能量最小化进行目标提取　

的框架：将图像映射为一个网络，其中像素对应图中的节点，　

个不同的方向，分别记为（ｅ，　，Ｙ）和（ｅ，ｙ，ｘ）。对于Ｇ的每条边都　

像素特征之间的差异或相似性对应于边上的权重，割的容量　

进行上述操作，所获得的有向边的集合记为Ｅ。在Ｅ上定义容量　

对应能量函数。运用最大流／最小割算法对网络进行切割，得　

函数ｃ：Ｅ—Ｒ　。称上述图Ｇ及其边集上定义的容量函数Ｃ构成了　

一

到的最小割对应于待提取的目标边界。该框架具有快速、鲁　

个网络，记作Ｎ＝（Ｇ　ｔ，Ｃ），其中，ｓ，ｔ分别称为源点和汇点。称　

棒、全局最优、抗噪性强、可扩展性好等优点，它不仅成功应用　

满足如下条件的函数　：Ｅ—Ｒ为网络的一个流：　

于图像分割，而且为解决更一般的视觉问题提供了统一思　

１）对任意（ｅ，　，Ｙ）∈Ｅ（ｘ≠Ｙ），　（ｅ，　，ｙ）：一　（ｅ，ｙ，ｘ）；　

路　’　。就目标提取而言，人们提出了ｉｎｔｅｒａｃｔｉｖｅ　ｇｒａｐｈ　

２）对任意　∈叭｛ｓ，ｔ｝，　（　，　）＝　（ｅ）：０；　

ｃｕｔｓ［　＇　

ｇｒａｂｃｕｔ【　

ｓｔｅｒｅｏ　ｃｕｅ　ｃｕｔ［　

ａｃｔｉｖｅ　ｇｒａｐｈ　ｃｕｔｓ［　

（ｅ，　Ｅ　

，

，，

，　

３）对任意ｅ∈Ｅ，　（ｅ）≤ｃ（ｅ）。　

ｇｒａｐｈ　ｃｕｔｓ　ｂａｓｅｄ　ａｃｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｏｕｒｓ（ＧＣＢＡＣ）　等诸多算法。其　

中，ＧＣＢＡＣ算法是徐宁等人基于图割理论设计的一个目标提　

此时，称　（　，　）＝　（ｅ）为流　的流量。若Ｓ　Ｖ且　

收稿日期：２００８—０４—１６；修回日期：２００８—０６—１７。　基金项目：陕西省自然科学基金资助项目（２００５Ａ１２）。　

作者简介：田丽丽（１９８３一），女，湖北枣阳人，硕士研究生，主要研究方向：图像处理、模式识别；郭敏（１９６４一），女，江苏镇江人，副教授，博士，　

主要研究方向：模式识别、图像处理、数据融合；徐秋平（１９７６一），男，江西樟树人，讲师，硕士研究生，主要研究方向：图像处理、模式识别。　

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２６３４　计算机应用　第２８卷　

∈Ｓ，ｔ∈ＶｋＳ，称Ｓ，Ｖ＼Ｓ之间的边的集合为网络Ⅳ的一个割，割　

的容量定义为割中各条边容量之和，称网络Ⅳ中容量最小的割为　

网络Ⅳ的最小割。根据Ｆｏｒｄ—Ｆｕｌｋｅｒｓｏｎ的最大流／最小割定理　…，　

廓线发生形变且向目标边界逼近，需要进行足够多的ＧＶＦ力　

场迭代且要将初始轮廓线设置在“有效逼近域”内。另一方　

面，图割法虽然无法提取较高曲率的凹型目标，但对非凹型目　

标却有着快速提取的明显优势。因此，本文将图割法与ＧＶＦ　

可以通过计算图的最大流求得网络的最，，ｂｔ１．Ｉ。　

基于图割理沦求解计算机视觉问题的基本框架为：首先　

根据能量最小化模型构造能量函数，把视觉问题转化为能量　

函数最小化问题；然后构造一个网络，使能量与网络的割的容　

量相对应；最后根据图的网络流理论中的最大流／最小割定理　

Ｓｎａｋｅ模型有机结合起来，在保证对凹型目标提取的同时，提　

高了收敛的速度。　

本文算法基本思想是：首先，用图割法对目标进行迭代切　

割，得到目标的非凹型段边界；然后，用ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ算法继续　

给出能量函数的最小化解，从而获得视觉问题的解。　

ｌ视觉问题ｌ　

卜＿－＿＿－＿１构造能量函数Ｉ　

ｌ能量函数ｌ　

｝最小化问题Ｊ　

ｉｆ网络最小ｌ

ｉ．　！　

　

