2024年3月17日发(作者：)
数学年刊
A
辑
2021,
42(2):189-200
DOI:
10.16205/.2021.0016
关于具有阻尼项的扩散方程
*
*
詹华税
1
袁洪君
2
提要
文章研究了具有阻尼项的扩散方程
(ift
—
-
=
div^^
|
Vu|
p_2
Vu)
—
a(x)|Vu|9
,
ot
讨论了该方程的初边值问题解的存在性
，其中
a
>
0,
g
<
p,
p
［
x)
=
dist(x,5fi)
是空间变量到边界
dQ
的距离函数
，
a(x)
是已知非负有界函数.作者利用抛物正则化的方法，
证明了方程弱解的存在性.通过
对检验函数的适当选取
，
可以在没有边界值条件下证明弱解的唯一性.
关键词
弱解，
阻尼项
，
初边值问题
，
唯一性
MR
(2000)
主题分类
35K65,
35K55
中图法分类
0175.26
文献标志码
A
文章编号
1000-8314(2021)02-0189-12
1
引言
本文研究边界退化的具有阻尼项的扩散方程
—
=
div(p
a
|Vu|
p
-
2
Vu)
-
a^lVul
9
,
(z,t)
=
(0,T),
(1.1)
其中
C
是
IRN
中的有界区域,边界处充分光滑,
p(©=
dist(z,g)
是空间变量到边界的
距离函数,
a(©
是已知非负有界函数,
p>l,p>q>
0
.当
a
=
0
时
，
方程
(1.1)
就变为带
阻尼项的发展的
p-Laplace
方程
厉
=
div(|Vu|
p_2
Vu)
-
a(x)Vu
q
,
(x.f)
e
Q
t
,
(1.2)
尹景学和王春朋⑴研究了
Bq
］
铳
=
div(p
a
|Vu|
p_2
Vu),
(z,t)
e
Q
t
,
(1-3)
讨论了不需要给任何的边界条件解的存在唯一性.我们在文
［
2
］
中将文
［
1
］
的结果推广到
了具有对流项的类似方程
，
同时文
［
3-4
］
等还将文
［
1
］
的结果推广到了具有变指数的类似
的方程•不同于一般的发展的旷
Laplace
方程
，
方程
(1.2)
的最大特点是解的唯一性一般不
成立.可参见文
［
5-7
］
,
这当然是由于方程
(1.2)
中阻尼项的影响.
本文
2018
年
9
月
25
日收到
，
2019
年
3
月
11
H
收到修改稿.
1
厦门理工学院应用数学学院
，
福建厦门
361024.
E-mail:
*******************.cn
2
吉林大学数学学院
，
长春
130012.
E-mail:
***********.cn
*本文受到福建省自然科学基金
(No.
2019J01858)
的资助.
190
数学年刊
A
辑
42
卷
与方程
(1.2)
不同
，
方程
(1.1)
具有边界退化的性质
，
根据我们的研究结果冈
，
我们发
现这种边界退化性有可能代替一般的边界值条件.因此,我们猜测方程
(1.1)
与方程
(1.2)
有着本质的不同.在本文中
，
我们将讨论方程
(1.1)
具有如下初值条件
：
u(x,
0)
=
uo(^),
x
€
Q,
(1-4)
但没有一般的边界条件
u(x,f}
—
0,
(z,
t)
G
d^l
x
(0,
T)
(1.5)
解的存在性和唯一性.
