2024年5月1日发(作者：)

假设一堆由1分,2分,5分组成的n个硬币总

面值为m分,求一共有多少种可能的组合方式

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假设一堆由1分、2分、5分组成的n个硬币总面值为m分，求

一共有多少种可能的组合方式，这是一个比较经典的面试题目。解决

这个问题的关键在于排列组合的知识和递归思想。下面我们来分步骤

解决这个问题。

Step 1 确定递归函数

我们可以定义一个递归函数f(n,m)，表示n个硬币总面值为m的情况

下，有多少种可能的组合方式。当n=0，m=0时，只有一种可能的组合

方式，即什么也不选。当n=0，但是m不为0时，表示无法凑出总面值，

此时组合方式为0。

Step 2 确定递归出口

当硬币数为0个，总面值为0时，递归函数的出口即为1。

Step 3 寻找递归公式

当硬币总数n>0时，我们需要按照以下思路寻找递归公式：

①当选择了当前硬币的面值后，总的硬币数n-1，总的面值m-k

（k为当前硬币面额），即f(n-1,m-k)；

②当不选择当前硬币面值时，总的硬币数n不变，总的面值m。

那么，递归公式就是： f(n,m) = f(n-1,m-1) + f(n-1,m-2) +

f(n-1,m-5)

Step 4 编写代码

根据以上递推公式编写代码，具体如下：

def coin_combination(n, m):

if n==0 and m==0:

return 1

if n==0 or m<0:

return 0

return coin_combination(n-1, m-1) + coin_combination(n-1,

m-2) + coin_combination(n-1, m-5)

调用函数coin_combination(n,m)就可以得到答案。

以上就是解决这个问题的一般步骤，当然还有一些特殊情况需要

考虑，例如硬币面值只有1分时，递归公式就变成了f(n,m) = f(n-

1,m-1)。另外，我们还可以通过动态规划的方式，利用一个二维数组

来存储计算过的结果，提高效率。

总的来说，这是一道比较经典的算法问题，需要对递归和排列组

合有一定的基础。希望大家通过这个例子，更好地理解和掌握这两个

概念。