2024年3月7日发(作者：)
第十九届全国青少年信息学奥林匹克联赛初赛
提高组C++语言试题
竞赛时间：2013年10月13日14:30~16:30
选手注意：
试题纸共有12页，答题纸共有2页，满分100分。请在答题纸上作答，写在试题纸上
的一律无效。
不得使用任何电子设备（如计算器、手机、电子词典等）或查阅任何书籍资料。
一、单项选择题（共15题，每题1.5分，共计22.5分；每题有且仅有一个正确选项）
1.一个32位整型变量占用（）个字节。
A.4 B.8 C.32 D.128
2.二进制数11.01在十进制下是（）。
A.3.25 B.4.125 C.6.25 D.11.125
3.下面的故事与（）算法有着异曲同工之妙。
从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事：?从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事：‘从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚给小和尚讲故事....’?
A.枚举 B.递归 C.贪心 D.分治
4.1948年，（）将热力学中的熵引入信息通信领域，标志着信息论研究的开端。
文档
A.冯·诺伊曼（John von Neumann） B.图灵（Alan Turing）
C.欧拉（Leonhard Euler） D.克劳德·香农（Claude
Shannon）
5.已知一棵二叉树有2013个节点，则其中至多有（）个节点有2个子节点。
A.1006 B.1007 C.1023 D.1024
6.在一个无向图中，如果任意两点之间都存在路径相连，则称其为连通图。右图是一个有5个顶点、8条边的连通图。若要使它不再是连通图，至少要删去其中的（）条边。
A.2 B.3 C.4 D.5
7.斐波那契数列的定义如下：F1=1,F2=1,Fn=Fn–1+Fn–2(n≥3)。如果用下面的函数计算斐波那契数列的第n项，则其时间复杂度为（）。
int F(int n)
{
if(n<=2)
return 1;
else
return F(n-1)+F(n-2);
}
A.O(1) B.O(n) C.O(n2) D.O(Fn)
8.二叉查找树具有如下性质：每个节点的值都大于其左子树上所有节
文档
点的值、小于其右子树上所有节点的值。那么，二叉查找树的（）是一个有序序列。
A.先序遍历 B.中序遍历 C.后序遍历 D.宽度优先遍历
9.将（2,6,10,17）分别存储到某个地址区间为0~10的哈希表中，如果哈希函数h(x)=（），将不会产生冲突，其中a mod b表示a除以b的余数。
A.x mod 11 B.x2mod 11
C.2x mod 11 D.
4协议使用32位地址，随着其不断被分配，地址资源日趋枯竭。因此，它正逐渐被使用（）位地址的IPv6协议所取代。
A.40 B.48 C.64 D.128
11.二分图是指能将顶点划分成两个部分，每一部分内的顶点间没有边相连的简单无向图。那么，12个顶点的二分图至多有（）条边。
A.18 B.24 C.36 D.66
12.（）是一种通用的字符编码，它为世界上绝大部分语言设定了统一并且唯一的二进制编码，以满足跨语言、跨平台的文本交换。目前它已经收录了超过十万个不同字符。
e 2312 5
13.把64位非零浮点数强制转换成32位浮点数后，不可能（）。
A.大于原数 B.小于原数 C.等于原数 D.与原数符号相反
14.对一个n个顶点、m条边的带权有向简单图用Dijkstra算法计算单源最短路时，如果不使用堆或其它优先队列进行优化，则其时间复杂
文档
度为（）。
A.O(mn+n3) B.O(n2) C.O((m+n)log n) D.O((m+n2)log n)
15.T(n)表示某个算法输入规模为n时的运算次数。如果T(1)为常数，且有递归式T(n)=2*T(n/2)+2n，那么T(n)=（）。
A.Θ(n) B.Θ(n log n) C.Θ(n2) D.Θ(n2log n)
二、不定项选择题（共5题，每题1.5分，共计7.5分；每题有一个或多个正确选项，多选或少选均不得分）
1.下列程序中，正确计算1,2,…,100这100个自然数之和sum（初始值为0）的是（）。
A. for(i=1;i<=100;i++)
sum+=i;
B. i=1;
while(i>100){
sum+=i;
i++;
}
C. i=1;
do{
sum+=i;
i++;
}while(i<=100);
D. i=1;
do{
sum+=i;
i++;
}while(i>100);
2.（）的平均时间复杂度为O(n log n)，其中n是待排序的元素个数。
A.快速排序 B.插入排序 C.冒泡排序 D.归并排序
3.以A0作为起点，对下面的无向图进行深度优先遍历时（遍历的顺文档
序与顶点字母的下标无关），最后一个遍历到的顶点可能是（）。
A.A1 B.A2 C.A3 D.A4
4.（）属于NP类问题。
A.存在一个P类问题
B.任何一个P类问题
C.任何一个不属于P类的问题
D.任何一个在（输入规模的）指数时间内能够解决的问题
NOIP复赛考试结束后，因（）提出的申诉将不会被受理。
A.源程序文件名大小写错误
