2024年4月28日发(作者：)

意味特教你切披萨的完美方法

工作后与同事共进午餐应该是一个放松的时刻-最费神的是要决定吃什么、喝什么以及

选择甜点。对Rick和Paul Deiermann来说，这从来不是那么简单的。例如，如果他们没

有仓促地陷入怎样切一块披萨的数学问题，他们是不会考虑共享一块披萨的。Mabry回忆

起他们都在路易斯安那州大学的时候，说："我们至少共进午餐一周一次，我们俩会有一个

带着笔记本，我们在画各种图形，而食物已经变凉了。"

使他们迷惑的问题是这样的。假设急匆匆的服务生是从偏离中心的位置切一块披萨的，

但是所有边-到-边的切线（即切披萨的线）都相交于一点，且相邻切线间的角度是相等的。

偏离中心的切法意味着披萨片的大小是不同的，因此如果两个人轮流按顺序依次拿披萨直

到他们分完，那么他们会得到相同量的披萨吗？如果不会，谁拿到的更多？

当然你可以估计每一块的面积，把面积加起来得到每个人拿到的总面积。但是这两个

人是数学家，所以他们不会这样做。他们希望能够把这一问题的实质归纳成几条普遍的、

可证明的定理，以避免精确的计算，并希望只要是圆形的披萨，这些定理都适用。

和许多数学上的谜题一样，这一问题登上了舞台-每个人都在寻找不同的可能的情况。

最简单的例子是考虑什么时候至少有一刀是恰好经过披萨中心的。一种快速粗略的想法是

披萨片是沿着经过中心的那一刀成对分布的，因此无论切多少刀，两个人都能吃到同量的

披萨。

要是这样就好了。如果没有一刀是经过中心的呢？对于只切一刀的披萨，问题很明显：

谁吃到了中心，谁就吃得多。切两刀分成四块的情况表明同样的结果：吃到含有中心那块

披萨的人得到更多。但当切更多的刀时，这证明是违反了三个定理，这一问题出现在以后

的很多年里，形成了完整的披萨定理。

第一个人提出，如果通过你选择的一点切一块披萨，刀数是大于2的偶数，那么披萨会

在两个用餐者之间平均分配，如果两个人是轮流吃的话。1967年，一个叫的人

在《数学》杂志上首次探讨了这一方面，他没有为刀数为2时的情况费心：他要求读者去证

明切四刀时（八块披萨）,两个人仍能平均分享披萨。接下来对于大于四刀的偶数，出现了

问题的通解。1968年，Upton的问题首次得到解答，答案使用基本的代数计算算出了不同

披萨片的精确面积，它表明，披萨总是能够在两个人中间平均分配。

如果刀数为奇数，问题变得更加复杂。披萨定理认为如果你分别用3、7、11、15刀来

切，且没有一刀是经过中心的，那么吃到有中心披萨片的人吃得多。如果你用5、9、13、

17刀来切，吃到有中心披萨片的人吃得少。

然而要严格证明这个理论却非易事。事实上，它是如此困难以至于Marby和

Deiermann只能用一种包含所有可能情况的证明来定稿。

Marby和Deierman对这一问题的探求始于1994年，当时Deiermann给Mabry看

了披萨问题的修订版，并再一次刊登在《数学杂志》上。读者们被邀请来证明披萨定理的

两种特例。首先，如果披萨被切了三次（六块）,吃到有中心披萨片的人吃得多。其次，如

果披萨被切了五次（十块）,吃到有中心披萨片的人吃得少。

第一种观点是用来抛砖引玉的：它早已被作者证明过。而第二种观点前面加了一个星

号-在《数学杂志》上，这一小符号代表了一个大问题。它表明，提出者本人还没有办法证

明他们提出的观点。"也许大多数数学家已经想过，如果他们都不能解决，那我将放弃研究

它，"Marby说。"去解决这个问题，我们已经够蠢了。"

