2024年4月19日发(作者：)

§3 弧 度 制

, )

1．问题导航

(1)“1弧度”指的是“1度的角所对的弧”吗？

(2)“2 rad”的角终边在第几象限？

(3)30°的角化为弧度是多少？120°是30°的几倍？其弧度数是多少？

2．例题导读

P

10

例1.通过本例学习，学会把角度换算成弧度，并留意，不要用“rad”的中文名称“弧度”作单位写在

数据的后面．

试一试：教材P

12

习题1－3 T

1

你会吗？

P

10

例2.通过本例学习，学会把弧度换算成度，并留意，“度”的单位“°”不能省略．

试一试：教材P

12

习题1－3 T

2

你会吗？

1．度量角的单位制

(1)角度制

规定周角的

1

360

为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．

(2)单位圆

半径为1的圆称为单位圆．

(3)弧度制

当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，称这个常数为该角的弧度数．

在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是rad，读作弧度．这种以弧度作

单位度量角的单位制，叫作弧度制．

2．弧度数与弧长公式

(1)符号：一般地，任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是

0．

(2)公式：如图所示，l、r、α分别是弧长、半径、弧所对的圆心角的弧度数．

弧度数公式：|α|＝

l

r

；

弧长公式：l＝|α|r；

这就是说，弧长等于弧所对的圆心角弧度数的确定值与半径的积．

3．角度制与弧度制的换算

(1)角度与弧度的互化

角度化弧度 弧度化角度

360°＝2π rad 2π rad＝360°

180°＝π rad π rad＝180°

1°＝

π

180

rad≈0.017_45 rad

1 rad＝

180

π

°≈57.30°＝57°18′

(2)一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系

角度

数

0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150°

弧度

πππ2π3π5π

数

0

12

π

6

π5π

43

12

2

3

4

6

角度

数

180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

弧度

3π5π7π11π

数

π

7π5π4π

6

4

3

2

3

4

6

2π

4.弧长公式及扇形面积公式的两种表示

角度制 弧度制

弧长公式

l＝

|n|πr

180

l＝|α|r

扇形面积

|

公式

S＝

n|πr

2

360

S＝

|

α

|

2

r

2

＝

1

2

lr

留意事项 r是扇形的半径，n是圆心角的角度数

r是扇形的半径，

α

是圆心角的弧度数，

l是弧长

明显弧度制下的两个公式在形式上都要简洁得多，记忆和应用也就更加便利．

留意：在弧度制下的弧长公式、面积公式有诸多优越性，但假如已知角是以“度”为单位，则应当先化

成弧度后再计算．

1．推断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”

)

(1)1弧度指的是1度的角．( )

(2)周角的大小是2π.( )

(3)弧长为π，半径为2的扇形的圆心角是直角．( )

解析：(1)错误.1弧度指的是长度等于半径长的弧所对的圆心角．

(2)正确．周角的大小是

2πr

r

＝2π.

(3)正确．若弧长为π，半径为2，则|α|＝

π

2

，故其圆心角是直角．

答案：(1)× (2)√ (3)√

2．下列转化结果错误的是( )

A．60°化成弧度是

π

10

3

B．－

3

π化成度是－600°

C．－150°化成弧度是－

7π

6

D.

π

12

化成度是15°

解析：选C.对于A，60°＝60×

ππ

1010

π

180

＝

3

；对于B，－

3

π＝－

3

×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×

180

＝－

5π

6

；对于D，

π

12

＝

1

12

×180°＝15°.

3．已知圆的半径为2，则弧长为4的弧所对的圆心角α(0<α<2π)的弧度数为________．

解析：|α|＝

l4

r

＝

2

＝2.

答案：2

4．若扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长l＝________，面积S＝________．

解析：由于α＝60°＝

π

3

，r＝1，所以l＝|α|·r＝

π

3

，

S＝

11

ππ

2

r·l＝

2

×1×

3

＝

6

.

答案：

π

3

π

6

1．对弧度制概念的三点说明

(1)“1 rad”是指：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，不是弧长，这个角是固定的，与圆的半

径的长度无关．

(2)引入弧度制后，角的集合与实数建立一一对应关系，我们今后表示角时，多用弧度制表示．

(3)表示角时π就是无理数，它表示一个实数，同1 rad角的大小一样，π rad的角表示：长度等于半径

的π倍的圆弧所对的圆心角，在推断有理数表示角的象限，与π比较大小时，有时需要把π化为小数．

2．对弧度数计算公式的说明

我们常用α＝

l

r

来求解圆中圆心角所对弧度数，一般来说，在圆中弧长是个正数，故得出的圆心角也为正

数．但在平面直角坐标系中，所求的角不肯定为正角，所以经常依据需要在角α上添加正负号，故这个求弧

度数的公式经常记为|α|＝

l

r

.

3．角度与弧度的区分与联系

(1)定义不同，大小不同

区分 (2)单位不同

(3)弧度制是十进制，而角度制是六十进制

(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径

联系

大小无关的值，仅和半径与所含的弧这两者的比值有关

(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化

(3)表示角时，弧度制与角度制不能混用

4.角度制与弧度制换算时应留意的四个问题

(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度(rad)”可以省略不写，假如以度(°)为单位表示角的大小时，度

(°)不能省略不写．

(2)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度．

(3)有些角的弧度数是π的整数倍时，如无特殊要求，不必把π化成小数．

(4)用“弧度”与“度”去度量每个角时，除了零角以外，所得的结果都是不同的，二者要留意不能混淆．

5．角度制与弧度制换算的要点

角度与弧度的互化

(1)把112°30′化为弧度；

(2)将－

5

12

π rad化为度．

(链接教材P

10

例1、例2)

[解] (1)由于1°＝

π

180

rad，

所以112°30′＝112.5°＝112.5×

π

5

180

＝

8

π.

(2)由于1 rad＝

180

π

°，

所以－

5

12

π＝－

5

12

π×

180

π

°＝－75°.

方法归纳

(1)在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键．由它可以得到：度数×

π

180

＝弧度

数，弧度数×

180

π

°＝度数．

(2)特殊角的弧度数与角度数对应值今后常用，应熟记．

(3)在同一个角的表达式中，角度和弧度不能混合使用．

1．(1)－690°化为弧度是

( )

A．－

5π

3

B．－

7π

3

C．－

23π13π

6

D．－

6

(2)①18°＝________ rad；

②67°30′＝________ rad；

③

3

10

π rad＝________度；

④2 rad≈________度．(保留一位小数)

解析：(1)由于1°＝

π

180

rad，所以－690°＝－690×

π

23

180

＝－

6

π.

(2)①18°＝

π

180

×18 rad＝

π

10

rad；

②67°30′＝67.5°＝67.5×

π

3

180

rad＝

8

π rad；

③

33

180

10

π rad＝

10

π×

π

°＝54°；

④2 rad≈57.3°×2＝114.6°.

答案：(1)C (2)①

π

10

②

3

8

π ③54 ④114.6

用弧度表示终边相同的角

(1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并推断它是第几象限角？

(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中

α

的终边相同，求

β

.

(链接教材P

12

习题1－3T

7

)