2024年3月10日发(作者：)

绝密★启用前

2021年普通高等学校招生全国统一考试

数

注意事项：

学

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1．设集合

A{x|2x4}

，

B{2,3,4,5}

，则

A

A．

{2}

B．

{2,3}

B

D．

{2,3,4}

C．

{3,4}

2．已知

z2i

，则

z(zi)

A．

62i

B．

42i

C．

62i

D．

42i

3．已知圆锥的底面半径为

2

，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为

A．2B．

22

C．4D．

42

π

4．下列区间中，函数

f(x)7sin(x)

单调递增的区间是

6

π

A．

(0,)

2

π

B．

(,π)

2

C．

(π,

3π

)

2

D．

(

3π

,2π)

2

x

2

y

2

5．已知

F

，

F

是椭圆

C：1

的两个焦点，点

M

在

C

上，则

|MF

||MF|

的最

12

12

94

大值为

A．13B．12C．9D．6

sin

θ

(1sin2

θ

)

6．若

tanθ2

，则

sin

θ

cos

θ

A．

6

5

B．

2

5

C．

2

5

D．

6

5

数学试题第1页（共17页）

7．若过点

(a,b)

可以作曲线

ye

x

的两条切线，则

A．

e

b

a

B．

e

a

b

C．

0ae

b

D．

0be

a

8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，

每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取

出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两

次取出的球的数字之和是7”，则

A．甲与丙相互独立

C．乙与丙相互独立

B．甲与丁相互独立

D．丙与丁相互独立

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．有一组样本数据

x,x,

12

,x

，由这组数据得到新样本数据

n

y

,y,

12

,y

，其中

n

y

xc(i1,2,

ii

,n)

，

c

为非零常数，则

A．两组样本数据的样本平均数相同

C．两组样本数据的样本标准差相同

12

B．两组样本数据的样本中位数相同

D．两组样本数据的样本极差相同

3

10．已知

O

为坐标原点，点

P(cosα,sinα)

，

P(cosβ,sinβ)

，

P(cos(αβ),sin(αβ))

，

A(1,0)

，则

A．

|OP||OP|

12

B．

|AP||AP|

12

2

C．

OAOP

OPOP

31

D．

OAOP

OPOP

123

11．已知点

P

在圆

(x5)

2

(y5)

2

16

上，点

A(4,0)

，

B(0,2)

，则

A．点

P

到直线

AB

的距离小于10

C．当

PBA

最小时，

|PB|32

1111

B．点

P

到直线

AB

的距离大于2

D．当

PBA

最大时，

|PB|32

1

12．在正三棱柱

ABCABC

中，

ABAA1

，点

P

满足

BPλBCμBB

，其中

λ[0,1]

，

μ[0,1]

，则

A．当

λ1

时，

△ABP

的周长为定值

1

B．当

μ1

时，三棱锥

PABC

的体积为定值

1

1

C．当

λ

时，有且仅有一个点

P

，使得

A

PBP

1

2

1

D．当

μ

时，有且仅有一个点

P

，使得

A

B

平面

ABP

11

2

数学试题第2页（共17页）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数

f(x)x

3

(a2

x

2

x

)

是偶函数，则

a

__________．

14．已知

O

为坐标原点，抛物线

C：y

2

2px(p0)

的焦点为

F

，

P

为

C

上一点，

PF

与

x

轴垂直，

Q

为

x

轴上一点，且

PQOP

．若

|FQ|6

，则

C

的准线方程为

__________．

15．函数

f(x)|2x1|2lnx

的最小值为__________．

16．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规

格为

20dm12dm

的长方形纸，对折1次共可以得到

10dm12dm

，

20dm6dm

两

种规格的图形，它们的面积之和

S240dm

2

，对折2次共可以得到

5dm12dm

，

1

10dm6dm

，

20dm3dm

三种规格的图形，它们的面积之和

S

180dm

2

，以此

2

类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为__________；如果对折

n

次，那

n

么

S

__________

dm

2

．

k

k1

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

已知数列

{a

}

满足

a

1

，

a

n

1

n1

a

n

1,n为奇数,

a

n

2,n为偶数.

