2023年12月20日发(作者：)

第20讲 幻方与数阵图扩展

兴趣篇

1、把1，2，…，9填入图中9个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上3个数之和都相

等。

2、（1）如图1，在3×3的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角

线上所填数之和都相等。

（2）如图2，在4×4的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角

线上所填数之和都相等。

3、在图所示的3×4方格表的每个方格中填入恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等，

各列所填的数之和也相等。现在一些数已经填出，标有符号“*”的方格内所填的数是多少？

4、如图，请在空格中填入适当的数，组成一个三阶幻方。

5、请将图所示的5×5方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性

质：方格表中每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，1、2、3、4、5

恰好各出现一次。请问：标有符号“△”，“▽”和“◯”的方格中所填的数分别是什

么？

6、请将1至9这9个数填入图中的方框内，使得所有不等号都成立。所有满足要求的填法

共有多少种？

7、请在图所示的8个小圆圈内，分别填入1至8这8个数字，使得图中用线段连接的两个

小圆圈内所填的数的差（大减小）恰好是1、2、3、4、5、6、7。

8、将1至5这5个数字填入图中的圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等。

9、请在图中的六块区域内填入1、2、3、4、5、6，使得对每一个小圆圈来说，与它相邻的

区域内的数之和都相等。

10、将0至9填入图的10块区域中（阴影区域除外），使得每个圆内的三个数之和都是相等

的。请问：这个和最小是多少？最大是多少？

拓展篇

1、将1，2，3，…，24，25分别填入图的各个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的

数的和相等。现在已经填入了一些数，标有符号“*”的方格内所填的数是多少？

2、请在图的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中

的各数之和都相等。

3、（1）在图的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各

数之和都等于19.95。那么，标有“*”的方格内所填的数是多少？

（2）请在图的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个空

格中的各数之和都相等。

4、如图，大正方形的4个角上已填入4个数，4个数之和是264。奇妙的是，把这个图倒过

来看，大正方形4个角上的数之和仍然是264。请你在中间的小正方形的4个角的圆圈

里，填入另外4个数，使得每条对角线上的4个数正看和倒看时，其和都是264；而且

小正方形角上的4个数正看和倒看时，其和也都是264。

5、将1、2、3、5、6、7、9、10、11填入图中的小圆圈内，使得每条直线上各数之和都相

等。

6、请将1至10填入图中的10个圆圈中（9已经填好），使得除了第一行外每个圆圈内的数

都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差。

7、在图的7个圆圈内各填一个数，要求对于每一条直线上的3个数，居中的数是旁边两个

数的平均数。现在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好。

8、请将1个1，2个2，3个3，…，8个8，9个9填入图中，使得相同的数所在的方格都

连在一起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了其中8个方格中的数，并且

知道A、B、C、D、E、F、G各不相同；那么，七位数ABCDEFG是多少？

9、将数字1、2、3、4、5、6、7填入图中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之和与每

条直线上的3个数之和都相等。

10、将1至9填入图中的9个圆圈内，使4个大圆圈上的4个数之和都等于16。

11、图中一共有10个方格，现在把2至11这10个自然数填到里面，每个方格各填一个。

如果要求图中的3个2×2的正方形中的4个数之和都相等，那么这个和最小可能是多

少？请给出一种填法。

12、如图，大三角形被分成了9个小三角形。试将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入这

9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形三条边的每5个数相加

的和相等。这5个数的和最大可能是多少？请给出一种填法。

超越篇

1、请在图的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中

的各数之和都相等。

2、图是有名的“六角幻方”：将1至19这19个自然数填入图中的圆圈中，使得每一条直线

上圆圈中的各数之和相等。美国的数学爱好者阿当斯从1910年开始，到1962年，用了

52年的时间才找到了解答。我们给大家填入了6个自然数，请你完成这个“六角幻方”。

3、在图中有6个正方形，请你将1至9填入图中，使得每个正方形的4个顶点上的数字之

和都相等。

4、在图的七个圆圈中填入一些自然数，要求所填的自然数中最小的一个数是1，并且相邻

两个圆圈内的数字之差（大数减小数）恰好等于这两个圆圈之间标出的数字。

