2024年1月12日发(作者：)

第四章 不定积分

一、学习要求

1、理解原函数与不定积分的概念及性质。

2、掌握不定积分的第一类换元法、第二类换元法及分部积分法。

二、练习1．在下列等式中，正确的结果是( C ).

df(x)dxf(x) D.d[f(x)dx]f(x)

dx 2.若lnx是函数f(x)的一个原函数，则f(x)的另一个原函数是（ A ）；

A.f'(x)dxf(x) B.df(x)f(x) C.

A.

lnax

B.1lnax

a

D.1(lnx)2

a23.设f(x)的一个原函数是e2x，则f(x)＝（ B ）；

A.

e2x B.

2e2x C.

4e2x D.

4e2x

4．xf(x)dx（ C ）.

'''(x)C B.

f(x)f(x)C C.

xf(x)f(x)C D.

xf(x)f(x)C.

'''5．将31dx化为有理函数的积分，应作变换x（ D ）.

4xx4712A.

t B.

t C.

t D.

t

 1/7

d7x3，xdxdx 1/2

dtan2x，1/3

darctan3x；

22cos2x19xx137. 已知f(3x1)e，则f(x)=3ec.

8.设f(x)是可导函数，则f'(x)dx为f(x)C.

9.过点(1,2)且切线斜率为4x3的曲线方程为yx41

10.已知xf(x)dxcosxC，则f(x)=sinx

x11.求下列不定积分

tan2x132dxtanxdtanxtanxc 解: (1)

21sinx3dxexdxdex2xarctanexc

(2)

xx2xeee1e1

(3)tan5xsec3xdxtan4xsec2xdsecx(sec2x1)2sec2xdsecx

121sec6x2sec4xsec2xdsecxsec7xsec5xsec3xc

753

1

2xx(1x1)(4)dxdx(1x1)dxx(x1)2c

31(x1)1x12解二：x1t,xt1,

32tt21x232dxdt2t(t1)dtttc1

1x11t32332x1x1c1x(x1)2c

33x11122dxd(1x)ln(1x)c

(5)

221x21x2x3x3x3(6)

xlnxdxlnxdlnxdlnx

3332

13x21313xlnxdxxlnxxc

3339x2x211dxdxdxx1dxln(x1)c

(7)

x1x1x1

12xxln(x1)c

2x2x2x2arctanxdarctanx

(8)

xarctanxdxarctanxd222x21x2x211arctanxdxarctanx1dx

22221x221xx2x1arctanxarctanxc

222(9)

x13xdx

1t22,dxtdt 解：令13xt,则x331t222t(t)dt(1t2)t2dt 原式3392242t3152t325(tt)dt(t)ctc

993527452x32x21dx2dx2dx （10）2x2x2x2x2x2x2

2

1122d(x2x2)d(x1)lnx2x2arctan(x1)C22x2x2(x1)1212．曲线过点(e,3)，且在任意点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，试求此曲线方程.

解：令所求曲线为yf(x)，任意点为(x,y)，

由已知条件可得：

k切线＝f(x)2'11， 则

f(x)dxlnxC；

xx又因为曲线过点(e,3)，可得

3lne2CC1，

所以此曲线方程为f(x)lnx1.

13.选做题：求edx.

解：当x0时，edxe-xdxexC1,

-x当x0时，e-x-xdxedxexxC2,

xeC1,x0Fxx;

eC2,　x0limFxlimFxF0,CC12C2.

x0x0xe2C,x0

FxxeC,　x014. 选做题

(1)若e是fx的原函数，则x2flnxdx＝ ，若fx是e的原函数，则xxflnxdx＝ . (2)

xarcsinxxx2dx;（3）sin4xdx.

lnxx解：(1)

fxeex，则flnxe1，

x12221xflnxdxxdxxdxxc.

x2又fxe，则fxexdxexC，flnxexlnxflnx11Cdx21dxC1lnxC.

xxxx1C1C1

x(2)

arcsinxxx2dxarcsinxarcsinxdx2dxx1x1x

2arcsinxdarcsinxarcsinx2arcsinxdarcsinCxarcsinxC

22

3

（3）sin4xdx412cos2xcos22x41cos2xdx2dx

1cos4x12cos2x2dx132cos2xcos4xdx

4422cos4x31sin4x31cos2xdxxsin2xc

828843215.选做题

已知fx＝sinx,x0e1,x0,x求fx1dx.

解：(1)

fx＝当x1时，

当x1时，

sinx1,x1

fx1＝x1xe1,x1,e1,x0,sinx,x01fx1dxsinx1dxcosx1C

fx1dxex11dxex1xC2

4