　．

；壬ｌ一１

一

　ｉｌ　网络最大ｌ流

圈茉　圈　　

问题　Ｉ　

——　

ｉ　

１．２　ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ模型　

传统Ｓｎａｋｅ模型在应用中存在着一些不足，比如对初始　

轮廓线敏感，不能很好地收敛至凹型目标。针对这些问题，　

Ｘｕ　Ｃ等人　提出了ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ模型。它通过最小化能量泛　

函（１）得到ＧＶＦ力场。　

＝　Ｉｚ（ｕ：＋　＋　：＋　）＋｝ｖｆｌ　！Ｉ，一Ｖ／｝　ｄｘｄｙ（１）　

其中，　是调整系数，取值与图像噪声正相关。ｕ　，“　，　，　分　

别为Ｕ，　对　，Ｙ的偏导数。－厂是图像的边缘图，在边缘处值较　

大，一般定义为对原图像进行高斯滤波后的梯度图：＿厂（　，　

Ｙ）＝ｆ　（Ｇ　（　，Ｙ）　ｌ（ｘ，Ｙ））ｌ　。图２为分别用传统Ｓｎａｋｅ　

和ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ对一幅典型“Ｕ”型图作用得到的力场。　

（ａ）大小为２５６×２５６１￣Ｊ“Ｕ”型图（ｂ）传统ｓｎａｋｅ模型的外部力场　

（ｃ）ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ￣型　（ｄ）ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ￣型外部　

的外部力场　力场的局部放大　

图２传统Ｓｎａｋｅ模型和ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ模型的外部力场　

可以看出，ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ外部力场的作用范围远大于传统　

Ｓｎａｋｅ力场的作用范围，而且在凹口处ＧＶＦ力指向下。因此，　

ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ模型比较成功地解决了凹型目标提取问题，是对　

传统Ｓｎａｋｅ模型的一个重大改进，但是ＧＶＦ力场的扩大是以　

增加ＧＶＦ的迭代次数为代价的，导致算法的运行速度变慢。　

２　本文算法　

由于用ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ模型提取凹型目标时，为保证初始轮　

迭代逼近，得到目标的凹型段边界。　

２．１　非凹型段边界提取　

本阶段使用图割法迭代变形初始轮廓线，使其收敛到凹　

型目标的非凹型段边界。算法假定真实目标边界在一定宽度　

的邻域内对应的能量函数最小，基本过程为：以初始轮廓线　

ｃ０为轴膨胀得到一个环状的固定宽度轮廓线邻域，将该环状　

邻域映射成一个网络，其中邻域内边界对应网络的源点，外边　

界对应网络的？［点。运用节点同一化操作将多源多汇的网络　

转化为单源单汇。然后运用超额调整预流推进算法对网络进　

行切割，得到一条在该邻域内能量函数最小的新轮廓线。之　

后以该新轮廓线为轴更新邻域、迭代切割，直到轮廓线不再发　

生变化时算法终止，得到轮廓线ｃｌ。　

一

般地，初始轮廓线与目标边界之间多为同质区域，此　

时，轮廓线的每次迭代都能直接收敛至邻域的内边界，从而使　

活动轮廓线向目标边界快速逼近。以“Ｕ”型图为例，初始轮　

廓线ｃＯ近似取在图像边界与目标边界的中问，活动轮廓线　

变形过程如图３所示。该算法的时间渐近复杂度为　

Ｏ（　），能在近似线性级内（图３（ｄ））快速提取目标的非凹　

型段边界。　

硌　

（ｂ）迭代１次后的活动轮廓线　

…　……．

≠，　

！　

｜　

霉　

厘　

……一…一　……　

苫　

………　………’　