定义
1.1
函数称为方程
(1.1)
具有初值条件
(1.4)
的弱解
，
如果
UeC(0,T;L
2
(fi))p|L°°(Q
T
),
u
t
e
L
2
(Q
t
),
P
a
Vu
p
e
LQ
t
),
(1.6)
且对任意函数
o
e
晞
(Q
t
),
以下积分等式成立:
11
ut + p a S7u p ~ 2 S7u ■ J J Q t 初值条件是在 + a(z)| ▽"卩 °(a:)]da:dt = 0. (1.7) u(x,t) — 如⑵血 = 0 的意义下成立. 本文的主要结果如下. (1.8) 定理 1.1 设 p > 2, 2g < p, a(z) 是非负 C 1 连续函数 ， 且 a(z) W cp 弩, u 0 (x) e pVu 0 p e L X (Q), (1.9) 则方程 (1.1) 具有初值条件 (1.4) 问题存在一解. 定理 1.2 设 p>2,q 初值条件满足 (1.9), 则方程 (1.1) 具有初值 (1.4) 问题的 解是唯一的. 需要指出的是 ， 本文讨论的问题之所以回避普通的边界条件 (1.5), 是因为其弱解在边 界上没有足够的正则性.我们可以回顾一下文献中相关的结论.文 ［ 1 ］ 已经指出方程 (1.3) 当 a 1 时 ， 有 I / S7udxdt < oo, J JQ t (1.10) 因此 ， 在此时方程 (1.3) 可以赋予边界条件 (1.5) 在迹的意义下成立,同时证明了在边界条 件下的解的唯一性.当 a^P~ 1 时 ， 文 ［ 1 ］ 还指出了解的唯一性无需边界条件 (1-5) 也成 立.文 ［ 3 ］ 则讨论了当方程 (1.3) 的常指数 p 由变指数卩仗)所代替时 ， 具有类似的结果.文 ⑷进一步指出了即使当 a < P - 1 时 ， 边界条件 (1-5) 也不是唯一性的必要条件.文 ［ 8-9 ］ 2 期 詹华税袁洪君 关于具有阻尼项的扩散方程 191 则讨论了带有对流项的方程 = div(p a |Vu| p_2 Vu) + d g^ > ( 2 ； , i) G Q t i=l (1-11) 的相关结论. 当然 ， 由于方程 (1-1), (1.3) 和 (1.11) 的二阶导数项与方程 (1.3) 一样,所以当 a 时,不等式 (1-10) 依然成立,依然可以赋予边界条件 (1.5) 在迹的意义下成立.问题是 ， 因 为扩散系数 P a 在边界 甌 上退化， 所以当我们考虑唯一性时 ， 边界条件可能并不需要,或 者仅仅需要部分边界条件 ［ 10 ］ - 与文 ［ 1, 3 4, 8-10 ］ 不同的是,本文所讨论的方程 (1.1) 里面含有阻尼项 ， 首先 ， 文 ［ 4, 8-10 ］ 等的解的定义不适合于本文.其次， 在应用抛物正则化方法证明解的存在性时必须 要论证阻尼项具有局部强收敛性 ， 同时也使得我们增加了扩散项弱收敛 £1 ▽讷旷 2 ▽堆 T p a S7u p - 2 S7u 的困难.至于证明唯一性 ， 由于没有边界条件 ， 直接证明唯一性不太可能 ， 则要立足于去证 明解的局部稳定性,这个思想在文 ［ 9 ］ 中已经有体现.与文 ［ 9 ］ 的对流项不同 ， 在证明弱解 的局部稳定性时 ， 本文要处理的是阻尼项 ， 所以技巧上有一些本质的不同.另外 ， 文 ［ 11-12 ］ 讨论了没有扩散系数 P a 的相关的方程 ， 里面涉及到梯度项的强收敛问题 ， 但本文论证阻 尼项的强收敛证明方法与文 ［ 11-12 ］ 也略有不同. 2 解的存在性 先考虑正则化问题: u £t - div(pg |Vu e | p_2 Viz e ) + a(a:)|Viz e | 9 = 0, = 0, W Q t , € BQ x (0, T), (2-1) (2-2) (2-3) 其中 p? = 严 + £. 根据散度型经典抛物方程理论,类似于一般的发展的 p-Laplace 方程的 讨论,对任意满足如 0 ( © e E°°(Q), 凿▽如 o(© 严 e 01(d), 则上述问题存在唯一弱解 % e c ( o, t - r 2 ( n )) p|i/ ( o, 护(⑵) ， 且 %t W 于是,对任意炉 6 掘 (Q t ), % 满足下面的积分等式 ： + Pg |Vu e | p_2 Vu e V<^ + a(a:)|Viz e | 9 <^]da:di = 0. (2-4) 192 数学年刊 A 辑 42 卷 弓 |理 2.1 假设 2q < p, a(x) W cp ” ， 呦仗) e L°° ( n ) , p Q |Vuo(a ； )| p G 沪®),且 I 血 oil"®) 及淫|▽堆 ,o@)|P e P(fi) 一致有界 ， u efi 在 W 撼 (C) 中收敛于 u 0 , 则初边值 问题 ( 2.1)72.3) 的弱解 Ue 在必 JQ t ) 中收敛且极限函数 U 是方程 (1.1) 满足初值条件 (1.4) 的弱解. 