四分之一圆轨道

2024年2月19日发(作者：)

四分之一圆轨道

如图所示，四分之一圆轨道OA与水平轨道AB相切，它们与另一水平轨道CD在同一竖直面内，圆轨道OA的半径R=0.45m，水平轨道AB长S1=3m, OA与AB均光滑。一滑块从O点由静止释放，当滑块经过A点时，静止在CD上的小车在F=1.6N的水平恒力作用下启动，运动一段时间后撤去力F。当小车在CD上运动了S2=3.28m时速度v=2.4m/s,此时滑块恰好落入小车中。已知小车质量M=0.2Kg,与CD间的动摩擦因数u=0.4。（取g=10m/s2）

求：（1）恒力F的作用时间t。

（2）AB与CD的高度差h。

该滑块的质量为，运动到点的速度为，由动能定理得

⑧

设滑块由点运动到点的时间为，由运动学公式得

⑨

设滑块做平抛运动的时间为，则

⑩

由平抛规律得

联立②④⑤⑥⑦⑧⑨⑩

竖直平面内的轨道ABCD由水平滑道AB与光滑的 四分之一圆弧滑道CD组成，AB恰与圆弧CD在C点相切，轨道放在光滑的水平面上，如图所示，一个质量为m的小物块（可视为质点），从轨道的A端以初动能E冲上水平滑道AB，沿着轨道运动，由DC弧滑下后停在水平轨道AB的中点。已知水平滑道AB长L，轨道ABCD质量为M=3m，求：

小物块在水平滑道上受的摩擦力的大小。

式，代入数据得

解：小物块冲上轨道的初速度设为v(E速度，设为V

在这个过程中，系统动量守恒，有mv(Mm)V ①

系统的动能损失用于克服摩擦做功，有

EE12mv)，最终停在AB的中点，跟轨道有相同的21211M3mv(Mm)V2mv2()E ②

222Mm43 ③

fL2 解得摩擦力fE.

2L如图所示，竖直面内有一绝缘轨道，AB部分是光滑的四分之一圆弧，圆弧半径R=0.50m，B处切线水平，BC部分为水平粗糙直轨道。有一个带负电的小滑块（可视为质点）从A点由静止开始下滑，运动到直轨道上的P处刚好停住。小滑块的质量m=1.0kg，带电量为q=－2.5×10-3C保持不变，滑块小轨道BC部分间的动摩擦因数为平向右的匀强电场，电场强度大小为E=4.0×102N/C.（g=10m/s2）

（1）求滑块到达B点前瞬间对轨道的压力大小。

（2）求BP间的距离，

，整个空间存在水

解：（1）从A到B由动能定理得：

在B点滑块受力为：三定律得物块对轨道的压力大小（2）设BP距离为s，则A到P由动能定理得

如图所示，半径R=0.2 m的光滑四分之一圆轨道MN竖直固定放置，末端N与一长L=0.8m的水平传送带相切，水平衔接部分摩擦不计，传动轮（轮半径很小）作顺时针转动，带动传送带以恒定的速度ν0运动。传送带离地面的高度h=1.25m，其右侧地面上有一直径D=0.5m的圆形洞，洞口最左端的A点离传送带右端的水平距离S =1m， B点在洞口的最右端。现使质量为m=0.5kg的小物块从M点由静止开始释放，经过传送带后做平抛运动，最终落入洞中，传送带与小物块之间的动摩擦因数μ=0.5。 g取10m/s2。求：

（1）小物块到达圆轨道末端N时对轨道的压力

（2）若ν0=3m/s,求物块在传送带上运动的时间

（3）若要使小物块能落入洞中，求ν0应满足的条件

解析：（1）设物块滑到圆轨道末端速度ν1，根据机械能守恒定律得:

mgR设物块在轨道末端所受支持力的大小为F,

由牛顿第12mv1 1分

2v12根据牛顿第二定律得:Fmgm 2分

R联立以上两式代入数据得:F=15N 1分

根据牛顿第三定律，对轨道压力大小为15N，方向竖直向下 1分

（2）物块在传送带上加速运动时，由μmg=ma , 得a= μg=m/s2

1分

加速到与传送带达到同速所需要的时间t1v0v1=0.2s 1分

a位移s1v1v0t1=0.5m 1分

2Ls1 =0.1s 1分

v0匀速时间t2故Tt1t2 =0.3s 1分

（3）物块由传送带右端平抛h12gt 1分

2恰好落到A点

sv2t 得ν2=2m/s 1分

恰好落到B点 D+s=ν3t 得ν3=3m/s 1分

故ν0应满足的条件是3m/s>ν0>2m/s 2分

如图所示，某货场而将质量为m1=100 kg的货物（可视为质点）从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑四分之一圆轨道，使货物中轨道顶端无初速滑下，轨道半径R=1.8 m。地面上紧靠轨道次排放两声完全相同的木板A、B，长度均为l=2m，质量均为m2=100 kg，木板上表面与轨道末端相切。货物与木板间的动摩擦因数为力与滑动摩擦力大小相等，取g=10 m/s2）

（1）求货物到达圆轨道末端时对轨道的压力。

（2）若货物滑上木板4时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动，求（3）若1=0。5，求货物滑到木板1应满足的条件。

