2024年1月12日发(作者：)

高等数学公式

一、常用的等价无穷小

当x→0时

x ~sinx ~tanx ~arcsinx ~arctanx ~ln（1+x） ~ ex

-1

ax-1~xln a

(1+x)α-1 ~ αx (α为任意实数，不一定是整数)

1-cosx ~

12

x2增加

1313

x 对应 arcsinx–x ~

x6611tanx–x ~

x3

对应

x- arctanx ~

x3

33x-sinx ~

二、利用泰勒公式

x3x22x

o（x）

sinxxo（ x3）　e= 1 +

x+

2！3!

x2x22 o（x） ln（1+x）=x–

o（x2）

cosx= 1 –

2！2导数公式：

(tgx)sec2x(ctgx)csc2x(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(ax)axlna(logax)基本积分表：

(arcsinx)11xlna1x21(arccosx)1x21(arctgx)1x21(arcctgx)1x2tgxdxlncosxCctgxdxlnsinxCsecxdxlnsecxtgxCcscxdxlncscxctgxCdx1xarctgCa2x2aadx1xalnx2a22axaCdx1axa2x22alnaxCdxxarcsinCa2x2a2ndx2seccos2xxdxtgxCdx2sin2xcscxdxctgxCsecxtgxdxsecxCcscxctgxdxcscxCaxadxlnaCxshxdxchxCchxdxshxCdxx2a2ln(xx2a2)C2Insinxdxcosnxdx00n1In2n三角函数的有理式积分：

x2a22xadxxaln(xx2a2)C22x2a2222xadxxalnxx2a2C22x2a2x222axdxaxarcsinC22a222u1u2x2dusinx，　cosx，　utg，　dx21u21u21u2

一些初等函数： 两个重要极限：

exex双曲正弦:shx2exex双曲余弦:chx2shxexex双曲正切:thxchxexexarshxln(xx21）archxln(xx21)11xarthxln21x

三角函数公式：

·诱导公式：

函数

sin

角A

-α

90°-α

90°+α

180°-α

180°+α

270°-α

270°+α

360°-α

360°+α

·和差角公式： ·和差化积公式：

-sinα

cosα

cosα

sinα

-sinα

-cosα

-cosα

-sinα

sinα

limsinx1x0x1lim(1)xexcos tg ctg

cosα

sinα

-sinα

-cosα

-cosα

-sinα

sinα

cosα

cosα

-tgα

ctgα

-ctgα

-tgα

tgα

ctgα

-ctgα

-tgα

tgα

-ctgα

tgα

-tgα

-ctgα

ctgα

tgα

-tgα

-ctgα

ctgα

sin()sincoscossincos()coscossinsintgtgtg()1tgtgctgctg1ctg()ctgctg

·倍角公式：

sinsin2sin22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22cos

sin22sincoscos22cos2112sin2cos2sin2ctg21ctg22ctg2tgtg21tg2

·半角公式：

sin33sin4sin3cos34cos33cos3tgtg3tg313tg2sintg

21cos1cos　　　　　　　　　　　　cos2221cos1cossin1cos1cossin　　ctg1cossin1cos21cossin1cos2·正弦定理：

abc2R ·余弦定理：c2a2b22abcosC

sinAsinBsinCarcsinx·反三角函数性质：

2arccosx　　　arctgx2arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

(uv)(n)k(nk)(k)Cnuvk0nu(n)vnu(n1)v中值定理与导数应用：

n(n1)(n2)n(n1)(nk1)(nk)(k)uvuvuv(n)2!k!

拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f()(ba)f(b)f(a)f()柯西中值定理：F(b)F(a)F()曲率：

当F(x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。弧微分公式：ds1y2dx,其中ytg平均曲率：K.:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长。sydM点的曲率：Klim.