证 由极大值原理 ， 存在只与 || w 0 || l = o ( q ) , pa|Wo@)|P e 巩 C) 有关 、 与 £ 无关的常 数 c, 使 (2.5) 以％乘 (2.1) 两边 ， 则有 £ I u^dx + u £ a(x)Vu £ q dxdt + p^^u £ p dxdt / u^. o dx. 2 丿 a 2 J q 5 由 a{x) W cp 器, 利用 Young 不等式可知 [ f p aVu £ p dxdt < J JQ t p^Vu e p dxdt c. (2-6) 由于 p(x) 是连续函数且只在边界为 0, 当然有 n 即有 Pg |Vii e | p dxdt = j [ (p + £ ) a S7u £ p dxdt ! Jo Jo 2 / f p a Vu e p dxdt Jo J q p a S7u e p dxdt + f f p a S7u £ p dxdt Jo JQn A > A a / [ Vu £ p dxdt, Jo JQx S7u e p dxdt W A p«|Vw e | p d^dt^c(A,T), 其中门人 = {z € C : p(z) > 入}.又因为 0 W a(z) 是有界函数, a(z) W c. 由 2q < p, 若对于 任意的紧子集 Ci C C, 对于任意的 ［ s,t c (0,T), 记 dr = distg,%), 则由 (2.6) 式知 ， a(x)S7u e q dxdt a(x)7u £ q dxdt W cd] 卩 / / p~p ^u £ q dxdt J O J Qi I I p^p Vu £ g dxdt Jo Jo W c(Qi). (2-7) 以 u 就 乘⑵ 1) 两边 ， 并在 Q t 上积分 ， 则有 |u e t| 2 dxdi = div Vu £ p ~ 2 S7u £ )u £ t dxdt + “ 氏 a@) | ▽ % f d%dt. 2 期 詹华税袁洪君 关于具有阻尼项的扩散方程 注意到 div(p^S7u £ p ~ 2 Vu £ )u £t dxdt = -[[ Pg |Vu e | p_2 Vu e - Vu et dxdt J JQ t = ~2 1 Pe “ dt d J 严 o @£ ) F S p — 2 2 dsdxdt ' 由 Holder 不等式 2q < p, 及假设 q (© W cp 器, %±a@) ^u £ g dxdt 誌 ]] q |u £t | 2 d2 ； di+ I (x) 2 ^u s^ q dxdt 2a 2 u £t 2 dxdt + - 由 ( 2.8) - (2.9), 有 仏严 2 T 仏需/ ISz (呼 )|2 口 s 2 dsdrrdi W c. 由上式得到 u £t ^dxdt W c + c / Pc |Vw e ) 0 | p dx W c. Ja 因此存在函数"和口维向量函数 t = (Q,Q, … ,Cn), 满足 U GC(0,T;L 2 (Q))p|L°°(Q T ), u t e L 2 (Q t ), ▽堆亠在乙仁( 0 勿中 ， %七 1 牝在 L 2 (Q t ) 中， 空|▽堆 |"2 ▽堆亠疋在中. 并且因为 P > 2, 监血 jWelPdzdt w c(A,T), 利用 (2.10) 和嵌入定理知 % T / 在 L i oc (Q t 冲 ・ 又由⑵ 7) 知,讹 ) 〔 ▽%$ 是局部 L 1 的且其界与 £ 无关,于是有 a(j;)|Vu e | 9 — " 在 ®1(Q t ) 中 ， 其中沥 (Q t ) 代表在 Radon 测度意义. 为证 u 满足方程 (1.1), 我们注意到对任意函数炉 e Cg(QE 成立积分等式: 11 u£ t + Pe | Vu e | p_2 Vu e Vyj + a(x)Vu £ q ( pdxdt = 0. J J qt 令 £ T 0, • ▽炉 + u ( p)dxdt = 0. 