Dieermann对三刀问题的答案快速列了草图，Marby回忆说"是我见过的最聪明的事

情之一。"他们继续证明了五刀切的理论-尽管在过程中又出现了新的难题-然后证明了七刀

切的理论，如果你对一块披萨切七次，你将得到与切三次相同的结果，即吃到含有中心的

披萨片的人吃得更多。

受到成功的鼓舞，他们认为也许他们偶然发现了一种技术，这种技术能一劳永逸地证

明整个披萨定理。对于刀数为奇数的切法，相对的披萨片不可避免地被不同的人所食用，

因此一种直观的解决方法是简单地比较相对两块披萨片的大小，然后计算出谁吃得多，然

后比较下一对披萨片的大小。当披萨的一整圈都轮完了，你就可以把结果加起来，得到结

果了。

理论上很简单，但要提出一种方法来概括刀数为偶数时所有可能的情况，实际上困难

得多。Mabry和Deiermann希望他们可以用一种简洁的几何方法把问题简化。问题的关

键是在每一刀之间的长方形以及与穿过中心线平行的线。那是因为相对的两块披萨面积的

大小可以用长方形的面积来表示。"长方形的面积公式比披萨的简单得多。"Marby说："

并且长方形给出了这一问题有关方面的直观证据。"

不幸的是，这一方法仍然包含了一系列复杂的代数计算，还涉及了复杂得三角函数。

这个表达式令人头痛，尽管如此，他们还是不得不计算出精确结果，他们仍要证明谁得到

更多披萨的观点是正确的还是错误的。结果证明这是一个巨大的障碍。"最终耗费了11年才

弄清楚",Marby说。

在接下来的几年里，两个人偶尔会讨论一下披萨问题，但是只有有限的进展。2006年，

问题终于有了突破，此时Mabry正在法国极靠南的Kempten渡假。"我住在一个很好的

旅馆房间里，舒服凉爽的环境，没有电脑，"他说"我再一次开始想这个问题，就是那时所

有一切都想通了。"此前，Mabry和Deiermann在东南部的密苏里州大学，一直用计算机

程序检验他们的结果。但是，直到Mabry放下了计算机技术，问题才迎刃而解。他成功地

把代数公式改进成了更易处理、更简洁美观的形式。

回家后，他又用计算机开始了工作。他怀疑有人在其他地方已经就计算出了这种结果

看起来很简单的形式，可能存在于一些新表达式中，因此他去网上搜索，大范围中组合起

来的各种关键词-一种只有在数学中才用到的方法，涉及列表、计算和重排-这可能能使他

找到一直在寻找的结果。

最终他找到了他想要的：一篇1999年的论文，引用了一个1979得数学观点。在那里，

他找到了他们需要的工具，用这个工具可以说明长方形面积的复杂代数公式是正确的还是

错误的。剩下的证据一一得到了证明。

因此，随着披萨定理被证明了，那么一些重要的实际问题就能更容易地解决了吗？事

实上，人们还看不到披萨定理会有什么应用-并不是Mabry过分悲观了。他说；"对数学家

来说，这是一个有趣的问题，我们通常不关心结果是否能有应用因为结果本事就很完美。"

有时，抽象数学问题的解答确实会在意想不到的领域中得到应用。例如，19世纪一个数学

家的好奇心-叫做"空间-充满曲线"-一种早期的分形曲线-最近重新浮出水面，作为模拟人类

基因组形状的模型。

Mabry和Deiermann继续检验了一系列其他的关于披萨的问题。例如，谁会吃到更

多的披萨皮？谁会吃到更多的奶酪？如果披萨是方形的，情况又该如何呢？如果增加了维

数情况又会怎样，这同样引起数学家的兴趣。一个三维的披萨，是一个半圆形的烤馅饼，

一个充满各种披萨配料的面包袋，它又会引出一系列关于半圆形的猜想，其中的一些已经

被Mabry和Deiermann证明了。它是一种热情，多年里渐渐变成了一种理论。如果下次

你去吃披萨，看到某个人在纸巾上涂写公式，那一定不是Mabry."虽然会破坏我曾经希望

得到的披萨定理，但我这些日子确实不再吃很多美国披萨了。"