23s0sds(1y)直线：K0;1半径为a的圆：K.a

定积分的近似计算：

b矩形法：f(x)abba(y0y1yn1)nba1[(y0yn)y1yn1]n2ba[(y0yn)2(y2y4yn2)4(y1y3yn1)]3n

梯形法：f(x)ab抛物线法：f(x)a定积分应用相关公式：

功：WFs水压力：FpAm1m2,k为引力系数

r2b1函数的平均值：yf(x)dxbaa引力：Fk1均方根：f2(t)dtbaa

多元函数微分法及应用

b全微分：dzzzuuudxdy　　　dudxdydzxyxyz全微分的近似计算：zdzfx(x,y)xfy(x,y)y多元复合函数的求导法：dzzuzvzf[u(t),v(t)]　　　　dtutvtzzuzvzf[u(x,y),v(x,y)]　　　　xuxvx当uu(x,y)，vv(x,y)时，duuuvvdxdy　　　dvdxdy　xyxy隐函数的求导公式：FxFFdydyd2y隐函数F(x,y)0，　　，　　2(x)＋(x)dxFyxFyyFydxdxFyFzz隐函数F(x,y,z)0，　x，　　xFzyFz

FF(x,y,u,v)0(F,G)u隐函数方程组：　　　JGG(x,y,u,v)0(u,v)uu1(F,G)v1(F,G)　　　　xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)　　　　yJ(y,v)yJ(u,y)微分法在几何上的应用：

方向导数与梯度：

多元函数的极值及其求法：

FvFuGGuvFvGv

设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0，令：fxx(x0,y0)A,　fxy(x0,y0)B,　fyy(x0,y0)CA0,(x0,y0)为极大值2ACB0时，A0,(x0,y0)为极小值2则：值ACB0时，　　　　　　无极ACB20时,　　　　　　　不确定重积分及其应用：

f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrdDD曲面zf(x,y)的面积ADzz1dxdyxy22平面薄片的重心：xMxMx(x,y)dD(x,y)dDD,　　yMyMy(x,y)dD(x,y)dDD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2(x,y)d,　　对于y轴Iyx2(x,y)d平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a0)的引力：F{Fx,Fy,Fz}，其中：FxfD(x,y)xd(xya)2222，　　Fyf3D(x,y)yd(xya)2222，　　Fzfa3D(x,y)xd(xya)22322

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：yf(x,y)　或　P(x,y)dxQ(x,y)dy0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式，解法：g(y)dyf(x)dx　　得：G(y)F(x)C称为隐式通解。dyyf(x,y)(x,y)，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy设u，则ux，u(u)，分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx(u)ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：

dy1、一阶线性微分方程：P(x)yQ(x)dxP(x)dx当Q(x)0时,为齐次方程，yCe当Q(x)0时，为非齐次方程，y(Q(x)edy2、贝努力方程：P(x)yQ(x)yn，(n0,1)dx全微分方程：

P(x)dxdxC)eP(x)dx

如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程，即：uudu(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0，其中：P(x,y)，Q(x,y)

xyu(x,y)C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：

f(x)0时为齐次d2ydyP(x)Q(x)yf(x)，

2dxdxf(x)0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)ypyqy0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()r2prq0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数；2、求出()式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

r1，r2的形式

两个不相等实根(*)式的通解

(p24q0)

yc1er1xc2er2x

两个相等实根(p24q0)

(p24q0)

y(c1c2x)er1x

yex(c1cosxc2sinx) 一对共轭复根r1i，r2i4qp2p，22二阶常系数非齐次线性微分方程

ypyqyf(x)，p,q为常数f(x)exPm(x)型，为常数；f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型

1、行列式

1.

n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；

2. 代数余子式的性质：

①、Aij和aij的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；

3. 代数余子式和余子式的关系：Mij(1)ijAij4. 设n行列式D：

将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1(1)on(n1)2Aij(1)ijMij

D；

D； 将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D2，则D2(1)将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4D；

5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)n(n1)2n(n1)2将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3D；

；

③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积；

④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)⑤、拉普拉斯展开式：AOCBACOBn(n1)2；

CABOOABC(1)mgnAB

AB、⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

6. 对于n阶行列式A，恒有：EAn(1)kSknk，其中Sk为k阶主子式；

k1n7. 证明A0的方法：

①、AA；

②、反证法；

③、构造齐次方程组Ax0，证明其有非零解；

④、利用秩，证明r(A)n；

⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.