5、将1至9分别填入图中的9个圆圈内，使图中每条直线（图中有7条直线）上的圆圈内

所填数之和都相等，那么这个和是多少？

6、将0，1，2，…，9这10个数分别填入图中的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶

点上的数之和相等。这个和最大是多少？最小是多少？请分别给出使得和最大、最小的

填法。

7、在图中有11个空的圆圈，要求把1至13这些数填入各圈内（其中3、4已经填好），使

得上面2个圆圈内数的和，等于与它相连的下面的圆圈内的数（例如，虚线框中上面2

个圈中的数相加，它们的和应等于相连的下面1个圈中的数），并且最下面空着的4个圆

圈中的数之和等于43。

8、图中共有10个圆圈，6条直线。请问：

（1）能否将1至10填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？

（2）能否将0至9填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？

（3）请从1至11中去掉一个数后，将剩下的数填入图中使得每条直线上各数之和都相等。

第20讲 幻方与数阵图扩展

兴趣篇

1、把1，2，…，9填入图中9个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上3个数之和都相

等。

【答案】

2、（1）如图1，在3×3的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角

线上所填数之和都相等。

（2）如图2，在4×4的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角

线上所填数之和都相等。

【答案】（1）（2）

3、在图所示的3×4方格表的每个方格中填入恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等，

各列所填的数之和也相等。现在一些数已经填出，标有符号“*”的方格内所填的数是多少？

【答案】1

4、如图，请在空格中填入适当的数，组成一个三阶幻方。

【答案】答案不唯一，例如

5、请将图所示的5×5方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性

质：方格表中每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，1、2、3、4、5

恰好各出现一次。请问：标有符号“△”，“▽”和“◯”的方格中所填的数分别是什

么？

【答案】△=5，▽=5，

◯=4

6、请将1至9这9个数填入图中的方框内，使得所有不等号都成立。所有满足要求的填法

共有多少种？

【答案】2种

7、请在图所示的8个小圆圈内，分别填入1至8这8个数字，使得图中用线段连接的两个

小圆圈内所填的数的差（大减小）恰好是1、2、3、4、5、6、7。

【答案】

8、将1至5这5个数字填入图中的圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等。

【答案】中间的小圆圈填5，和是10

9、请在图中的六块区域内填入1、2、3、4、5、6，使得对每一个小圆圈来说，与它相邻的

区域内的数之和都相等。

【答案】

10、将0至9填入图的10块区域中（阴影区域除外），使得每个圆内的三个数之和都是相等

的。请问：这个和最小是多少？最大是多少？

【答案】最小是11，最大是16

拓展篇

1、将1，2，3，…，24，25分别填入图的各个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的

数的和相等。现在已经填入了一些数，标有符号“*”的方格内所填的数是多少？

【答案】4

2、请在图的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中

的各数之和都相等。

【答案】

3、（1）在图的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各

数之和都等于19.95。那么，标有“*”的方格内所填的数是多少？

（2）请在图的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个空

格中的各数之和都相等。

【答案】（1）11.12；（2）

4、如图，大正方形的4个角上已填入4个数，4个数之和是264。奇妙的是，把这个图倒过

来看，大正方形4个角上的数之和仍然是264。请你在中间的小正方形的4个角的圆圈

里，填入另外4个数，使得每条对角线上的4个数正看和倒看时，其和都是264；而且

小正方形角上的4个数正看和倒看时，其和也都是264。

【答案】

5、将1、2、3、5、6、7、9、10、11填入图中的小圆圈内，使得每条直线上各数之和都相

等。

【答案】

6、请将1至10填入图中的10个圆圈中（9已经填好），使得除了第一行外每个圆圈内的数

都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差。

【答案】

7、在图的7个圆圈内各填一个数，要求对于每一条直线上的3个数，居中的数是旁边两个

数的平均数。现在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好。

【答案】

8、请将1个1，2个2，3个3，…，8个8，9个9填入图中，使得相同的数所在的方格都

连在一起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了其中8个方格中的数，并且

知道A、B、C、D、E、F、G各不相同；那么，七位数ABCDEFG是多少？

【详解】首先可以判断A、B、C、D、E、F、G当中不可能出现1和5，C3，D2，通过尝试可得到F8，G9，E4，A、B分别为6和7，所以ABCDEFG6732489．