193 (2-8) (2-9) (2-10) (2.11) (2.12) 194 数学年刊 A 辑 我们要证明对任意函数 9 e C/(QE, f [ p a |Vu| p_2 Vu • ^uipdxdt — [ ^V^drrdi, J J Q t J J Q t J I J / Q a(x)S7u q ( pdxdt = J I J Q / u ( pdxdt. t t 令 0 w 0 € C^(Q t ), 使得在 ip 的支集 suppo 上 , 0 = 1. 令 V e Z8 ( Q t ) , pa Vv P e l Q t ), 则 [[ 切磨 ( 〔 ▽"¥ — 2 ▽呢 一 |▽评 — 2 ▽讪 (▽% 一 ^ dxdt 上 0. J J qt 在 ( 2.11) 中选取 ( P = 0%, 则有 埶 + u £ p^S7u £ p ~ 2 V^ + Pg |Vu e | Pi 0 + a(x)S7u £ qr ipu^dxdt = 0. 结合以上两式 ， 唔仇一 UePe | Vw e p ~ 2 u £ S7^ dxdt — [[ 妙 ?▽%▽© + 血 dt J JQ t + /Z — p a )|V?;| p_2 V?;(Vu e — ^v'jdxdt J J Q t - J JQ ^p a S7v p ~ 2 Vv(yu £ - S7v)dxdt t =[[ (|Vw e | p_2 Vu e - |V?;| p - 2 V?;)(Vu e - ^7v)dxdt J J qt > 0. 注意到 — p a )|V?;| p_2 V?;(Vu e — 在 £ T 0 时趋于 0. 于是有认 — "■^ ▽ 0 ) da;dt — Vv + v^u^dxdt 42 卷 (2-13) ⑵ 14) ⑵ 15) ⑵ 16) 2 期 詹华税袁洪君 关于具有阻尼项的扩散方程 195 — [ ^p a Vv p ~ 2 ^v(yu — V u)da?di * J J Q t > 0. 通过一个极限过程 ， 可以在⑵⑵ 中令 ( P = ④叫 于是有 ⑵ 17) {ut^u + 血) + y^ujdxdt + 飞 (u7tp + ^Vu) + ” 0ii)da;dt =0. 由⑵ 17) — ⑵ 18) 得 - p a Vv p ~ 2 Vv)(yu - ▽©) 血 dt > 0. (2-18) (2-19) 令 Q =" — 入咖入 > 0, 9 w Cf(QL 贝lj — p a |V(u — A<^)| p _2 V( u — X ( p)]V(pdxdt > 0. 令入 T 0, 得到 - p Q |Vu| p - 2 Vu)V9?da:di 2 0. 如果入 < 0, 类似地 ， 可以得到 一 p a ^u p - 2 Vu)^ W 0. 所以 — p a 7u p ~ 2 S7u)V ( pdxdt = 0. 故 (2.13) 得证 ， 并且 t = p a ^u p ~ 2 Vu. (2.20) 以上的方法其实就是采用普通的发展的 "Laplace 方程解的存在性证明一样的方法.就普 通的发展的旷 Laplace 方程而言 ， 其粘性解 u E 还有如下的性质 ： 在西 】 叫 C) 中强 收敛. 下面我们对本方程做类似的讨论.因为 P > 2, 熟知有常数 c, 使得 |Vu e — Vu| p W c(|Vu £ | p - 2 Vu e - |V u | p _2 V u )(V u £ - Vu), 所以 ， 对于任意的紧子集 Cl U C, di = dist(Ci,OC), W C n |Vu e — Vu| p da?di (|Vu e | p_2 Vu £ - |Vu| p_2 Vu)(Vu e — ▽砒血 dt 196 数学年刊 A 辑 42 卷 由于前面已经证明 p a Vu e P~ 2 Vu e T p a VuP~ 2 Vu 于沪( 0, "0 站 (Q)) 上弱收敛 ， 所以 由上式知道 lim J / |Vu e — ^u p dxdt = 0. 由 C Q 的任意性,在嗎炒位))中强收敛.于是 ▽% T W, a.e. Q T . 又因为 2q < p, 显然 Vu e ) Vu e 雄 c ( Q ) ， 于是对于任何的 9 e Cg°(QE, [a(a?)|Vw| 9 — u] ( pdxdt = lim |[a(a?)