基于旋转法的干涉仪系统误差标定

2023年12月22日发(作者：)

基于旋转法的干涉仪系统误差标定

张建锋;曹学东;景洪伟;吴时彬;阴旭

【摘 要】针对干涉仪高精度检测的需求,本文提出了旋转法标定干涉仪系统误差,实现绝对检测,从而提高检测精度.该方法根据Zemike多项式的性质,可以通过N次平分旋转和一次旋转法两种方法实现.本文对这两种方法分别做了详细的理论推导,并且给出具体实验结果与误差分析.实验结果表明,两种方法的测量结果基本一致,差值的PV值为0.006λ,RMS值为0.001λ.误差分析结果表明,一次旋转法的旋转误差小于N次平分法,因此一次旋转法是一种精度更高的方法.%To satisfy high

precision testing of interferometer, rotation method to calibrate

interferometer's system error is used for absolute test and improving

precision. The method based on properties of Zemike polynomial, which

can be realized in two ways: N-position and Two-position method.

Theoretical analysis and experiments are taken on both N-position and

two-position rotation methods, and results and error analysis are given.

The experimental results show that the solutions of the two methods are

nearly the same, and the PV value of the difference is 0.006 X, and RMS is

0.001 X. Error analysis show that the rotation error of two-position is

smaller. So two-position method has higher precision than N-position

method.

【期刊名称】《光电工程》

【年(卷),期】2011(038)012

【总页数】6页(P69-74)

【关键词】光学检测;旋转;干涉仪系统误差;Zemike多项式;绝对标定

【作 者】张建锋;曹学东;景洪伟;吴时彬;阴旭

【作者单位】中国科学院光电技术研究所,成都610209;中国科学院研究生院,北京100049;中国科学院光电技术研究所,成都610209;中国科学院光电技术研究所,成都610209;中国科学院光电技术研究所,成都610209;中国科学院光电技术研究所,成都610209

【正文语种】中 文

【中图分类】TH741;TN247

干涉仪是高精度光学测量中常用的重要仪器。干涉仪测量光学面形是相对测量，即被测件相对与标准参考面的面形差，所以面形的精度依赖于参考面的精度，除此之外，干涉仪本身也会带来一定的波相差，二者加起来统称为干涉仪的系统误差。如何消除干涉仪的系统误差，实现绝对检测，从而提高检测精度是一项重要工作。

传统平面面形的绝对检测是三平板法，但需要有较高的技术保证措施来防止每次测量面形的错位，否则将引入更大误差。而旋转法相对操作简单，技术上更容易实现[1-5]。旋转法有一次旋转法[5-7]、N次平分法[8-9]及旋转平移法[10]。旋转平移法需要有高精度的平移机构，数据处理复杂，而一次旋转法和 N次平分旋转法则操作更加简单。下面分别介绍N次平分法与一次旋转法的理论推导与实验结果。

对于任何一个被测件，干涉仪的检测结果W包含两部分——T和P，T是干涉仪系统误差函数，P是被测件的面形函数，即W=T+P。

对被测件面形进行N次检测，每次被测件相对与上一次按相同的方向旋转N/π2=φ度，N次检测的结果分别为

根据Zernike多项式，任意一个波前函数可表示为如下形式[11-12]：

式中：表示旋转对称部分，表示非旋转对称部分。

由三角公式可得：

由式(3)、式(4)得：

又因为

由式(7)得：

由式(5)、式(6)、式(7)得：

经上述验证可得，被测件平均旋转N-1次，对N个位置处的检测波面求平均，结果包含干涉仪的系统误差T，被测面形中的旋转对称项Ps，以及包含cNθ的项，通常取N≥4，包含cNθ的项为高频分量，所占比例很小，通常可以忽略。当被测件P的被检面形为平面时，其面形误差是无规则分布的，一般而言，其旋转对称的成分不占优势，而非旋转对称误差是面形误差的主要组成成分，因此Ps忽略不计，式(9)可以表示干涉仪的系统误差，由式(10)又可求得被测件的非旋转对称面形误差。

对于安装好的被测件面形做一次测量，得到结果W，表示为

将被测件转一角度φ后的测量结果为

两次测量结果式(11)，式(12)相减：

由上式可知，被测件中不含θ的项被抵消了，即旋转对称部分抵消了，运用Zernike多项式的展开原理，上述结果为

将式(15)代入方程组(14)得：

利用式(17)可以还原出被测件P的非旋转对称部分的面形误差Pas，再结合式(11)得

上式的求解结果与N次平均旋转的结果基本一致，都包含了干涉仪系统误差T和被测件的旋转对称部分 Ps。当被测件为平面时，面形误差中旋转对称部分所占比例很小，可以忽略不计，即 Ps≈0时，上式的求解结果为干涉仪的系统误差T。为