9、将数字1、2、3、4、5、6、7填入图中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之和与每

条直线上的3个数之和都相等。

［分析］ 设中心数为a，各条直线和各个圆周上的三数之和均为k．因为a属于三条直线公有，其余数各属于一条直线和一个圆周，于是得到2（127）a5k，化简为a565k．因为1a7，a56又是5的倍数，所以a4，k12．填数方法见右上图．

10、将1至9填入图中的9个圆圈内，使4个大圆圈上的4个数之和都等于16。

【答案】

11、图中一共有10个方格，现在把2至11这10个自然数填到里面，每个方格各填一个。

如果要求图中的3个2×2的正方形中的4个数之和都相等，那么这个和最小可能是多

少？请给出一种填法。

ab

［分析］ 由题意，9是其中第三大的数，所以这10个连续自然数是2、3、4、5、、9、10、11，计算三个正方形中四个数的和，这个和能被3整除，但是其中a和b被重复计算了一次，所以有：237，11ab65ab3s，当ab1，4，时，65ab可以被3整除，因为要取最小值，所以ab的值越小越好，但是不可能取1与4，所以，ab7时，这个和取得最小值，每个正方形中的和（657）324． 也取得最小值：

12、如图，大三角形被分成了9个小三角形。试将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入这

9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形三条边的每5个数相加

的和相等。这5个数的和最大可能是多少？请给出一种填法。

841abc925367

［分析］

12345678945，用s表示靠近大三角形三条边的五个数的和．因为有三个小三角形所填的数在求和时只用了一次(用a，b，c来表示这三个数)，其余均用了两次．于是，452要使s尽可能大，只要abc尽（abc）3 s．可能小．所以abc1236，于是9063 s，s28．剩下的六个数分成三组，并且每组中两数的和是三个连续自然数，那么：4812；6713；5914．经过调配可得到几十种填法，右上图是填法之一．

超越篇

1、请在图的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中

的各数之和都相等。

【答案】

2、图是有名的“六角幻方”：将1至19这19个自然数填入图中的圆圈中，使得每一条直线

上圆圈中的各数之和相等。美国的数学爱好者阿当斯从1910年开始，到1962年，用了

52年的时间才找到了解答。我们给大家填入了6个自然数，请你完成这个“六角幻方”。

【答案】

3、在图中有6个正方形，请你将1至9填入图中，使得每个正方形的4个顶点上的数字之

和都相等。

【答案】

4、在图的七个圆圈中填入一些自然数，要求所填的自然数中最小的一个数是1，并且相邻

两个圆圈内的数字之差（大数减小数）恰好等于这两个圆圈之间标出的数字。

【答案】

5、将1至9分别填入图中的9个圆圈内，使图中每条直线（图中有7条直线）上的圆圈内

所填数之和都相等，那么这个和是多少？

【答案】14，

6、将0，1，2，…，9这10个数分别填入图中的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶

点上的数之和相等。这个和最大是多少？最小是多少？请分别给出使得和最大、最小的

填法。

847163529

【分析】

0945，45中心数3个阴影三角形的3个顶点上的数字之和，所以中心数必须是3的倍数，只能是0，3，6，9．枚举法试验，中心数只能是3，6，则最大的和是14，最小的和是13。

7、在图中有11个空的圆圈，要求把1至13这些数填入各圈内（其中3、4已经填好），使

得上面2个圆圈内数的和，等于与它相连的下面的圆圈内的数（例如，虚线框中上面2

个圈中的数相加，它们的和应等于相连的下面1个圈中的数），并且最下面空着的4个圆

圈中的数之和等于43。

【答案】

8、图中共有10个圆圈，6条直线。请问：

（1）能否将1至10填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？

（2）能否将0至9填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？

（3）请从1至11中去掉一个数后，将剩下的数填入图中使得每条直线上各数之和都相等。

【答案】（1）不能；（2）不能；（3）和事19，20或21。答案不唯一，例如：