A是n阶可逆矩阵：

A0（是非奇异矩阵）；

r(A)n（是满秩矩阵）

A的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组Ax0有非零解；

bRn，Axb总有唯一解；

A与E等价；

A可表示成若干个初等矩阵的乘积；

A的特征值全不为0；

ATA是正定矩阵；

A的行（列）向量组是Rn的一组基；

A是Rn中某两组基的过渡矩阵；

2. 对于n阶矩阵A：AA*A*AAE 无条件恒成立；

3.

(A1)*(A*)1(AB)TBTAT(A1)T(AT)1(AB)*B*A*(A*)T(AT)*

(AB)1B1A1

4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

A1若AA2O，则：

AsⅠ、AA1A2LAs；

A111Ⅱ、A11A2O；

As1A1AO②、OBOO；（主对角分块）

B1

OOA③、1BOAA1AC④、OBO111B1；（副对角分块）

OA1CB1；（拉普拉斯）

B1O；（拉普拉斯）

B1A1AO⑤、11CBBCA3、矩阵的初等变换与线性方程组

1. 一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：EFrOO；

Omn等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

对于同型矩阵A、B，若r(A)r(B)A:B；

2. 行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、若(A,E):(E,X)，则A可逆，且XA1；

②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A1B，即：

(A,B)(E,A1B)；③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果(A,b):(E,x)，则A可逆，且xA1b；

4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

1②、，左乘矩阵A，乘A的各行元素；右乘，乘A的各列元iin1rcr2O素；

111③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)1E(i,j)，例如：1

；111④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))1E(i())，例如：k

1111kk1(k0)；

1⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))1E(ij(k))，如：kk1111(k0)；

1115. 矩阵秩的基本性质：

①、0r(Amn)min(m,n)；

②、r(AT)r(A)；

③、若A:B，则r(A)r(B)；

④、若P、Q可逆，则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）

⑤、max(r(A),r(B))r(A,B)r(A)r(B)；（※）

⑥、r(AB)r(A)r(B)；（※）

⑦、r(AB)min(r(A),r(B))；（※）

⑧、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB0，则：（※）

Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX0解（转置运算后的结论）；

Ⅱ、r(A)r(B)n

⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)r(A)r(B)n；

6. 三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

1ac②、型如01b的矩阵：利用二项展开式；

001 二项展开nm0式：0n1n11mnmmn11n1nnmmnm；

(ab)nCnaCnabLCnabLCnabCnbCnab 注：Ⅰ、(ab)n展开后有n1项；

n(n1)LL(nm1)n!1g2g3gLgmm!(nm)!0nCnCn1

nⅡ、CnmmnmⅢ、组合的性质：CnCnmmm1Cn

1CnCnCr0rn2nrr1

rCnnCn1；③、利用特征值和相似对角化：

7. 伴随矩阵：

n①、伴随矩阵的秩：r(A*)10r(A)nr(A)n1；

r(A)n1

②、伴随矩阵的特征值：③、A*AA1、A*AA(AXX,A*AA1A*XAX)；

n1

8. 关于A矩阵秩的描述：

①、r(A)n，A中有n阶子式不为0，n1阶子式全部为0；（两句话）

②、r(A)n，A中有n阶子式全部为0；

③、r(A)n，A中有n阶子式不为0；

9. 线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则：

①、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程；

②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程；

10. 线性方程组Axb的求解：

①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解；

③、特解：自由变量赋初值后求得；

11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：

a11x1a12x2La1nxnb1axaxLaxb2nn2①、211222；

LLLLLLLLLLLam1x1am2x2Lanmxnbna11a12aa22②、21MMam1am2n个未知数）

LLOLa1nx1b1a2nx2b2Axb（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，MMMamnxmbmx1b1xb2an（全部按列分块，其中2）；

MMxbnn③、a1a2L④、a1x1a2x2Lanxn（线性表出）

⑤、有解的充要条件：r(A)r(A,)n（n为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

1.

m个n维列向量所组成的向量组A：1,2,L,m构成nm矩阵A(1,2,L,m)；

1TTTTm个n维行向量所组成的向量组B：1T,2,L,m构成mn矩阵B2；

MTm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2. ①、向量组的线性相关、无关

Ax0有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出 （线性方程组）

Axb是否有解；③、向量组的相互线性表示 （矩阵方程）

AXB是否有解；

3. 矩阵Amn与Bln行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0和Bx0同解；(P101例14)

4.