|Vu| 9 — a(a;)|Vu e | 9 ] ( pdxdt (2.21) 于是⑵ 14) 也得证. 故 u 满足 (1.7). 同时类似于一般发展的严 Laplace 方程的讨论悶-均 ， 初值条件 (1. 8 ) 也成立.故 u 是方程 (1.1) 满足初值条件 (1.4) 的弱解. 3 唯一性的证明 我们证明唯一性.设"和 。 是方程 ( 1.1) 具不同初值条件呦仗) 5 仗)的两个弱解 ， 从 弱解的定义知, P a ^up e l q t ), p a Vvp e l q t ), 并有 [[ p a (|Vu| p_2 Vu - |V?;| p - 2 V?;) - ▽ °da;dt J J Q t ( f a(a?)(|Vu| 9 — Vv q )ipdxdt 对任何炉成立.对于充分小的入 > 0, 令 (3-1) & = [dist(z,a3]0, 其中 (3-2) = {忑 W Q ： p{x) > A}, 0 玄 max 显然 ， 当入 T 0 时, & T [dist(Z, 加)] 0 = pP. 2 期 詹华税袁洪君 关于具有阻尼项的扩散方程 197 通过一个极限过程 ， 可以选取 X[T,S] &仏- %) 作为检验函数 ， 其中粗吶是 A,S] C (0.T) 的特征函数, u £ ,v £ 分别是 u,v 的磨光逼近函数.显然 % e L°°(Q t ) v £ e Q°°(Qf), u £ T ", v £ -> v, a.e. 在 Q t 中 ， l|Vu e || L p ( n A ) W c(A)||Vu|| L p ( n A ) , ||V^|| L p ( q a ) W c (A)||V?;|| L p ( q a ) ) k u, % — q 在 IV 3 ■叫 Q 入)中弱收敛. 对 E s] c (0, T), 记 Q ts = Q X E s ], 贝 Ij & — %)(" — v^tdxdt p a (|Vu| p - 2 Vu - |V?;| p - 2 V?;) • V(u e 一 ％ )&dzdt p a {u e - %)(V"|P-2 _ |V?;| p - 2 V?;) • V^xdxdt a(x)(|Vu| 9 - ) & (% - v^dxdt. (3-3) 显然 ， 在 Cx 内 ， 由弱收敛定义, £ — 0 lim p a (|Vu| p - 2 Vu - |V?;| p - 2 V?;) - ▽(堆- %)&dzdt p a (|Vu| p_2 Vu - |V^| P_2 V?;) - V(u 一 v^xdxdt > 0. (3-4) 又由控制收敛定理 ， 有 p a (u e — v e ')(S7u p ~ 2 S7u 一 〔 ▽。 ” -'▽研 . ▽ &dzdt p a {u - 77 ) (|V u | p _2 V u - |V?;| p - 2 V?;) • ▽ &dzdt. (3-5) 再令 A — > 0, 有 X — 0 lim p a {u — 7 ； )(|Vu| p - 2 Vu - |V77| p - 2 Vv) • ▽ &dzdt p a u — ?;|||Vu| p - 2 Vu 一 〔 ▽©| p -2 ▽训▽&|血逊 严 +0-1 血一训|▽训卩 — 2 一 |▽呼 - 2 ▽训血曲 p a (|Vu| p + 〔 ▽©◎ dzdt ^a+p(/3-l)| u _ ©严血 dt) P . (3-6) 这里我们用到了 |Vp| = 1 几乎处处成立.由于假定了 0 上定 ， 利用血-创的有界性和 Holder 不等式通过对 1 V卩 < 2 和卩上 2 的分别讨论,易知存在 I > 1, 使得 u — v p dxd p^u — v^dxdtj 1 . (3.7) 198 数学年刊 A 辑 42 卷 同时, X — 0 £ - 0 lim lim a(rr)(|Vu| 9 - Vv q )(u £ - %) &血 dt = lim x->o a(x)(|Vw| 9 — |Vf| 9 )(u — v)^xdxdt ( j :)(|V u | 9 一 |▽砂卩 )( “ — v^ppdxdt p a (|Vu| p + |V?;| p )dj;di W c p% 2 ® -皿 ） ［ （ z （ a ； ） |i4 一训芒^血 dt ） P . p 、 p-g a ［ x ）u — v ） p^ dxdtj (3.8) 由于假定了 02 。 