B.源程序保存在指定文件夹以外的位置
C.输出文件的文件名错误
D.只提交了可执行文件，未提交源程序
三、问题求解（共2题，每题5分，共计10分；每题全部答对得5分，没有不得分）
1.某系统自称使用了一种防窃听的方式验证用户密码。密码是n个数s1,s2,…,sn，均为0或1。该系统每次随机生成n个数a1,a2,…,an，均为0或1，请用户回答(s1a1+s2a2+…+snan)除以2的余数。如果多次的回答总是正确，即认为掌握密码。该系统认为，即使问答的过程被泄露，也无助于破解密码——因为用户并没有直接发送密码。
文档
然而，事与愿违。例如，当n=4时，有人窃听了以下5次问答：
就破解出了密码s1=_________，s2=_________，s3=_________，s4=_________。
2.现有一只青蛙，初始时在n号荷叶上。当它某一时刻在k号荷叶上时，下一时刻将等概率地随机跳到1,2,…,k号荷叶之一上，直至跳到1号荷叶为止。当n=2时，平均一共跳2次；当n=3时，平均一共跳2.5次。则当n=5时，平均一共跳_________次。
四、阅读程序写结果（共4题，每题8分，共计32分）
1.#include
#include
using namespace std;
int main( )
{ string
Str;
cin>>str;
int n = ( );
文档
bool isPlalindrome = true;
for (int i =0; i if (str[i] !=str[n-i-1]) isPlalindrome = false; } if(isPlalindrome) cout << ”Yes” << endl; else cout << ”No” << endl; } 输入：abceecba 输出：_________ 2. #include using namespace std; int main( ) { int a,b,u,v,i, num; cin >>a>>b>>u>>v; num =0; for ( i= a; I <=b; i++) if (((i%u) ==0)||((i%v)==0)) num ++; 文档 count < return 0; } 输入：1 1000 10 15 输出：_________ 3. #include using namespace std; int main( ) { const int SIZE = 100; int height[SIZE], num[SIZE], n, ans; cin>>n; for (int i=0; i cin >>height[i]; num[i]= 1; for (int j=0; j if ((height[j] num[i] =num[j]+1; } } ans =0; 文档 for(int I = 1; i if(num[i] >ans) ans =num[j]; } Cout < } 输入： 8 3 2 5 11 12 7 4 10 输出：_________ 4.#include #include using namespace std; const int SIZE = 100; int n, m, p, a[SIZE] [SIZE], count; void colour (int x, int y) { Count++; a[x][y] = 1; if ((x > 1)&& (a[x-1][y] == 0)) colour( x - 1, y); 文档 if ((y> 1)&& (a[x][y-1] == 0)) colour( x, y- 1); if ((x < n)&& (a[x+1][y] == 0)) colour( x +1, y); if ((y < m)&& (a[x][y+1] == 0)) colour( x, y+1); } int main( ) { int i, j, x, y, ans; memset(a, 0, sizeof(a)); cin >>n>>m>>p; for(i =1 ; I <=p; i++) { cin>>x>>y; a[x][y] = 1; } ans = 0; for (i =1; i <=n; i++) for (j =1; j <=m;j++) if (a[i][j] == 0) 文档 {count = 0; colour (i , j); if (ans ans } count< return 0; } 输入： 6 5 9 1 4 2 3 2 4 3 2 4 1 4 3 4 5 5 4 6 4 输出：_________ 五、完善程序（第1题15分，第2题13分，共计1.（序列重排）全局数组变量a定义如下： 文档 28分） Const int SIZE = 100; int a[SIZE],n; 它记录着一个长度为n的序列a[1],a[2],…,a[n]。 现在需要一个函数，以整数p(1≤p≤n)为参数，实现如下功能：将序列a的前p个数与后n–p个数对调，且不改变这p个数（或n–p个数）之间的相对位置。例如，长度为5的序列1,2,3,4,5，当p=2时重排结果为3,4,5,1,2。 