n

（1）记

ba

，写出

b

，

b

，并求数列

{b

}

的通项公式；

n2n

1

2

（2）求

{a

}

的前20项和．

n

18．（12分）

某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在

两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若

回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛

结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题

回答正确得80分，否则得0分。

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，

且能正确回答问题的概率与回答次序无关．

（1）若小明先回答A类问题，记

X

为小明的累计得分，求

X

的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．

数学试题第3页（共17页）

19．（12分）

记

△ABC

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

．已知

b

2

ac

，点

D

在边

AC

上，

BDsinABCasinC

．

（1）证明：

BDb

；

（2）若

AD2DC

，求

cosABC

．

20．（12分）

如图，在三棱锥

ABCD

中，平面

ABD

平面

A

E

BCD

，

ABAD

，

O

为

BC

的中点．

（1）证明：

OACD

；

（2）若

△OCD

是边长为1的等边三角形，点

E

在

棱

AD

上，

DE2EA

，且二面角

EBCD

的大小为

B

O

C

D

45

，求三棱锥

ABCD

的体积．

21．（12分）

在平面直角坐标系

xOy

中，已知点

F

(17,0)

，

F(17,0)

，点

M

满足

1

2

|MF||MF|2

．记

M

的轨迹为

C

．

12

（1）求

C

的方程；

1

（2）设点

T

在直线

x

上，过

T

的两条直线分别交

C

于

A

，

B

两点和

P

，

Q

两点，

2

且

|TA||TB||TP||TQ|

，求直线

AB

的斜率与直线

PQ

的斜率之和．

22．（12分）

已知函数

f(x)x(1lnx)

．

（1）讨论

f(x)