了更有效的求解出所有5阶Zernike系数，旋转角度φ通常取54° [10-13]。

实验仪器为ZYGO干涉仪，工作波长λ=632.8 nm，独立放置在特定的罩子中。干涉仪参考镜为φ150 mm的平面镜，测试件（旋转件）为φ106 mm的平面镜，实验室温度为22℃，被测件在实验室中恒温三天后，在干涉仪的测量腔中恒温2小时。

将被测件安装在转台上，调整转台，使转台旋转到不同位置处，干涉条纹均为零条纹，定心调整完毕，对测试件前表面进行反射测量。首先进行20次重复测量，对20次测量值求平均值，用平均值减去每次测量结果，其残差RMS值的标准差即为干涉仪的重复性误差ε=0.000 52 λ。

干涉仪随机误差测试完毕，将此位置的转台计数器清零，此时为0°位置，以后依次将转台旋转到60°、120°、180°、240°、300°的位置，并记录每个位置的波面数据，如下图1所示。用干涉仪自带软件MetroPro和Matlab软件进行数据处理，对六个波面分别进行36项Zernike多项式拟合，求得Zernike多项式系数分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，由此求得系统误差的Zernike系数

进而还原出系统误差的波面图，如图 2所示，PV=0.054λ，RMS=0.008λ。

六平分旋转法实验完毕，将转台调整到原来的0位置处，记录此时的测量数据，再将转台顺时针旋转 54°，进行测量，两次测量结果如下图3所示。同样对两次测量结果进行36项Zernike多项式拟合，分别求得Zernike多项式系数为b1，b2，由式(11)、(16)可求得干涉仪的系统误差的Zernike多项式系数b0，进而求得系统误差的波面图，如图4所示，PV=0.052λ，RMS=0.008λ。

对比图2，图4，并且还原出两种方法求解结果的差值波面图(如图5所示)，两种方法差值的PV值为0.006λ，RMS值为0.001λ，结果基本一致，但两种方法旋转次数不同，导致旋转带来的误差不同。下节将分析两种方法的旋转误差。

测量误差主要包括干涉仪的重复性误差和角度旋转误差，在这里忽略了被测件与转

台的定心误差，因为在安装好被测件后，通过观察转台旋转不同角度的干涉条纹，反复转台，使定心误差基本忽略。干涉仪的系统误差由第三节计算得ε=0.000

51λ，转台的角度误差Δφ=1°/400≈4.4×10-5 rad。下面分别对两种方法进行误差分析。

对于一次旋转，由式(16)得

由式(18)可以求得 a2，a3，a4，a5，a6的旋转误差Δa2，Δa3，Δa4，Δa5，Δa6又由公式(17)可得

从而求得旋转误差波面w1。计算得误差波面w1的PV、RMS值，如表1所示，并且求得合成误差u1为

由式(16)得

由上式(21)可求出被测件旋转误差的Zernike系数Δa，进而求得以Δa为系数的波面误差Δw2。计算得Δw2的PV、RMS值，由表1所示，并且求得合成误差u2为

由表1可以看出，一次旋转法低于六平分法的旋转误差，这是因为一次旋转法减少了旋转次数，从而减少了因旋转而带来的误差；另外，一次旋转法可以消除所有的非旋转对称项，而N次平分法却无法消除cN(c为整数)阶的项，为了消除cN阶项数的影响，必须增加旋转次数，进而增加了旋转误差，由此可见，一次旋转法是一种精度更高的方法。

经上述几节分析可得，两种方法的计算结果基本一致。误差分析中，忽略了定心误差、Zernike拟合误差。实验所用转台的旋转精度较高，旋转误差较小，主要误差为干涉仪的重复性误差。本文的 Zernike多项式为36项，最高角频率为5θ，而高于5θ的角频率成分受到抑制。相对于N次平分法，一次旋转法减小了旋转次数，降低了旋转误差，是一种相对更简捷，精度更高的方法。但旋转法具有一定的局限性，无法分离出被测件的旋转对称部分，在所求得的干涉仪系统误差中，包含

了被测件面形的旋转对称部分，只有被测件面形为平面时，面形误差中旋转对称部分所占比例较小，可以近似忽略不计。这种方法可以用于平面面形非旋转对称误差的绝对检测。

本文从理论出发对两种旋转法标定系统误差的方法进行推导，并且给出实验结果。实验表明一次旋转法的精度高于N次平分旋转。实验结果可以保存起来，在以后的面形测量中减去，以实现绝对检测。

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