有一种朴素的算法可以实现这一需求，其时间复杂度为O(n)、空间复杂度为O(n)： void swap1(int p) { int i, j, b[SIZE]; for (i = 1; i <= p; i++) b[ ( 1) ] = a[i]; //（2 分） for (i = p + 1; i <= n; i++) b[i - p] = a[i]; for (i = 1; i <= n; i++) a[i] = b[i]; } 我们也可以用时间换空间，使用时间复杂度为 O(n2)、空间复杂度为 O(1)的算法： void swap2(int p) { int i, j, temp; for (i = p + 1; i <= n; i++) { temp = a[i]; for (j = i; j >= (2) ; j--) //（2 分） a[j] = a[j - 1]; (3) = temp; //（2 分） } } 事实上，还有一种更好的算法，时间复杂度为O(n)、空间复杂度为O(1)： void swap3(int p) { int start1, end1, start2, end2, i, j, temp; 文档 start1 = 1; end1 = p; start2 = p + 1; end2 = n; while (true) { i = start1; j = start2; while ((i <= end1) && (j <= end2)) { temp = a[i]; a[i] = a[j]; a[j] = temp; i++; j++; } if (i <= end1) start1 = i; else if ( (4) ) { //（3分） start1 = (5) //（3分） endl = (6) //（3分） start2 = j; } else break; } } 2.（两元序列）试求一个整数序列中，最长的仅包含两个不同整数的连续子序列。如有多个子序列并列最长，输出任意一个即可。例如，序列“1 1 2 3 2 3 2 3 3 1 1 1 3 1”中，有两段满足条件的最长子序列，长度均为7，分别用下划线和上划线标出。 #include using namespace std; int main() { const int SIZE = 100; int n, i, j, a[SIZE], cur1, cur2, count1, count2, ans_length, ans_start, ans_end; //cur1, cur2分别表示当前子序列中的两个不同整数 //count1, count2分别表示cur1, cur2在当前子序列中出现的次数 cin>>n; for (i = 1; i <= n; i++) cin>>a[i]; i = 1; j = 1; //i, j分别表示当前子序列的首尾，并保证其中至多有两个不同整数 while ((j <= n) && (a[j] == a[i])) 文档 } j++; cur1 = a[i]; cur2 = a[j]; count1 = (1) //（3分） count2 = 1; ans_length = j - i + 1; while (j < n) { j++; if (a[j] == cur1) count1++; else if (a[j] == cur2) count2++; else { if (a[j - 1] == (2) ) { //（3分） while (count2 > 0) { if (a[i] == cur1) count1--; else count2--; i++; } cur2 = a[j]; count2 = 1; } else { while (count1 > 0) { if (a[i] == cur1) (3) //（2分） else (4) //（2分） i++; } (5) //（3分） count1 = 1; } } if (ans_length < j - i + 1) { ans_length = j - i + 1; ans_start = i; ans_end = j; } } for (i = ans_start; i <= ans_end; i++) cout< return 0; 文档 答案解析 一、单选题（15*1.5） 1、A，一个字节有8个bit，32位整型变量占用4个字节，故选A。 2、A，二进制11.01转为十进制，（11.01）2 = 1*2+1+0*0.5+1*0.25 = （3.25）10 。 3、B,老和尚给小和尚讲的故事里边有故事本身，递归是函数内部调用函数本身，故选B，递归。 4、D，香农信息论鼻祖。 5、A，一定是满二叉树时拥有2个字节点的节点数最多，最下一层会有2013-1023=990个节点，于是倒数第二层会有990/2=495个节点有2个字节点，从第1层到倒数第三层共有1023-2^9=511个节点，且这些节点都是用2个子节点的节点，所以共有495+511=1006个，选A。 6、B，要使图不联通，只要其中某一个节点不连通即可，所有顶点度最少是3，所以最少需要删除3条边，选B。 7、D，此题最开始一眼扫到的时候脑子进水，跟学生将选B，O（n），实际上不是，计算F1需要1次，计算F2需要一次，计算Fn需要计算F(n-1)的次数加上F（n-2）的次数，所以其实就是计算Fn次，于是答案选择D，至于这个Fn到底是多大，数学上可以计算，它等于O((（1+sqrt(5)）/2)^n). 