1，木板与地面间的动摩擦因数=0.2。（最大静摩擦A末端时的速度和在木板A上运动的时间。

）一个水平方向足够长的传送带以恒定的速度3m/s沿顺时针方向转动，传送带右端固定着一个光滑曲面，并且与曲面相切。小物块从曲面上高为h的P点由静止滑下，滑到传送带上继续向左运动，物块没有从左边滑离传送带。已知传送带与物体之间的滑动摩擦因数μ=0.2，不计物块滑过曲面与传送带交接处的能量损失，g=10m/s2。

（1）若h1=1.25m，求物块返回曲面时上升的最大高度

（2）若h1=0.2m，求物块返回曲面时上升的最大高度

h

v

解：物块从光滑曲面下滑的过程中机械能守恒。滑上传送带后先向左做匀减速直线运动，然后向右做匀加速直线运动，当物块的速度与传送带的速度相等后，又做匀速直线运动最后滑上曲面，机械能又守恒。

（1）设物块滑到下端的速度为v1，

由动能定理得mgh112mv1 2分

2解得：v1=5m/s>3m/s 1分

所以物块先减速到速度为零后,又返回去加速运动,当两者的速度相同时,以共同的速度v=3m/s一起匀速,直到滑上曲面。 2分

v20.45m 2分 由动能定理得物块上升的高度H2g（2）设物块滑到下端的速度为v2，

由动能定理得mgh212mv2 2分

2解得：v2=2m/s<3m/s 1分

所以物块先减速到速度为零后,又返回去加速运动,又返回曲面时,速度仍为v2=2m/s,然后滑上曲面。 2分

2v20.2m 2分 由动能定理得物块上升的高度H22g如图所示,光滑弧形轨道下端与水平传送带连接,轨道上的A点到传送带的竖直距离及传送带到地面的距离均为h=5 m,把一物体自A点由静止释放,物体与传送带间的动摩擦因数=0.2.先让传送带不转动,物体滑上传送带后,从右端B水平飞离,落在地面上的P点,B、P间的水平距离OP为s=2 m;然后让传送带顺时针方向转动,速度大小为v=5 m/s,从同一高度释放的物体进入传送带,一段时间后与传送带相对静止,从右端B水平飞离.g=10 m/s.求:

(1)传送带转动时,物体落到何处?

(2)两种情况下,传送带对物体所做功之比.

(3)两种情况下,物体运动所用时间之差.

答案 (1)5 m (2)32 (3)0.45 s

252

如图所示,物体沿弧形轨道滑下后进入足够长的水平传送带,传送带以图示方向匀速运转,则传送带对物体做功情况可能是 ( )

A.始终不做功

B.先做负功后做正功

C.先做正功后不做功

D.先做负功后不做功

答案 ACD

如图所示,半径为R的1/4圆弧支架竖直放置,支架底AB离地的距离为2R,圆弧边缘C处

有一小定滑轮,一轻绳两端系着质量分别为m1与m2的物体,挂在定滑轮两边,且m1>m2,开始时m1、m2均静止,m1、m2可视为质点,不计一切摩擦.

(1)求m1经过圆弧最低点A时的速度.

(2)若m1到最低点时绳突然断开,求m1落地点离A点水平距离.

(3)为使m1能到达A点,m1与m2之间必须满足什么关系?

答案 (1)2(m12m2)gR （2）4R(m12m2) (3)m1≥2m2

2m1m22m1m2半径为R的四分之一竖直圆弧轨道,与粗糙的水平面相连,如图所示.有一个质量为m的均匀细直杆搭放在圆弧两端,若释放细杆,它将开始下滑,并且最后停在水平面上.在上述过程中 ( )

A.杆克服摩擦力所做的功为mgR B.杆克服摩擦力所做的功为C.重力所做的功为mgR D.外力做的总功为答案 B

(2008·广东·20)如图所示,固定的凹槽水平表面光滑,其内放置U形滑板N,滑板两端为半径R=0.45 m的1/4圆弧面,A和D分别是圆弧的端点,BC段表面粗糙,其余段表面光滑,小滑块P1和P2的质量均为m,滑板的质量M=4m.P1和P2与BC面的动摩擦因数分别为11mgR

21mgR

2=0.10和2=0.40,最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力,开始时滑板紧靠槽的左端,P2静止在粗糙面的B点.P1以v0= 4.0 m/s的初速度从A点沿弧面自由滑下,与P2发生弹性碰撞后,P1处在粗糙面B点上,当P2滑到C点时,滑板恰好与槽的右端碰撞并与槽牢固粘连,P2继续滑动,到达D点时速度为零,P1与P2视为质点,取g=10 m/s.问:

2

(1)P2在BC段向右滑动时,滑板的加速度为多大？

(2)BC长度为多少？N、P1和P2最终静止后,P1与P2间的距离为多少？

答案 (1)0.8 m/s (2)1.9 m 0.695 m

如图所示,小球从一个固定的光滑斜槽轨道顶端无初速开始下滑,用v、t和h分别表示小球22沿轨道下滑的速度、时间和竖直高度.下面的v—t图象和v—h图象中可能正确的是

( )

答案 AD

如图3所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为0.8m，BC是水平轨道，长L=3m，BC处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。

分析与解：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三个力做功，重力做功WG=mgR，水平面上摩擦力做功Wf1=-μmgL，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：W外=0，

所以mgR-umgL-WAB=0

即WAB=mgR-umgL=6(J)