／　

■．Ｚ■　＝＝＝＝：　

，　

ｆ　

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第１０期　

２．２凹型段边界提取　

田丽丽等：基于图割与ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ的凹型目标快速提取算法　２６３５　

可以看出，图割算法不仅完成了非凹型段的提取，而且将　

轮廓线置于ＧＶＦ力场的“有效逼近域”中，之后用ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ　

算法成功完成了凹型段的提取。　

由于图割法无法提取较高曲率的凹型边界，因此本阶段　

使用ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ对上一阶段检测到的轮廓线ｃｌ继续迭代变　

形逼近到凹型目标的凹型边界，从而完成整个凹型目标的提　

取。基本过程为：首先根据图像含噪声多少初始化调整系数　

并设置力场迭代次数，计算ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ的外力；然后初始化　

光滑系数　和刚性系数口，计算ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ的内力；最后设置　

轮廓线逼近次数最小化能量函数，得到最终轮廓线ｃ２。　

力场迭代次数和轮廓线逼近次数是算法中两个重要的参　

数，只有经过一定数量的迭代才能保证轮廓线正确收敛至目　

表１是在设置同样初始轮廓线的前提下，两个算法时间　

消耗的对比。可以看出，本文算法平均耗时仅为ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ　

算法的２６．８８％。　

表１　本文算法与ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ算法提取凹型目标时间消耗的对比　

标边界，然而，过多的迭代次数却会造成算法运行时间长。研　

究表明　，ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ算法运行时间与力场迭代次数和轮廓　

逼近次数成正比。因此，为了降低算法的时间复杂度，就必须　

减少迭代次数。本文算法由于在上一阶段图割法中快速完成　

了凹型目标非凹型段的提取，同时将轮廓线置于ＧＶＦ力场的　

“有效逼近域”中，因此，此阶段ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ算法只需要计算　

尽可能小的ＧＶＦ力场，进行尽可能少的迭代逼近，用最小代　

价完成凹型目标凹型段的提取。　

３实验结果与分析　

实验平台：Ｗｉｎｄｏｗｓ　ＸＰ　ＳＰ２　Ｐｒｏｆｅｓｓｉｏｎａｌ，Ｍａｔｌａｂ　Ｒ２００７ｂ，　

ＣＰＵ：Ｉｎｔｅｌ　Ｅ６３２０，ＲＡＭ：１　ＧＢ。　

考虑凹区数量、凹区所占比例、噪声、图像类型等因素，选　

取４幅图像，分别用本文算法和ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ算法来提取其中　

的凹型目标。　

图４是本文算法实验的结果。其中，第１列设置图像的　

初始轮廓线；第２列是由图割法得到的轮廓线；第３列是ＧＶＦ　

（ｄ）　

图４用本文算法提取凹型目标　

４　结语　

目标提取作为图像处理、模式识别、计算机视觉等领域中　

一

项重要的关键技术，为其设计一个快速有效的算法将为后　

续的目标特征提取、识别与分类、跟踪、理解等研究打下良好　

的基础。本文结合图割理论与ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ模型，提出了一个　

提取凹型目标的快速算法。理论分析及仿真实验表明，该算　

法既继承了ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ算法提取凹型目标的优势，又保留了　

图割算法快速收敛的特性，实现了优化效果。　

参考文献：　

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ｉｎｇｓ　ｏｆ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｎ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｖｉｓｉｏｎ．【Ｓ．１．】：　

ＩＥＥＥ．２００１：１０５一】１２．　

［６］　ＲＯＴＨＥＲ　Ｃ，ＫＯＬＭＯＧＯＲＯＶ　Ｖ，ＢＬＡＫＥ　Ａ．Ｇｒａｂｃｕｔ：Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｖｅ　ｆｏｒｅ．　

ｇｒｏｕｎｄ　ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ　ｕｓｉｎｇ　ｉｔｅｒａｔｅｄ　ｇｒａｐｈ　ｃｕｔｓ［Ｃｌ／／Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇ　ｏｆ　ｔｈｅ　２ＯＯ４　

ＳＩＧＧＲＡＰＨ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：ＡＣＭ，２００４：３０９—３１４．　

［７］　ＫＯＬＭＯＧＯＲＯＶ　Ｖ，ＣＲＩＭＩＮＩＳＩ　Ａ，ＢＬＡＫＥ　Ａ，ｅｔ　ａ１．Ｂｉ—ｌａｙｅｒ　ｓｅｇ—　

ｍｅｎｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｂｉｎｏｃｕｌａｒ　ｓｔｅｒｅｏ　ｖｉｄｅｏ［Ｃ】／／ＩＥＥＥ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｏｃｉｅｔｙ　

Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｖｉｓｉｏｎ　ａｎｄ　Ｐａｔｔｅｒｎ　Ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ．Ｗａｓｈｉｎｇ—　

ｔｏｎ，ＤＣ：ＩＥＥＥ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｏｃｉｅｔｙ，２００５：１　１８６—１　１９３．　

【８】　ＪＵＡＮ　Ｏ，ＢＯＹＫＯＶ　Ｙ．Ａｃｔｉｖｅ　ｇｒａｐｈ　ｃｕｔｓ【Ｃ］／／ＩＥＥＥ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ　

ｏｎ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｖｉｓｉｏｎ　ａｎｄ　Ｐａｔｔｅｒｎ　Ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ．Ｗａｓｈｉｎｇｔｏｎ，ＤＣ：　

ＩＥＥＥ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｏｃｉｅｔｙ，２００６：１０２３—１０２９．　－　

【９］ＸＵ　Ｎ，ＡＨＵＪＡ　Ｎ，ＢＡＮＳＡＬ　Ｒ．Ｏｂｊｅｃｔ　ｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ　ｕｓｉｎｇ　ｇｒａｐｈ　

ｃｕｔｓ　ｂａｓｅｄ　ａｃｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｏｕｒｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｖｉｓｉｏｎ　ａｎｄ　Ｉｍａｇｅ　Ｕｎｄｅｒ－　

ｓｔａｎｄｉｎｇ，２００７，１０７（３）：２１０—２２４．　

［１Ｏ］ＣＯＯＫＷ　Ｊ，ＣＵＮＮＩＮＧＨＡＭＷＨ，ＰＵＬＬＥＹＢＬＡＮＫＷＲ　ｅｔ　ａ／．Ｃｏｍｂｉ—　

ｎａｔｏｒｉａｌ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｍ】．ＮｅｗＹｏｒｋ：ＪｏｈｎＷｄｅｙ＆Ｓｏｎｓ，１９９８．　

【１１］于磊，范延滨，刘彩霞．ＧＶＦ　Ｓｎａｋｅ模型时间复杂度的研究［Ｊ］．　

计算机工程与应用，２００６，４２（３５）：３３—３６．