8、B，这个必须是B，没有什么好说的，中序遍历保证左边都是小于根的，右边都是大于根的，所以可以保证是一个有序序列。 9、D，A项6和17对11取余都是6发生冲突，B项10的平方和17 文档 的平方对11取余都是1发生冲突，C项6的两倍和17的两倍对11取余都是1发生冲突，D项分别为1，2，3，4，不冲突。 10、D，IPV6地址是128位的。谢谢网友指正！ 11、C，二分为6个和6个的顶点，此时边最多，有36条边。 12、B，我的学生几乎全选A去了，因为之前讲题只介绍过ASCII码，但是看到统一二字也应该想到前缀啊。 13、D，64位非零浮点数强制转换成32位浮点数，两个数会有大小上的细微差别，但不会发生符号变化，因为有专门的符号位。 14、B，Dijkstra算法计算单源最短路时间复杂度如果不借助堆或优先队列优化，是O（n^2）. 15、B，此题和学生讲的时候又是脑子进水了，我一眼扫以为选A，后来令n=2，4，8，16等值带如递推式，发现计算出来的T（n）和n不成线性关系，也不成n^2关系，仔细研究了一下，发现其实是nlgn，具体可以画图证明。 二、不定项选择题（5*1.5） 1、AC，求1，2，...100的和，这个平时练习过很多次。 2、AD，只有快速排序和归并排序是nlgn的，冒泡和插入都是n^2的时间复杂度。 3、CD，此题最开始以为选BD，因为我题目错看成宽度优先搜索了。 4、AB，如果一个问题复杂度是该问题的一个实例规模n的多项式函数，则这种可以在多项式时间内解决的问题属于P类问题；可以在多项式时间内验证一个解是否正确的问题称为NP类问题；可以在多项 文档 式时间内解决的问题一定可以在多项式时间内验证，所以P类问题一定属于NP类问题，故此题应选择AB，D我看错了，NP类问题显然不是说在指数时间内能够解决的问题，谢谢网友提示！。 5、ABCD，此题完全不会，因为是第一次带学生参赛，对复赛什么情况完全不了解，个人觉得程序名、输出文件名这类问题不应该是什么大问题应该允许申诉，但对BD这些没按规定要求做的肯定不会受理的，网友回复说选ABCD，那就暂时改为ABCD，如有其他声音，欢迎批评指正。 三、问题求解（2*5） 1、0 1 1 1；此题应该算是简单题，密码都是0或1，所以根据第5项可以很轻松得到S1=0，再根据第1项可以得到S2=1，再根据第3项可以S3=1，最后根据第2项得到S4=1，然后利用第4项进行验证发现可行。 2、37/12，此题最开始看到做不出来，只知道这是一道求数学期望的题目。计算n=2为什么平均一共跳2次的时候，我最开始是这么想的，1次跳到1处的概率是1/2，2次的概率是1/4，3次是1/8.。。。于是数学期望Ex=1*1/2+2*1/4+3*1/8+......=2，但是这样的计算对于后边n=3，得情况却怎么都算不了，于是想到递归，设从2跳到1的期望是f2，那么有1/2的概率是一次跳到1，还有1/2的概率是（1+f2)次跳到1，即第一次没有跳到1，跳到2的情况，于是可以列出等式：f2=1*1/2+（1+f2)*1/2,解出f2=2；对于n=3，则有1/3的概率一次跳到1，有1/3的概率（1+f2）次跳到1，即第一次跳到2，再从2跳到1的过程， 文档 最后还有1/3的概率（1+f3）次跳到1，于是f3=1/3+（1+f2）*1/3+（1+f3）*1/3，解出f3=2.5；同理f4=1/4+（1+f2）*1/4+（1+f3）*1/4+（1+f4）*1/4，解出f4=17/6；f5=1/5+（1+f2)*1/5+(1+f3)*1/5+(1+f4)*1/5+(1+f5)*1/5,解出f5=37/12. 四、阅读程序写结果（4*8） 1、Yes，此程序判断给定字符串是否是回文串。显然输入串"abceecba"是回文串。 2、133，此题计数1-1000范围内能够整除10或15的数有多少个，使用容斥原理或者集合求并很容易可以得到1000/10+1000/15-1000/30=133. 3、4，此题实际上是一种简单的动态规划的方法找最长递增串的长度，从输入数据3 2 5 11 12 7 4 10来看，显然最长的递增串可以是3 5 11 12，长度为4； 4、7，似乎二分图染色问题，手动模拟出结果为7. 五、完善程序(15+13) 1、n-p+i i-p+1 a[i-p] i>end1 i j-1; 序列重排还是比较简单的一道题目，第一种方法是通过开一个b数组，然后先将a数组中1到p的数复制到b数组中n-p+1到n，将p+1到n区间的数复制到b数组1，n-p，最后再将b数组元素复制回a数组中；显然第一空是n-p+i。 第二种方法是以时间换空间的方法，每一次先将要移到前面的数保存在temp中，然后将前面那p个数依次往后移，再将空出来的那个位 文档 置存temp；所以第二个空和第三个空分别是i-p+1和a[i-p]。 第三种方法的实际上是一种递归的思想，第四、五、六空分别是 i〉end1 i，i，j-1 2、j-i cur1 count1--; count2--; cur1=a[j],此题没什么好说的，题目中的注释已经讲得很明白了。 文档
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