5.

r(ATA)r(A)；(P101例15)

n维向量线性相关的几何意义：

①、线性相关

②、,线性相关

0；

,坐标成比例或共线（平行）；

③、,,线性相关

,,共面；

6. 线性相关与无关的两套定理：

若1,2,L,s线性相关，则1,2,L,s,s1必线性相关；

若1,2,L,s线性无关，则1,2,L,s1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：

若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）

简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7. 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs(二版P74定理7)；

向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)r(B)；（P86定理3）

向量组A能由向量组B线性表示

AXB有解；

r(A)r(A,B)（P85定理2）

向量组A能由向量组B等价r(A)r(B)r(A,B)（P85定理2推论）

8. 方阵A可逆存在有限个初等矩阵P1,P2,L,Pl，使AP1P2LPl；

①、矩阵行等价：A~BPAB（左乘，P可逆）Ax0与Bx0同解

②、矩阵列等价：A~BAQB（右乘，Q可逆）；

③、矩阵等价：A~BPAQB（P、Q可逆）；

9. 对于矩阵Amn与Bln：

①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；

②、若A与B行等价，则Ax0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

④、矩阵A的行秩等于列秩；

10. 若AmsBsnCmn，则：

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；

②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）

cr

11. 齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、ABx0 只有零解Bx0只有零解；

②、Bx0 有非零解ABx0一定存在非零解；

12. 设向量组Bnr:b1,b2,L,br可由向量组Ans:a1,a2,L,as线性表示为：（P110题19结论）

(b1,b2,L,br)(a1,a2,L,as)K（BAK）

其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关r(K)r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性：Qrr(B)r(AK)r(K),r(K)r,r(K)r；充分性：反证法）

注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用；

13. ①、对矩阵Amn，存在Qnm，AQEm

r(A)m、Q的列向量线性无关；（P87）

②、对矩阵Amn，存在Pnm，PAEn

r(A)n、P的行向量线性无关；

14.

1,2,L,s线性相关

存在一组不全为0的数k1,k2,L,ks，使得k11k22Lkss0成立；（定义）

x1x(1,2,L,s)20有非零解，即Ax0有非零解；

Mxsr(1,2,L,s)s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15. 设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax0的解集S的秩为：r(S)nr；

16. 若*为Axb的一个解，1,2,L,nr为Ax0的一个基础解系，则*,1,2,L,nr线性无关；（P111题33结论）

5、相似矩阵和二次型

1. 正交矩阵ATAE或A1AT（定义），性质：

①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiTaj10ijij(i,j1,2,Ln)；

②、若A为正交矩阵，则A1AT也为正交阵，且A1；

③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；

注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；

2. 施密特正交化：(a1,a2,L,ar)

b1a1；

b2a2[b1,a2]gb1

[b1,b1][b1,ar][b,a][b,a]gb12rgb2Lr1rgbr1;

[b1,b1][b2,b2][br1,br1]

LLL

brar3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

4. ①、A与B等价

A经过初等变换得到B；

PAQB，P、Q可逆；

r(A)r(B)，A、B同型；

②、A与B合同

CTACB，其中可逆；

xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数；

③、A与B相似

P1APB；

5. 相似一定合同、合同未必相似；

若C为正交矩阵，则CTACBA:B，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；

6.

A为对称阵，则A为二次型矩阵；

7.

n元二次型xTAx为正定：

A的正惯性指数为n；

A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTACE；

A的所有特征值均为正数；

A的各阶顺序主子式均大于0；

aii0,A0；(必要条件)