隔 ） 2 ,可知 （ 0 一歿 ） 丄 2 0. q 丿 p_q 利用 a{x ） 和 u - v 的有界性 、 Holder 不等式 通过对 1＜ 戸＜ 2 和@上 2 的分别讨 论易知 ， 存在Z ＞ 1, 使得 丿缶 2 ®-皿 ） ［ （ z （ a ； ） |i4 一训芒^血遜 ） P W c W c pPp ： 90 -皿 ） 忆一引: p=g 血 dt ） P p^u — 泸血 dt ） T. (3.9) 最后 ， 由于班 w L 2 （ Q T ） ,vt e 02 （ Q t ） , 利用 Lebesgue 控制收敛定理, lim lim A — 0 € - 0 (% - %)& (他-肌) dzdt pB(u — v)(ut — Vt)dxdt U 紅几-忤 dt 专 /p 咖仗, s ） — © （ 皿 ） | 2 血一 * /护|讹,丁 ） 一呛,丁 ） | 2 血. 于是有 律 / p0| “ (Z,S ) — 0 ( Z,S ) |2dz — 律 / 於 |" ( Z,T ) — 0 ( Z,T ) |2 血 2 Jn 2 J q W c( jj p^u — v 2 dxdtj k , (3.10) (3-11) 其中 k 由此易知 — s)| 2 dx c / p^u(x,r) — v(x,r) 2 dx. Ja ⑶⑵ 2 期 詹华税袁洪君 关于具有阻尼项的扩散方程 199 令 T -> 0, 则有 p^u(x, s) — v(x, s)| 2 drr c / p^u(x, 0) — v(x, 0)| 2 drr W ( |"0 ( 忑)一盹 3)|2 血. (3.13) 由此可知解的唯一性成立. 致谢 感谢所有帮助过我们 、 关心我们的人. 参考文献 [1] Yin J X, Wang C P. Properties of the boundary flux of a singular diffusion process [J]. Chin Annl Math Ser B, 2004, 25(2):175— 182. [2] 詹华税 ，袁洪君 ， 边界退化的对流扩散方程 [J]. 吉林大学学报, 2015: 53(3):353-358. [3] Zhan H S, Wen J. Evolutionary p(x)-Laplacian qeuation free from the limitation of the boundary value [J]. Electronic J Differential Equations, 2016, 143:1-13. [4] Zhan H S, Wen J. Well-posedness of weak solutions to electrorheological fluid equations with degeneracy on the boundary [J]. Electron J Differential Equations^ 2017, 13:1-15. [5] Bertsch M, Dal Passo R, Ughi M. Discontinuous viscosity solutions of a degenerate parabolic equation [J]. Trans Amer Math Soc, 1990, 320:779-798. [6] Zhou W, Cai S. 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By the parabolic regularized method, the existence of the weak solution is obtained. By choosing a suitable test function, the uniqueness of the weak solution is proved without any boundary value condition. Keywords Week solution, Damping term, Initial-boundary value problem, Uniqueness 2000 MR Subject Classification 35K65, 35K55
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