2024年1月7日发(作者：)
数阵图
一、把1~6这六个数，分别填在下图，使每条线上三个数的和都等于
①9 ②10 ③11 ④12，应如何填
二、把1～12这十二个数，分别填在下图的圆圈里，使每条线上四个数的和分别等于22和30
三、把1~9这九个数分别填在下图三角形三条边的九个圆圈内，使每条边上四个数的和分别都等于17，23
四、把1~8这八个数分别填在下图的圆圈里面，使每个大圆上五个数的和都等于22
五、把1~9这九个数分别填在下图中的九个圆圈里，使内，外两个三角上六个数的和都等于26
六、将1~11这十一个数分别填在下图的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。
七、把1~7这七个数分别填在下图的圆圈里，使每条线上三个数的和与每个圆上三个数的和都等于12。
八、在图中空格内填上适当的数，使每行、每列，每条对角线上的数和为27。（必须写出2种）
九、将5~14这十个自然数填入图中的○内，使每个大圆上六个数的和为55。
十、1．把3，4，5，6，7这五个数分别填入下图中的五个方格里，使横行、竖行三个数的和都是14。
十一、下面是一个九宫图，第一行第三列上的数是6，第二行第一列上的数是7，请你在其他位置填上适当的数，使每行、每列以及每条对角线上的三个数和为30
十二、将1~25填在5×5的方格内，制成五阶幻方。
十三、将1~16填在4×4的方格内，制成四阶幻方。
6．将1~6这六个数分别填入图中的○内，使每条边上的三个○内的数的和相等。
7．把1~8这8个数分别填入下图的○中，使每条边上三个数的和相等。
9．将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数，分别填入下图的九个方格中，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍。
10．将1~10这十个自然数分别填入图中的十个圆内，使各条线段上四个圈内数的和相等，每个三角形三个顶点上圆内数的和也相等。
11．把1~8这八个数填入下图正方体的八个顶点的圆圈里，使每个面上的四个圆圈里的四个数之和都相等。
补充：幻方构造方法
幻方，亦称纵横图。台湾称为魔术方阵。将自然数1，2，3，„„n*n排列成一个n*n方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于n/2*(n*n+1)，这样的方阵称为幻方。
例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：每行、每列、两条对角线的和是15。
8
3
4
1
5
9
6
7
2
n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。n/2*(n*n+1)为幻方的变幻常数。数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。
目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。
1、奇数阶幻方
n为奇数 (n=3，5，7，9，11„„) (n=2*k+1，k=1，2，3，4，5„„)
奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样：
把1(或最小的数)放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的n*n-1个数：
(1)、每一个数放在前一个数的右上一格；
(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；
(3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；
(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；
(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。
这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。
2、双偶阶幻方
n为偶数，且能被4整除 (n=4，8，12，16，20„„) (n=4k，k=1，2，3，4，5„„)
先说明一个定义：
互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即 n*n+1，称为互补。
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
这个方阵的对角线，已经用蓝色标出。将对角线上的数字，换成与它互补的数字。
这里，n*n+1 = 4*4+1 = 17；
把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6„„换完后就是一个四阶幻方。
对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
下面是8阶幻方的作法：
(1) 先把数字按顺序填。然后，按4*4把它分割成2*2个小方阵
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64
(2) 每个小方阵对角线上的数字，换成和它互补的数。
64 2 3 61 60 6 7 57
9 55 54 12 13 51 50 16
17 47 46 20 21 43 42 24
40 26 27 37 36 30 31 33
32 34 35 29 28 38 39 25
41 23 22 44 45 19 18 48
49 15 14 52 53 11 10 56
8 58 59 5 4 62 63 1
3、单偶阶幻方
n为偶数，且不能被4整除 (n=6，10，14，18，22„„) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5„„)
这是三种里面最复杂的幻方。
以n=10为例。这时，k=2
(1) 把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。
A
C
B
D
17 24 1 8 15 67 74 51 58 65
23 5 7 14 16 73 55 57 64 66
4 6 13 20 22 54 56 63 70 72
10 12 19 21 3 60 62 69 71 53
11 18 25 2 9 61 68 75 52 59
92 99 76 83 90 42 49 26 33 40
98 80 82 89 91 48 30 32 39 41
79 81 88 95 97 29 31 38 45 47
85 87 94 96 78 35 37 44 46 28
86 93 100 77 84 36 43 50 27 34
(2) 在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。
17 24 1 8 15 67 74 51 58 65
23 5 7 14 16 73 55 57 64 66
4 6 13 20 22 54 56 63 70 72
10 12 19 21 3 60 62 69 71 53
11 18 25 2 9 61 68 75 52 59
92 99 76 83 90 42 49 26 33 40
98 80 82 89 91 48 30 32 39 41
79 81 88 95 97 29 31 38 45 47
85 87 94 96 78 35 37 44 46 28
86 93 100 77 84 36 43 50 27 34
(3) 将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。
92 99 1 8 15 67 74 51 58 65
98 80 7 14 16 73 55 57 64 66
4 6 88 95 22 54 56 63 70 72
85 87 19 21 3 60 62 69 71 53
86 93 25 2 9 61 68 75 52 59
17 24 76 83 90 42 49 26 33 40
23 5 82 89 91 48 30 32 39 41
79 81 13 20 97 29 31 38 45 47
10 12 94 96 78 35 37 44 46 28
11 18 100 77 84 36 43 50 27 34
(4) 在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。(注：6阶幻方由于k-1=0，所
以不用再作B、D象限的数据交换)
←
92 99 1 8 15 67 74 51 58 65
98 80 7 14 16 73 55 57 64 66
4 6 88 95 22 54 56 63 70 72
85 87 19 21 3 60 62 69 71 53
86 93 25 2 9 61 68 75 52 59
17 24 76 83 90 42 49 26 33 40
23 5 82 89 91 48 30 32 39 41
79 81 13 20 97 29 31 38 45 47
10 12 94 96 78 35 37 44 46 28
11 18 100 77 84 36 43 50 27 34
(5) 将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。
92 99 1 8 15 67 74 26 58 65
98 80 7 14 16 73 55 32 64 66
4 6 88 95 22 54 56 38 70 72
85 87 19 21 3 60 62 44 71 53
86 93 25 2 9 61 68 50 52 59
17 24 76 83 90 42 49 51 33 40
23 5 82 89 91 48 30 57 39 41
79 81 13 20 97 29 31 63 45 47
10 12 94 96 78 35 37 69 46 28
11 18 100 77 84 36 43 75 27 34
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