的单调性；

11

（2）设

a

，

b

为两个不相等的正数，且

blnaalnbab

，证明：

2e

．

ab

数学试题第4页（共17页）

绝密★启用前试卷类型：B

2021年普通高等学校招生全国统一考试

数学

本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题

卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码

横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项

的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答

案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各

题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写

上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1．设集合

A

x|2x4

，

B

2,3,4,5

，则

A

A．

2

【答案】B

2．已知

z2i

，则

zzi

（

A．

62i

【答案】C

3．已知圆锥的底面半径为

2

，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（

A．

2

B．

22

C．

4

D．

42

）

B．

42i

B．

2,3

C．

3,4

B

（）

D．

2,3,4



）

C．

62i

D．

42i

数学试题第5页（共17页）

【答案】B



4．下列区间中，函数

f

x

7sin

x

单调递增的区间是（）

6







3



3

A．

0，

B．

,

C．

,

D．

,2

2



2



2



2

【答案】A

x

2

y

2

5．已知

F

，

F

是椭圆

C

：

1

的两个焦点，点

M

在

C

上，则

MFMF

的最

12

12

94

大值为（

A．

13

【答案】C

6．若

tan

2

，则

6

A．

5

）

B．

12

sin

1sin2

sin

cos

2

B．

5

C．

9

D．

6

（）

2

C．

5

6

D．

5

【答案】C

7．若过点

a,b

可以作曲线

ye

x

的两条切线，则（

A．

e

b

a

【答案】D

8．有

6

个相同的球，分别标有数字

1

，

2

，

3

，

4

，

5

，

6

，从中有放回的随机取两次，

每次取

1

个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是

1

”，乙表示事件“第二次取出

的球的数字是

2

”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是

8

”，丁表示事件“两次

取出的球的数字之和是

7

”，则（

A．甲与丙相互独立

C．乙与丙相互独立

【答案】B

）

B．甲与丁相互独立

D．丙与丁相互独立

B．

e

a

b

）

C．

0ae

b

D．

0be

a

二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

1

2n12n

9．有一组样本数据

x

，

x

，…，

x

，由这组数据得到的新样本数据

y

，

y

，…，

y

，

其中

yxc

i1,2,

ii

,n

，

c

为非零常数，则（）

数学试题第6页（共17页）

A．两组样本数据的样本平均数相同

B．两组样本数据的样本中位数相同

C．两组样本数据的样本标准差相同

D．两组样本数据的样本极差相同

【答案】CD

10．已知

O

为坐标原点，点

P

cos

,sin

，

P

cos

2

,sin

，

1

P

cos

,sin

，

A

1,0

，则（）

3

A．

OP

B．

AP

1

OP

21

AP

2

C．

OAOP

3

OP

1

OP

2

D．

OAOP

1

OP

2

OP

3

【答案】AC

11．已知点

P

在圆

x5

2

y5

2

16

上，点

A

4,0

，

B

0,2

，则（）

A．点

P

到直线

AB

的距离小于

10

B．点

P

到直线

AB

的距离大于

2

C．当

PBA

最小时，

PB32

D．当

PBA

最大时，

PB32

【答案】ACD

12．在正三棱柱

ABCABC

中，

ABAA1

，点

P

满足

BP

BC

BB

，其中

1111

1

0,1

，

0,1

，则（）

A．当

=1

时，

AB

1

P

的周长为定值

B．当

1

时，三棱锥

PA

1

BC

的体积为定值

C．当

1

2

时，有且仅有一个点

P

，使得

A

1

PBP

D．当

1

2

时，有且仅有一个点

P

，使得

A

1

B

平面

AB

1

P

【答案】BD

数学试题第7页（共17页）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数

f

x

x

3

a2

x

2

x

是偶函数，则

a

【答案】1

14．已知

O

为坐标原点，抛物线

C

：

y

2

2px

p0

的焦点为

F

,

P

为

C

上一点，

PF

与

x

轴垂直，

Q

为

x

轴上一点，且

PQOP

．若

FQ6

，则

C

的准线方程



．

为

【答案】

x

3

2

．

15．函数

f

x

2x12lnx

的最小值为

【答案】

1

．

16．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规

格为

20 dm12 dm

的长方形纸，对折

1

次共可以得到

10 dm12 dm

，

20 dm6 dm

两

种规格的图形，它们的面积之和

S240 dm

2

，对折

2

次共可以得到

5 dm12 dm

，

1

10 dm6 dm

，

20 dm3 dm

三种规格的图形，它们的面积之和

S

180 dm

2

，以此

2

类推．则对折

4

次共可以得到不同规格图形的种数为

n

那么

S

k

k1

；如果对折

n

次，

dm

2

．

n3

【答案】

5

，

720240

2

n

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

已知数列

a

满足

a

n

1

1

，

a

n1

a1n为奇数

．

n

a

n

2n为偶数

n

（1）记

ba

，写出

b

，

b

，并求数列

b

的通项公式；

n2n

1

2

（2）求

a

的前

20

项和．

n

数学试题第8页（共17页）

【答案】（1）

2n

为偶数，

则

a

2n1

a2

，

a

2n2n2

a

2n1

1

，

a

2n2

a3

，即

b

2nn1

b3

，且

baa12

，

n121

b

是以

2

为首项，3为公差的等差数列，

n

b2

，

b5

，

b3n1

．

1

2

n

（2）当

n

为奇数时，

aa

nn1

1

，

a

的前

20

项和为

n

a

a

12

a

20

a

a

13

a

19

a

2

a

4

a

a

20



a

1

a

1

24

a

1

a

a

2024

20

2

a

a

24

a

20

10

．

由（1）可知，

a

a

24

abb

2012

b

10

109

2103

2

155

．

a

的前

20

项和为

215510300

．

n

18．（12分）

某学校组织“一带一路”知识竞赛，有

A

，

B

两类问题．每位参加比赛的同学先在

两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；

若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同

学比赛结束．

A

类问题中的每个问题回答正确得

20

分，否则得

0

分；

B

类问题中的

每个问题回答正确得

80

分，否则得

0

分．

数学试题第9页（共17页）